高等數(shù)學(xué)(二)復(fù)習(xí)指導(dǎo)-第10章--曲線(xiàn)積分與曲面積分

1、第十章 曲線(xiàn)積分與曲面積分一、基本要求及重點(diǎn)、難點(diǎn)1. 基本要求(1) 了解第一類(lèi)曲線(xiàn)積分（即對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分）的概念及其物理與幾何意義，并掌握其計(jì)算方法。(2) 了解第二類(lèi)曲線(xiàn)積分（即對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分）的概念及物理意義，并掌握其計(jì)算方法，能熟練應(yīng)用曲線(xiàn)積分計(jì)算力場(chǎng)沿曲線(xiàn)所做的功。(3) 掌握格林公式的條件和結(jié)論，熟練掌握利用格林公式把第二類(lèi)曲線(xiàn)積分化為二重積分的計(jì)算方法，及掌握通過(guò)添加輔助曲面利用格林公式改變積分路徑的計(jì)算方法。(4) 掌握在單連通區(qū)域上第二類(lèi)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件及其應(yīng)用，會(huì)求全微分的原函數(shù)。(5) 了解第一類(lèi)曲面積分（即對(duì)面積的曲線(xiàn)積分）的概念及其物理與幾何意義，并

2、掌握其計(jì)算方法。(6) 掌握高斯公式的條件與結(jié)論，并會(huì)利用高斯公式計(jì)算第二類(lèi)曲面積分。2. 重點(diǎn)及難點(diǎn)（1）重點(diǎn)： (a) 熟練選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)方程或坐標(biāo)系將曲線(xiàn)積分化為定積分。(b) 熟練掌握用投影法將曲面積分化為二重積分。(c) 格林公式（熟練使用格林公式計(jì)算曲線(xiàn)積分）。(d) 曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的概念及條件。(e) 高斯公式（熟練使用高斯公式計(jì)算曲面積分）。（2）難點(diǎn)： (a) 兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的關(guān)系。 (b) 格林公式的靈活使用（條件、結(jié)論；輔助曲線(xiàn)的添加）。(c) 高斯公式的靈活使用（條件、結(jié)論；輔助曲面的添加）。二、內(nèi)容概述1、曲線(xiàn)積分的基本概念與性質(zhì)(1) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分（又稱(chēng)第一類(lèi)

3、曲線(xiàn)積分）定義 設(shè)在xOy面內(nèi)的光滑曲線(xiàn)上有界. 第一類(lèi)曲線(xiàn)積分為(見(jiàn)課本).為空間曲線(xiàn)時(shí)，類(lèi)似地有推薦精選.物理意義 設(shè)曲線(xiàn)的線(xiàn)密度為，則其質(zhì)量為 性質(zhì)1 運(yùn)算性質(zhì) 其中為常數(shù)性質(zhì)2 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分與積分路徑的走向無(wú)關(guān)，即性質(zhì)3 對(duì)積分路徑具有可加性，即其中(2) 對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分（又稱(chēng)第二類(lèi)曲線(xiàn)積分）定義 設(shè)在xOy面內(nèi)的有向光滑曲線(xiàn)上有界.為空間曲線(xiàn)時(shí)，類(lèi)似地有.物理意義 變力沿曲線(xiàn)所作的功為性質(zhì)1 對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分與積分路徑的方向有關(guān)，即性質(zhì)2 對(duì)積分路徑具有可加性，即推薦精選其中（3）兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的關(guān)系平面曲線(xiàn)上兩類(lèi)曲線(xiàn)積分有如下關(guān)系其中為平面有向曲線(xiàn)上點(diǎn)處的切線(xiàn)向量的方向角空

4、間曲線(xiàn)上兩類(lèi)曲線(xiàn)積分有如下關(guān)系 其中為空間有向曲線(xiàn)上點(diǎn)處切向量的方向角2、曲線(xiàn)積分的計(jì)算公式(1) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分（1）設(shè)函數(shù)在平面曲線(xiàn)上連續(xù)在區(qū)間上連續(xù)，且，則（2）設(shè)平面曲線(xiàn)的方程為且在區(qū)間上連續(xù)，則（3）設(shè)函數(shù)在空間曲線(xiàn)上連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)，且，則注意 化對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分為定積分時(shí),定積分的上限一定比下限大（2）對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分(1) 設(shè)函數(shù)在有向曲線(xiàn)上連續(xù)，的參數(shù)方程為: ，推薦精選即為有向曲線(xiàn)的始點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，為其終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值且在以為端點(diǎn)的區(qū)間上連續(xù)，則(2) 若是由方程給出,的始點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,終點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則(3) 類(lèi)似地,對(duì)于空間曲線(xiàn) 為有向曲線(xiàn)的始點(diǎn)

5、對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，為其終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值（3）二元函數(shù)的全微分求積設(shè)函數(shù),在單連通域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且，則在內(nèi)為某一函數(shù)的全微分，且有，(如圖 (a)或 ，(如圖 (b)圖 (b)圖 (a)3、曲線(xiàn)積分的有關(guān)定理定理1 (格林公式) 設(shè)閉區(qū)域是由分段光滑的曲線(xiàn)圍成,函數(shù)在上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有推薦精選其中是的取正向的邊界曲線(xiàn)定理2 (平面上曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件) 設(shè)函數(shù),在單連通域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則以下四個(gè)條件等價(jià)與路徑無(wú)關(guān),即,其中、為內(nèi)具有相同始點(diǎn)和終點(diǎn)任意曲線(xiàn)；,其中為內(nèi)的任意閉曲線(xiàn);在內(nèi)恒成立; ,即在內(nèi)為某一函數(shù)的全微分4、曲面積分的基本概念與性質(zhì)（1）對(duì)面積的曲面積

6、分（又稱(chēng)第一類(lèi)曲面積分）定義設(shè)在光滑曲面上有界.(極限存在時(shí))物理意義 設(shè)曲面的面密度為，則其質(zhì)量為性質(zhì) 設(shè)曲面都是光滑的,則（2）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分（又稱(chēng)第二類(lèi)曲面積分）指定了側(cè)的曲面稱(chēng)為有向曲面定義 設(shè)在有向光滑曲面上有界.推薦精選(極限存在時(shí))(極限存在時(shí))(極限存在時(shí))其中是任意分割有向曲面為片小曲面后,所得到的第片小曲面上的任意一點(diǎn),分別為在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影.為片小曲面的直徑中的最大者曲面在點(diǎn)處的單位法向量為物理意義 穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮的流體（密度），如果在點(diǎn)處的流速是,則單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)曲面一側(cè)的流量為性質(zhì)1 設(shè)曲面則 性質(zhì)2 設(shè)表示與取相反側(cè)的有向曲面，則（3）兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)

7、系空間曲面上的兩類(lèi)曲面積分有如下關(guān)系其中是有向曲面上點(diǎn)處的法向量的方向余弦5、曲面積分的計(jì)算公式推薦精選（1）對(duì)面積的曲面積分 設(shè)光滑曲面的方程是在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)?，則設(shè)光滑曲面的方程是在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)?，則設(shè)光滑曲面的方程是在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)椋瑒t（2）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 設(shè)光滑曲面的方程是在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)?，取上（下）?cè)，則 其中，取上側(cè)時(shí)為正，取下側(cè)時(shí)為負(fù)注意 當(dāng)曲面是母線(xiàn)平行于軸的柱面時(shí)，上任意一點(diǎn)的法向量與軸的夾角的余弦，則設(shè)光滑曲面的方程是在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)?，則取右側(cè)時(shí)為正，取左側(cè)為負(fù)設(shè)光滑曲面的方程是在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)?，則取前側(cè)時(shí)為正，取后側(cè)為負(fù)6、曲面積分的

8、有關(guān)定理推薦精選定理1（高斯公式） 設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有或其中是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，是上點(diǎn)處的法向量的方向余弦三、典型例題分析例1： 計(jì)算,其中為圓周,直線(xiàn)及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界.分析 由于曲線(xiàn)分段光滑,所以先將分為若干光滑曲線(xiàn)段之和,再利用曲線(xiàn)積分的可加性計(jì)算曲線(xiàn)積分.解: 的方程為 的方程為：的方程為 ，.所以 例2 ：具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足怎樣的條件才能使曲線(xiàn)積分推薦精選與積分路徑無(wú)關(guān)。解： 設(shè) (充要條件)例3：計(jì)算 ,其中為由點(diǎn)到點(diǎn)的曲線(xiàn).解： , 從而此曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，取折現(xiàn)，。例4 ：確定值，使曲線(xiàn)積分

9、(與路徑無(wú)關(guān)， 解： 系數(shù)相等： 4a=6(a-1) a=3例5：計(jì)算,其中為由點(diǎn)到點(diǎn)的上半圓周.解： （如右圖）推薦精選 例6：計(jì)算，其中是由沿到的曲線(xiàn)段。解：本題方法較多?？稍谥苯亲鴺?biāo)系下計(jì)算，分為取為積分變量，取為積分變量，亦可利用參數(shù)方程計(jì)算。(方法一) 取為積分變量，需分為兩段：，有 。(方法二 ) 取為積分變量，的方程為，始點(diǎn)，終點(diǎn)，則有被積函數(shù)中，第一項(xiàng)是關(guān)于的奇函數(shù)，第二項(xiàng)是關(guān)于的偶函數(shù)，于是。在方法二中，這里是無(wú)窮間斷點(diǎn)，由于原曲線(xiàn)積分存在，可知此廣義積分收斂，故能算出結(jié)果。這種把曲線(xiàn)積分化成廣義積分的情形常會(huì)發(fā)生。推薦精選(方法三) 利用積分曲線(xiàn)的方程化簡(jiǎn)被積表達(dá)式的方法求

10、解，作法如下：由于，故，于是 ，所以。(方法四) 將曲線(xiàn)用參數(shù)方程表示，則有。(方法五) 利用格林公式計(jì)算。注：用不同方法計(jì)算曲線(xiàn)積分，既可以比較不同方法的繁簡(jiǎn)，也有利于理解曲線(xiàn)積分的概念和訓(xùn)練計(jì)算技巧。例7：證明曲線(xiàn)積分在整個(gè)坐標(biāo)面上與路徑無(wú)關(guān),并計(jì)算積分值.解 ，因?yàn)榍以谧鴺?biāo)面上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),故曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān). 例8：設(shè),求.解 設(shè)推薦精選由 , 所以 注意 利用上述方法求函數(shù)時(shí)，選擇的起點(diǎn)不同求出的可能相差一個(gè)常數(shù)。例9：計(jì)算曲面積分,其中為平面在第一卦限的部分.解 設(shè)，在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)椋?由于所以 例10：設(shè)為橢球面的上半部分,點(diǎn)為在點(diǎn)處的切平面,為點(diǎn)到平面的距離,試求.

11、解 設(shè)為上任意一點(diǎn),則,在點(diǎn)處的切平面的方程為：，即 推薦精選在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域記為,由,則 所以 例11：計(jì)算，其中為曲面在第一象部分（）的上側(cè)解：（方法一）投影法（直接計(jì)算）設(shè)，分別表示在平面、平面、平面的投影，相應(yīng)把的方程分別是，則 （方法二） 高斯公式 此時(shí)要補(bǔ)上三個(gè)平面塊，與曲面塊構(gòu)成封閉曲面，所圍成的空間區(qū)域記為，注意到取內(nèi)側(cè)，因此 推薦精選（方法三）（化為第一類(lèi)曲面積分） 曲面塊方程，得，從而 ， ， 例12：計(jì)算，其中：，上側(cè)解： ，補(bǔ)有向曲面：取下側(cè)，則 所以 四、自測(cè)題及解答（一）選擇題1、設(shè)L是起點(diǎn)為A(1,1)終點(diǎn)為B(2,2)的任意不通過(guò)原點(diǎn)的路徑，則為( )推薦精

12、選(A) ln2 (B) 0 (C) 2 (D) 2、設(shè)函數(shù)在單連通域D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線(xiàn)積分在D域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)的充要條件是 ( )（A） （B） (C） （D）3、記以點(diǎn)A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)為頂點(diǎn)的正方形為ABCDA,則為( )(A) ln2 (B) 2 (C) 0 (D) 14、設(shè), 則曲線(xiàn)積分 ( )(A)與的取向無(wú)關(guān)，與的值有關(guān)（B）與的取向無(wú)關(guān)，與的值無(wú)關(guān)(C)與的取向有關(guān)，與的值有關(guān)（D）與的取向有關(guān)，與的值有關(guān)5、設(shè),為在第一卦限的部分,則有( ) .（二） 填空題1、設(shè)L為取正向的圓周，則=_.2、設(shè)C為逆時(shí)針?lè)较虻拈]曲線(xiàn)，其方程

13、為，則=_.3、設(shè)L為曲線(xiàn)依參數(shù)t增加的方向上的一段弧，則 =_.4、設(shè)C為閉域D的正向邊界閉曲線(xiàn)，則可通過(guò)A表示為_(kāi)(A為D面積)5、 是光滑閉曲面的外法向量的方向余弦，又所圍的空間閉區(qū)域?yàn)?；設(shè)函數(shù)和在上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則由高斯公式，有 推薦精選= 。(三) 計(jì)算題 1、 I=，其中L： 2、 I=其中L是從A(0,1)沿曲線(xiàn)到 3、證明：，并求。 4、求質(zhì)點(diǎn)受作用力沿路徑L順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周所作的功。其中L為橢圓 5、計(jì)算,其中為圓周。6、設(shè)是沿動(dòng)圓周的逆時(shí)針?lè)较?，?jì)算含曲線(xiàn)積分的極限其中為常數(shù)。7、計(jì)算，其中是上半球面的上側(cè)。自測(cè)題參考答案（一）1、(A) 分析：積分與路徑無(wú)關(guān) 2、

14、(D) 3、(C) 4、(D) 分析：因,Q=.且,故在L為邊界的區(qū)域D內(nèi)，有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)（0，0），可取C為不過(guò)原點(diǎn)但含于L內(nèi)部并與L同向的曲線(xiàn)，在L與C所圍區(qū)域應(yīng)用格林公式：當(dāng)為正向閉曲線(xiàn)時(shí)，取+號(hào)，否則取-號(hào)。因上，從而即 =，此積分與C的方向也即L的方向有關(guān)，但與a,b推薦精選無(wú)關(guān)。 5、（C）（二）1、 分析：由于 故應(yīng)用格林公式，= 2、 0 . 分析：設(shè)C所圍成的區(qū)域?yàn)镈，由于 所以在D上， 故應(yīng)用格林公式，= 3、 4、 2A分析：因.由格林公式原式=5、 （三）1、解: 2、解: . 在xoy面內(nèi)， 從而在xoy面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān) 取O(0,0)，則有3、證: 在xoy面內(nèi)，.推薦精選 所以 為某函數(shù)u(x,y)的全微分. 4、解: 其中D為L(zhǎng)所圍成閉域，D： 注：使用格林公式時(shí)，要注意積分曲線(xiàn)的封閉性及方向性。此題L為封閉的順時(shí)針?lè)较蚯€(xiàn)，故二重積分前添加負(fù)號(hào)。圖 (a)5、解 (方法一)如圖（