高等數(shù)學(xué)下冊 冪級數(shù)

1、第五節(jié)第五節(jié)一、冪級數(shù)及其收斂性一、冪級數(shù)及其收斂性 三、冪級數(shù)的性質(zhì)三、冪級數(shù)的性質(zhì) 冪級數(shù)冪級數(shù) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、冪級數(shù)的運(yùn)算二、冪級數(shù)的運(yùn)算一、冪級數(shù)及其收斂性一、冪級數(shù)及其收斂性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù), 其中數(shù)列), 1 , 0(nan下面著重討論00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如, 冪級數(shù)1,110 xxxnn為冪級數(shù)的系數(shù)系數(shù) .即是此種情形.的情形, 即nnxxa)(0稱 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散定理定理 1. ( Abel第一定理

2、第一定理 ) 若冪級數(shù)0nnnxa,0點(diǎn)收斂在xx 則對滿足不等式0 xx 的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂.反之, 若當(dāng)0 xx 0 xx 的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時該冪級數(shù)發(fā)散 , 則對滿足不等式證證: 設(shè)00nnnxa, 0lim0nnnxa收斂, 則必有),2, 1(0nMxann于是存在常數(shù) M 0, 使阿貝爾 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng) 時, 0 xx 00nnxxM收斂,0nnnxa故原冪級數(shù)絕對收斂 .也收斂,反之, 若當(dāng)0 xx 時該冪級數(shù)發(fā)散 ,下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)1x01xx0 x滿足不等式0 xx 所以若當(dāng)0 xx 滿足且使級數(shù)收斂 ,面的證明可知

3、, 級數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真. 的 x , 原冪級數(shù)也發(fā)散 . 時冪級數(shù)發(fā)散 , 則對一切則由前也應(yīng)收斂, 與所設(shè)矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0證畢機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 冪級數(shù)在 (, +) 收斂 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的區(qū)間. 用R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為則R = 0 時, 冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂 ;R = 時,0 R冪級數(shù)在 (R , R ) 收斂 ;(R , R ) 加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域收斂域.R 稱為收斂半徑收斂半徑 ， 在R , R 可能收斂也可能發(fā)散 .Rx外發(fā)散; 在(R , R

4、) 稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間.ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理2. 若0nnnxa的系數(shù)滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R證證:1) 若 0,則根據(jù)比值判別法可知:當(dāng),1x原級數(shù)絕對收斂;當(dāng),1x原級數(shù)發(fā)散.x即1x時,1) 當(dāng) 0 時,2) 當(dāng) 0 時,3) 當(dāng) 時,即時,則 1x機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 若, 0則根據(jù)比值判別法可知,;R絕對收斂 ,3) 若,則對除 x = 0 以外的一切 x 原級發(fā)散 ,.0R對任意 x 原級數(shù)因此因此 0nnnxa的收斂半徑為說明說明: :據(jù)此

5、定理1limnnnaaR因此級數(shù)的收斂半徑.1R機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3. 若0nnnxa0nnnxa的系數(shù)滿足lim,nnna;1R;R.0R提示：這個定理的證明與定理提示：這個定理的證明與定理2的證明類似，的證明類似，要利用柯西根值判別法要利用柯西根值判別法.1) 當(dāng) 0 時,2) 當(dāng) 0 時,3) 當(dāng) 時,則 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的收斂半徑為1limnnnRa對端點(diǎn) x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對端點(diǎn) x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù),1) 1(11nnn收斂; 級數(shù)為,11nn

6、發(fā)散 . . 1, 1(故收斂域?yàn)槔? 1.求冪級數(shù) limn 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收斂域?yàn)? ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂 .規(guī)定: 0 ! = 1! ) 1(1n機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求冪級數(shù) 220(2 )!( 1)( !)nnnnxn的收斂半徑 . 解解: 級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,比值判別法求收斂半徑.

7、lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x當(dāng)時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 .21R21x即142x當(dāng)21x即) 1(2nxnx2故直接由機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 收斂域？例例4.12) 1(nnnnx求冪級數(shù)的收斂域.解解: 令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)閚nntn12111limlim12nnnnnnRna2當(dāng) t = 2 時, 級數(shù)為,11nn此級數(shù)發(fā)散;當(dāng) t = 2 時, 級數(shù)為,) 1(1nnn此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域?yàn)?22t故原級數(shù)的收斂域?yàn)?212x即.31x機(jī)動 目

8、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、冪級數(shù)的運(yùn)算二、冪級數(shù)的運(yùn)算定理定理4. 設(shè)冪級數(shù)nnnxa0nnnxb0及的收斂半徑分別為,21RR令nnnxa0)(0為常數(shù)nnnxaxR,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 則有 :nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上結(jié)論可用部分和的極限證明 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多. 例如, 設(shè) nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它們的收斂半徑均

9、為,R但是nnnxa0nxxx21其收斂半徑只是 .1R1x1nnnxb0 x11機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 oxRRab定理定理5. 若冪級數(shù)nnnxa0的收斂半徑 R 0 , 則此級數(shù)在 (R, R ) 內(nèi)任一閉區(qū)間 a , b 上一致收斂 .證證: ,maxbar 設(shè)則對 a , b 上的一切 x , 都有 ),2, 1 ,0(nraxannnn,0Rr 而由阿貝爾第一定理 ，級數(shù) nnnra0絕對收斂 ,由Weierstrass判別法即知推論成立. 說明說明: 若冪級數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)收斂, 則一致收斂 區(qū)間包含此端點(diǎn). 證畢 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、冪級數(shù)的性

10、質(zhì)三、冪級數(shù)的性質(zhì)定理定理6 . 若冪級數(shù)nnnxa0的收斂半徑,0R)(xS數(shù)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxnaxI則其和函在收斂域上連續(xù)與逐項積分，且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)，與運(yùn)算前后收斂半徑相同, 即證：證：下面證明逐項可導(dǎo)的結(jié)論 :機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:.),(10內(nèi)收斂在先證級數(shù)RRxannnn),(RRx任取,11Rxxx使再取定, 11xxq記則1nnxannnnxaxxxn11111nnnxaxqn1111由比值判別法知級數(shù) ,10收斂nnqn故, 0lim1nnqn,1有界因此nqn故

11、存在 M 0 , 使得 ),2, 1(111nMqnxn,01Rx 又,10收斂級數(shù)nnnxa由比較判別法可知機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .11收斂級數(shù)nnnxan),(11RRxannnn在因?yàn)閮缂墧?shù),ba上一致收斂, 故原級數(shù),0baxannn在內(nèi)任一閉區(qū)間上滿足定理4.3條件, 從而可逐項求導(dǎo), ,的任意性再由ba即知 ),(,110RRxxanxannnnnn再證級數(shù) 11nnnxan的收斂半徑 .RR 由前面的證明可知 .RR 若將冪級數(shù) 在11nnnxan機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)(, 0上逐項積分Rxx,1nnnxa得級數(shù)的收斂半徑不會縮小, .RR 因逐項

12、積分所得 .RR 于是冪級數(shù) nnnxa0(R, R ) 內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù), 且有 knnknkxaknnnxS) 1() 1()()(),2, 1(k其收斂半徑都為 R . 推論推論.的和函數(shù) S (x) 在收斂區(qū)間 證畢第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注注: 逐項積分時, 運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變.解解: 由例2可知級數(shù)的收斂半徑 R+.例例5.0!nnnx求冪級數(shù)0!)(nnnxxS)(x則11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(xxeCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得.!0 xnnenx的和函數(shù) .因此得設(shè)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 1

13、nnxn求冪級數(shù)的和函數(shù)解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , x1 時級數(shù)發(fā),)1,1(時故當(dāng)x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 求級數(shù)01nnnx的和函數(shù). )(xS解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 時級數(shù)且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收斂 , 有時則當(dāng),0 x0111nnnxxxnnxxx00d1機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx也可以由和函數(shù)的連

14、續(xù)性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (0)S例例8.2) 1(122的和求數(shù)項級數(shù)nnn解解: 設(shè),1)(22nnnxxS則, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2

15、ln4385)0( x機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級數(shù)收斂域的方法1) 對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑 , 再討論端點(diǎn)的收斂性 .2) 對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2. 冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與)0(0nnnnaxa也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求 .乘法運(yùn)算. 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3) 冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 已知nnnxa00 xx 在處條件收斂 , 問該級數(shù)收斂半徑是多少 ?答答: 根據(jù)Abel 定

16、理可知, 級數(shù)在0 xx 收斂 ,0 xx 時發(fā)散 . 故收斂半徑為.0 xR 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 在冪級數(shù)nnnnx02) 1(2中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 為奇數(shù),23n 為偶數(shù),61能否確定它的收斂半徑不存在 ?答答: 不能. 因?yàn)閚nnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x當(dāng)2x時級數(shù)收斂 ,2x時級數(shù)發(fā)散 ,.2R說明說明: 可以證明比值判別法成立根值判別法成立機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 A: 2 (1), (4), (7), (10) 3 (2), (4) 作業(yè)第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 阿貝爾阿貝爾(1802 1829)挪威數(shù)學(xué)家, 近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者. 他在22歲時就解決了用根式解5 次方程的不可能性問題 , 他還研究了更廣的一 并稱之為阿貝爾群. 在級數(shù)研究中, 他得 到了一