時變場6.1-6.3通信

1、第六章第六章 時變電磁場時變電磁場 這一章開始將討論隨時間變化的電磁這一章開始將討論隨時間變化的電磁場問題。在時變電磁場中，電場和磁場場問題。在時變電磁場中，電場和磁場相互依存、相互轉(zhuǎn)化。相互依存、相互轉(zhuǎn)化。 前幾章討論了前幾章討論了靜態(tài)場問題靜態(tài)場問題，是將電現(xiàn)象，是將電現(xiàn)象和磁現(xiàn)象視作相互獨(dú)立的現(xiàn)象來研究的。和磁現(xiàn)象視作相互獨(dú)立的現(xiàn)象來研究的。討論討論準(zhǔn)靜態(tài)場問題準(zhǔn)靜態(tài)場問題，也是將電現(xiàn)象，也是將電現(xiàn)象和和磁現(xiàn)磁現(xiàn)象視作相互獨(dú)立的現(xiàn)象來研究的。象視作相互獨(dú)立的現(xiàn)象來研究的。 時變電磁場時變電磁場是電磁理論的核心內(nèi)容，是電磁理論的核心內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)后續(xù)課程（微波技術(shù)、天線原也是學(xué)習(xí)后續(xù)課程（

2、微波技術(shù)、天線原理等）的理論基礎(chǔ)。理等）的理論基礎(chǔ)。 本章從本章從麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組出發(fā)，討論時出發(fā)，討論時變電磁場的波動方程、還將討論表示電變電磁場的波動方程、還將討論表示電磁場能量流動和轉(zhuǎn)換關(guān)系的坡印廷定理。磁場能量流動和轉(zhuǎn)換關(guān)系的坡印廷定理。Chapter 6 Time-Varying Fields本章要求本章要求 掌握麥克斯韋方掌握麥克斯韋方程組程組 波動方程波動方程 坡印廷定理坡印廷定理6.1 6.1 電磁感應(yīng)定律電磁感應(yīng)定律 法拉第電磁感應(yīng)定律指出：當(dāng)穿過一閉合導(dǎo)體回路法拉第電磁感應(yīng)定律指出：當(dāng)穿過一閉合導(dǎo)體回路的磁通發(fā)生變化時，則在此閉合導(dǎo)體回路中將產(chǎn)生感的磁通發(fā)生變化

3、時，則在此閉合導(dǎo)體回路中將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，其大小為：應(yīng)電動勢，其大小為：dtdeidtSdBdS負(fù)號表示感應(yīng)電動勢總負(fù)號表示感應(yīng)電動勢總是阻礙磁通的變化是阻礙磁通的變化 式中式中S S是由閉合回路的周界限定的面是由閉合回路的周界限定的面積，其法線方向與回路繞行方向符合積，其法線方向與回路繞行方向符合右手螺旋關(guān)系右手螺旋關(guān)系, ,即即B B與與dSdS方向一致。方向一致。SlB如圖所示一閉合導(dǎo)體回路如圖所示一閉合導(dǎo)體回路l l置于磁場置于磁場B B中中如果B減小，則6.1.1 6.1.1 電磁感應(yīng)定律電磁感應(yīng)定律隨時間變化的場隨時間變化的場 法拉第電磁感應(yīng)定律中的回路并不一定要求是一法拉第電磁感

4、應(yīng)定律中的回路并不一定要求是一實(shí)際的閉合線圈，對于實(shí)際的閉合線圈，對于空間任一閉合路徑，上式仍空間任一閉合路徑，上式仍成立成立。麥克斯韋將它推廣到。麥克斯韋將它推廣到任一閉合路徑。任一閉合路徑。 那么，也就是說無論有無導(dǎo)體、有無回路，也不論那么，也就是說無論有無導(dǎo)體、有無回路，也不論是在真空中還是在媒質(zhì)中，只要有磁通的變化，就是在真空中還是在媒質(zhì)中，只要有磁通的變化，就一定引起感應(yīng)電動勢，就一定引起電場。一定引起感應(yīng)電動勢，就一定引起電場。l dEelii 回路中出現(xiàn)感應(yīng)電動勢實(shí)際是因?yàn)樵诨芈分谐霈F(xiàn)回路中出現(xiàn)感應(yīng)電動勢實(shí)際是因?yàn)樵诨芈分谐霈F(xiàn)了感生電場，回路中感生電場與感應(yīng)電動勢的關(guān)了感生電場，

5、回路中感生電場與感應(yīng)電動勢的關(guān)系是：系是：法拉第電磁感應(yīng)定律可寫為：法拉第電磁感應(yīng)定律可寫為：dtdeidtSdBdSl dEli回路中的磁通發(fā)生變化的原因有如下幾種可能：回路中的磁通發(fā)生變化的原因有如下幾種可能：1 1）B B隨時間變化回路靜止隨時間變化回路靜止2 2）B B不隨時間變化回路運(yùn)動不隨時間變化回路運(yùn)動3 3）B B隨時間變化，且回路也有運(yùn)動隨時間變化，且回路也有運(yùn)動6.1.2 6.1.2 靜止系統(tǒng)的感應(yīng)電動勢靜止系統(tǒng)的感應(yīng)電動勢 所謂靜止系統(tǒng)是指回路相對磁場沒有機(jī)械運(yùn)動，磁所謂靜止系統(tǒng)是指回路相對磁場沒有機(jī)械運(yùn)動，磁場只是隨時間變化，這時回路中的磁通發(fā)生變化。場只是隨時間變化，

6、這時回路中的磁通發(fā)生變化。dtSdBdeSiSSdtBSiSdBe旋度定理旋度定理lSl dESdEl dEliSSSdtBSdEtBE靜止系統(tǒng)靜止系統(tǒng)電磁感應(yīng)電磁感應(yīng)定律的微分形式定律的微分形式tBE它表明隨時間變化的磁場將產(chǎn)生電場。它表明隨時間變化的磁場將產(chǎn)生電場。而且產(chǎn)生的電場是有旋場。這與靜電而且產(chǎn)生的電場是有旋場。這與靜電場完全不同，靜電場是無旋場。場完全不同，靜電場是無旋場。AB)(AtE0)(AtE0)(tAEtAE 對于穩(wěn)恒磁場，對于穩(wěn)恒磁場，A不不隨時間變化：隨時間變化：0tAtAEtAE 它表明產(chǎn)生電場的原因有兩個：一是電荷產(chǎn)它表明產(chǎn)生電場的原因有兩個：一是電荷產(chǎn)生的；二是

7、隨時間變化的磁場。生的；二是隨時間變化的磁場。6.1.3 6.1.3 運(yùn)動系統(tǒng)中運(yùn)動系統(tǒng)中B B不隨時不隨時間變化情形下的感應(yīng)電動勢間變化情形下的感應(yīng)電動勢 所謂運(yùn)動系統(tǒng)是指回路相對磁場有機(jī)械運(yùn)動，如果所謂運(yùn)動系統(tǒng)是指回路相對磁場有機(jī)械運(yùn)動，如果此時不伴隨磁場的變化（即磁場不隨時間變化）。這此時不伴隨磁場的變化（即磁場不隨時間變化）。這時回路中的磁通也將發(fā)生變化，產(chǎn)生感應(yīng)電場，產(chǎn)生時回路中的磁通也將發(fā)生變化，產(chǎn)生感應(yīng)電場，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。感應(yīng)電動勢。 假設(shè)回路的元線段假設(shè)回路的元線段 的運(yùn)動速的運(yùn)動速度為度為 ，則其中的自由電荷，則其中的自由電荷 所受到的磁力為：所受到的磁力為：vdql d)

8、(vBdqf d產(chǎn)生感應(yīng)電場：產(chǎn)生感應(yīng)電場：dqfdEivBvl dEeliivBEill dvB旋度定理旋度定理lSl dESdESdvBSdESS)()(vBE運(yùn)動系統(tǒng)中運(yùn)動系統(tǒng)中B B不隨時間不隨時間變化情形下的電磁感變化情形下的電磁感應(yīng)定律微分形式應(yīng)定律微分形式lSil dBvSdtBeSSSdBvSdtB)(回路相對磁場回路相對磁場運(yùn)動引起的運(yùn)動引起的磁場變化磁場變化引起的引起的既有回路相對磁場運(yùn)動，又伴隨有磁場的變化既有回路相對磁場運(yùn)動，又伴隨有磁場的變化:l dEeliiSSdESSdE)(BvtBE 本書僅討論靜止系本書僅討論靜止系統(tǒng)中的情形。即：統(tǒng)中的情形。即：麥克斯韋方程組

9、之一。麥克斯韋方程組之一。tBE6.2.1 6.2.1 位移電流（位移電流（Displacement CurrentDisplacement Current）6.2 6.2 位移電流與全電流定律（位移電流與全電流定律（Displacement Displacement Current and Current and ） 麥克斯韋利用感應(yīng)電場的概念揭開了電場與磁場相麥克斯韋利用感應(yīng)電場的概念揭開了電場與磁場相聯(lián)系的一個方面聯(lián)系的一個方面即變化的磁場產(chǎn)生電場。即變化的磁場產(chǎn)生電場。 深信電場與磁場密切聯(lián)系并具有對稱性的麥克斯深信電場與磁場密切聯(lián)系并具有對稱性的麥克斯韋，認(rèn)為變化的電場產(chǎn)生磁場。韋，

10、認(rèn)為變化的電場產(chǎn)生磁場。 恒定磁場中的安培環(huán)路定律應(yīng)用于時變電流的磁恒定磁場中的安培環(huán)路定律應(yīng)用于時變電流的磁場中會遇到矛盾。為解決這一矛盾，麥克斯韋提出了場中會遇到矛盾。為解決這一矛盾，麥克斯韋提出了“位移電流位移電流”的假說，并利用的假說，并利用“位移電流位移電流”的概念揭的概念揭開了電場與磁場相聯(lián)系的另一方面開了電場與磁場相聯(lián)系的另一方面即變化的電場即變化的電場產(chǎn)生磁場。產(chǎn)生磁場。 首先來看恒定磁場中的安培環(huán)路定律應(yīng)用于時變電首先來看恒定磁場中的安培環(huán)路定律應(yīng)用于時變電流的磁場中會遇到矛盾。流的磁場中會遇到矛盾。如圖所示的電路中如圖所示的電路中+qq Rki 電容器在充電過程中，電容器在

11、充電過程中，傳導(dǎo)電流傳導(dǎo)電流i將在電容器將在電容器極板間極板間中斷中斷，對于以閉合曲線，對于以閉合曲線l為邊界的為邊界的S1和和S2兩個曲面來說兩個曲面來說lS1S2 電流只穿過曲面電流只穿過曲面S1而不穿過曲面而不穿過曲面S2 ，因此有：，因此有：iSdJl dHSl102SlSdJl dH矛盾矛盾這一矛盾是由這一矛盾是由傳導(dǎo)電傳導(dǎo)電流流i i在電容器極板間在電容器極板間中中斷斷造成的造成的 把把 稱為位移電流密度稱為位移電流密度Jd，它是對變化電場的等它是對變化電場的等效。把這個假想的電流稱為效。把這個假想的電流稱為“位移電流位移電流” ，并假想，并假想這個位移電流等于傳導(dǎo)電流：這個位移電

12、流等于傳導(dǎo)電流：tDiSdtDISd 麥克斯韋麥克斯韋注注意意到傳導(dǎo)電流i中斷，使得極板上電荷量增加(變化變化)，變化的變化的電荷量必然產(chǎn)生變化的電場，則存在 于是于是麥克斯韋麥克斯韋假想在假想在極板極板間存在間存在“某種電流某種電流”i id d tDRi+qq kidS1S2 解決了上述矛盾。解決了上述矛盾。iSdJl dHSl1dSlISdJl dH2 解決了上述矛盾。解決了上述矛盾。 推斷推斷:傳導(dǎo)電流與位移電流合傳導(dǎo)電流與位移電流合起來是連續(xù)的起來是連續(xù)的. 這其實(shí)是電守這其實(shí)是電守恒定律的實(shí)質(zhì)恒定律的實(shí)質(zhì).0)(SdtDJS散度定律VSdVBSdB將傳導(dǎo)電流和位移電流之和稱為將傳導(dǎo)

13、電流和位移電流之和稱為全電流全電流。SlSdtDJldH)(全電流定律全電流定律時變場中的安時變場中的安培環(huán)路定律培環(huán)路定律6.2.2 全電流定律全電流定律電荷守恒定律是普遍規(guī)律電荷守恒定律是普遍規(guī)律.在時變場中在時變場中,高斯定律仍成立高斯定律仍成立. DtJ0)(tDJ傳導(dǎo)電流與位移電傳導(dǎo)電流與位移電流合起來是連續(xù)的流合起來是連續(xù)的 麥克斯韋認(rèn)為麥克斯韋認(rèn)為,位移電流也能產(chǎn)生磁場位移電流也能產(chǎn)生磁場,于是在時于是在時變場中安培環(huán)路定律應(yīng)修正為變場中安培環(huán)路定律應(yīng)修正為:tDJH例：例：潮濕土壤的電導(dǎo)率為潮濕土壤的電導(dǎo)率為 ，其中其中mS /1035 . 2rmtVE/)100 . 9sin

14、(100 . 696求土壤中的傳導(dǎo)電流密度求土壤中的傳導(dǎo)電流密度J J和位移電流密度和位移電流密度J Jd d解：解：土壤中的傳導(dǎo)電流密度土壤中的傳導(dǎo)電流密度J J為為：EJ土壤中的位移電流密度土壤中的位移電流密度J Jd d為為：tDJdtr)100 . 9cos(100 . 9100 . 69960tEtEr0t )100 . 9cos(102 . 196例：例：某介質(zhì)的電導(dǎo)率為某介質(zhì)的電導(dǎo)率為 ，電場強(qiáng)度為，電場強(qiáng)度為1,/0 . 5rmStEsin25要使要使J=JJ=Jd d，電場變化的頻率應(yīng)為多少？，電場變化的頻率應(yīng)為多少？解：解：由介質(zhì)中某點(diǎn)處電場強(qiáng)度與電導(dǎo)率的關(guān)系得：由介質(zhì)中某

15、點(diǎn)處電場強(qiáng)度與電導(dǎo)率的關(guān)系得：EJtsin25tEtDJrd0要使要使J=JJ=Jd d，則：則：r02525trcos250幅值應(yīng)相等幅值應(yīng)相等sradr/1065. 51085. 8511120或：或：GHzff9022r0在無源的自由空間中，已知磁場強(qiáng)度為在無源的自由空間中，已知磁場強(qiáng)度為求：位移電流密度和空間任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度。求：位移電流密度和空間任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度。mAztyH/)10103cos(1063. 295tDJHSlSdtDJldH)( 時變場中磁場的源有兩個：一是傳導(dǎo)電流；二時變場中磁場的源有兩個：一是傳導(dǎo)電流；二是隨時間變化的電場。是隨時間變化的電場。tBE變化的磁場引

16、起電場變化的磁場引起電場SdtBl dESl（1）電磁感應(yīng)定律的推廣）電磁感應(yīng)定律的推廣（2）安培環(huán)路定律的修正）安培環(huán)路定律的修正ttrBtrE),(),(ttrDtrJtrH),(),(),(In Point FormIn Integral Form 6.3 6.3 麥克斯韋方程組與時變電磁場的邊界條件麥克斯韋方程組與時變電磁場的邊界條件6.3.1 麥克斯韋方程組（麥克斯韋方程組（Maxwells Equation） 0 B D0SSdBqSdDS時變電磁場中時變電磁場中磁通也隨時間變化，仍是連續(xù)的。磁通也隨時間變化，仍是連續(xù)的。（4）時變電場的高斯定律）時變電場的高斯定律（3）時變磁場的

17、高斯定律）時變磁場的高斯定律0),(trB),(),(trtrD 上述麥克斯韋方程組沒有限定介質(zhì)的情形，因此上述麥克斯韋方程組沒有限定介質(zhì)的情形，因此適用于任何介質(zhì)。適用于任何介質(zhì)。 在各向同性、線性介質(zhì)中，時變場的結(jié)構(gòu)關(guān)系：在各向同性、線性介質(zhì)中，時變場的結(jié)構(gòu)關(guān)系：EEDr0HHBr0EJ 上述麥克斯韋方程組中，共有上述麥克斯韋方程組中，共有5個未知矢量個未知矢量（ ）和一個未知標(biāo)量）和一個未知標(biāo)量 ，實(shí)際上共，實(shí)際上共有有16個未知標(biāo)量，而獨(dú)立的標(biāo)量方程只有個未知標(biāo)量，而獨(dú)立的標(biāo)量方程只有7個，必個，必須補(bǔ)充須補(bǔ)充9個獨(dú)立的標(biāo)量方程，就是個獨(dú)立的標(biāo)量方程，就是場的結(jié)構(gòu)關(guān)系場的結(jié)構(gòu)關(guān)系。JH

18、BDE、6.3.2 6.3.2 時變電磁場時變電磁場的邊界條件的邊界條件 在時變電磁場中，可應(yīng)用麥克斯韋方程組分析在不在時變電磁場中，可應(yīng)用麥克斯韋方程組分析在不同媒質(zhì)分界面上，時變電磁場中的場量滿足的關(guān)系。同媒質(zhì)分界面上，時變電磁場中的場量滿足的關(guān)系。SlSdtDJldH)(SdtBl dESl0SSdBqSdDSH H的邊界條件的邊界條件E E的邊界條件的邊界條件B B的邊界條件的邊界條件D的邊界條件0)(12EEnsJHHn)(12sDDn)(120)(12BBn不同媒質(zhì)分界面上，時變電磁場中的場量滿足的關(guān)系：不同媒質(zhì)分界面上，時變電磁場中的場量滿足的關(guān)系：SttJHH12ttEE21n

19、nBB21snnDD12電介質(zhì)與理想導(dǎo)體分界面上的邊界條件電介質(zhì)與理想導(dǎo)體分界面上的邊界條件實(shí)際中常遇到實(shí)際中常遇到空氣（空氣（u u0 0、0 0）與理想導(dǎo)體的分界面）與理想導(dǎo)體的分界面。由于理想導(dǎo)體中由于理想導(dǎo)體中根據(jù)導(dǎo)電媒質(zhì)中根據(jù)導(dǎo)電媒質(zhì)中EJJE因?yàn)橐驗(yàn)镴 J為有限值為有限值0E理想導(dǎo)體內(nèi)部理想導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零場強(qiáng)處處為零u2u1空氣空氣理想導(dǎo)體理想導(dǎo)體tBE如果理想導(dǎo)體中如果理想導(dǎo)體中不存在恒定磁場不存在恒定磁場01E01B001111ntntHHBB001111ntntDDEE01B理想導(dǎo)體內(nèi)部磁理想導(dǎo)體內(nèi)部磁場處處為零場處處為零01HHB01DEDSttJHH12由由StJH

20、2由由ttEE2102tEnnBB2102nBsnnDD12由由StJH 202tE02nBSnE2即即01E理想導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零。理想導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零。snE2n0)(12EEnsJHHn)(12sDDn)(120)(12BBn電介質(zhì)與理想導(dǎo)體分界面上的邊界條件寫成矢量形式：電介質(zhì)與理想導(dǎo)體分界面上的邊界條件寫成矢量形式：02EnsJHn2sDn202BnStJH 202tE02nBsnD2 理想導(dǎo)體實(shí)際是不存在的，但實(shí)際中經(jīng)常會遇到理想導(dǎo)體實(shí)際是不存在的，但實(shí)際中經(jīng)常會遇到金屬導(dǎo)體邊界的情形，可近似將金屬導(dǎo)體按理想導(dǎo)金屬導(dǎo)體邊界的情形，可近似將金屬導(dǎo)體按理想導(dǎo)體處理。使邊界條件簡化

21、，從而使問題得以簡化。體處理。使邊界條件簡化，從而使問題得以簡化。 （1）理想導(dǎo)體中不存在電磁場，如果在理想導(dǎo)體理想導(dǎo)體中不存在電磁場，如果在理想導(dǎo)體表面存在電磁場其表面存在電磁場其電場一定垂直于理想導(dǎo)體表面電場一定垂直于理想導(dǎo)體表面；其其磁場則一定平行于理想導(dǎo)體表面磁場則一定平行于理想導(dǎo)體表面。 （2）而且，如果理想導(dǎo)體表面原本沒有電流存在，）而且，如果理想導(dǎo)體表面原本沒有電流存在，則一定會則一定會因?yàn)榇艌龅拇嬖诙袘?yīng)出面電流因?yàn)榇艌龅拇嬖诙袘?yīng)出面電流；如果理；如果理想導(dǎo)體表面原本沒有電荷存在，一定會想導(dǎo)體表面原本沒有電荷存在，一定會因?yàn)殡妶龅囊驗(yàn)殡妶龅拇嬖诙袘?yīng)出面電荷存在而感應(yīng)出面電荷

22、?？偨Y(jié)上述得出三點(diǎn)結(jié)論：總結(jié)上述得出三點(diǎn)結(jié)論：（3）如果理想導(dǎo)體帶電或有電流流過，所帶電）如果理想導(dǎo)體帶電或有電流流過，所帶電荷及電流都分布于表面。荷及電流都分布于表面。例：例： 如圖所示，在兩導(dǎo)體平板如圖所示，在兩導(dǎo)體平板( (z=0,z=dz=0,z=d) )限定的空限定的空氣中傳播的電磁波，已知波的電場分量為氣中傳播的電磁波，已知波的電場分量為)cos()cos(0kxtdzEzE式中式中k k為常數(shù)為常數(shù)1 1）先求波的磁場分量）先求波的磁場分量2 2）求兩導(dǎo)體表面上的面電荷和面）求兩導(dǎo)體表面上的面電荷和面電流密度。電流密度。解：解：1 1）試求波的磁場分量；）試求波的磁場分量；由由tBEEtB)( )( )( yExEzxEzEyzEyExxyzxyzxzdxEyz dtkxtdzkEydtxEyBttz)sin()cos(0)cos()cos(0kxtdzEky)cos()cos(000kxtdzEkyBH 理想導(dǎo)體外空氣中電場、磁場滿足：理想導(dǎo)體外空氣中電場、磁場滿足：xEyz )sin()cos(0kxtdzkEySJHnsDn兩導(dǎo)體表面上的面電荷兩導(dǎo)體表面上的面電荷和面電流可由此求出和面電流可由此求出所求磁場分量所求磁場分量EtBsDn在在z=0z=0的導(dǎo)的導(dǎo)體表面上體表面上)cos(00