computationalelectrodynamicsTheFiniteDifferenceTimeDomainMethod3rdedition

1、完全匹配層吸收邊界條件Stephen Gedney7.1 介紹無界空間中的電磁波相互作用問題的有效且準(zhǔn)確的解決方案一直是FDTD（時(shí)域有限差分法）方法最大的挑戰(zhàn)。對于這些問題，必須引入一種位于外層網(wǎng)格邊界的吸收邊界條件（ABC），以仿真至無限遠(yuǎn)的網(wǎng)格的存在。正如我們在第六章回顧過的，已經(jīng)引入大量的分析技術(shù)手段來實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。一種實(shí)現(xiàn)ABC的代替方案是在吸收材料媒質(zhì)中的空間網(wǎng)格的外層邊界處終結(jié)。這與吸波暗室墻壁的物理方法類似。理想情況下，吸收媒質(zhì)只有幾個(gè)網(wǎng)格胞元的厚度，對傳播的波在其全頻譜無反射，高吸收，且在源或散射體近場處效率高。早期的一個(gè)實(shí)現(xiàn)這樣的吸收材料邊界條件的嘗試是由一位荷蘭人提出的，

2、他利用了一種傳統(tǒng)的有損耗無色散的吸收媒質(zhì)。此方式的困難在于這樣一種吸收層只能與垂直入射的平面波相匹配。因此，有損耗ABC的整個(gè)范疇在當(dāng)時(shí)的應(yīng)用僅僅被限定在電磁領(lǐng)域內(nèi)。自1994年起，Berenger提出的一種其命名為完全匹配層（PML）的高效吸收材料的ABC在這個(gè)領(lǐng)域中掀起一股新的熱潮。Berenger的PML的創(chuàng)新在于任意入射角度、極化和頻率的的平面波都可以在邊界處匹配?；蛟S具有同等重要的意義的是PML也可以被用作為一種吸收邊界來終結(jié)由不均勻、色散、各向異性以及甚至非線性媒質(zhì)組成的作用域，這在之前僅由解析導(dǎo)出的ABC是不可能實(shí)現(xiàn)的。在他開創(chuàng)性的工作中，Berenger得到了一個(gè)新的分裂場形式

3、的Maxwell方程組，在這個(gè)方程組中每個(gè)矢量場分量被分為兩個(gè)正交分量。Maxwell的旋度方程也是通過適當(dāng)?shù)胤蛛x，得到一組十二元耦合的一階偏微分方程組。之后，通過選擇與非色散媒質(zhì)相一致的損耗參數(shù)，便得到了一個(gè)完全匹配的平面。在連續(xù)空間中，PML吸收體和基本媒質(zhì)是完全匹配的。然而，在離散FDTD網(wǎng)格中，電與磁的材料參數(shù)是由一種分段常數(shù)的方式來表示并且在空間上交錯的。這導(dǎo)致了能夠降低PML的理想表現(xiàn)的離散化誤差。Berenger提出了一種PML參數(shù)的空間尺度來減少與材料交界面有關(guān)的離散化誤差。他也提出了減少對于二階FDTD算法的離散化誤差以及減小PML需要厚度的方法。隨著Berenger取得創(chuàng)造

4、性的進(jìn)展，許多論文證實(shí)了他的研究，并應(yīng)用了使用PML媒質(zhì)的FDTD方法。為了強(qiáng)化PML的表現(xiàn)，人們也對其進(jìn)行了一些修改。原始的分離場PML概念也以一種延伸坐標(biāo)的形式進(jìn)行了重申。這種形式拓展了PML對于通過度量的坐標(biāo)映射的其他正交坐標(biāo)系統(tǒng)的應(yīng)用。分離場PML也能夠直接用于FDTD離散化，這需要使用一種叫做卷積完全匹配層（CPML）的極為有效的算法，這種算法是由Roden和Gedney提出的。CPML適應(yīng)了更普遍的能夠使對緩慢變化的衰逝波的吸收提高的度量張量系數(shù)。也有觀點(diǎn)將分離場PML作為一種同時(shí)具有電、磁介電常數(shù)張量的單軸各向異性媒質(zhì)。將損耗引入張量，得到了一種完全匹配的吸收媒質(zhì)。單軸完全匹配層

5、（UPML）最早是由Gedney在FDTD方法中應(yīng)用的。UPML吸引人的地方在于它是以Maxwell方程而非數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)的。事實(shí)上，實(shí)現(xiàn)物理上的UPML媒質(zhì)的嘗試已經(jīng)有人提出過了。這一章將會回顧Berenger的分離場PML、它的延伸坐標(biāo)形式、UPML以及CPML。本書將著重講解這些方法間的關(guān)系。針對對笛卡爾坐標(biāo)中的FDTD空間網(wǎng)格的UPML和CPML，本書會進(jìn)行有效的補(bǔ)充。附加的內(nèi)容包括了多種PML的多離散化誤差和本構(gòu)參數(shù)與空間分段函數(shù)的最優(yōu)選擇。我們發(fā)現(xiàn)PML在含有通常情況會從空間網(wǎng)格終止的一些均勻、導(dǎo)電以及色散媒質(zhì)區(qū)域的FDTD模型中是可以應(yīng)用的。7.2 平面波垂直射入部分有損耗空間為

6、了建立一個(gè)我們討論P(yáng)ML吸收體的基礎(chǔ)，這部分回顧了一個(gè)正弦平面波以相對x軸任意角度射入一個(gè)常規(guī)的有損耗材料的物理過程。特別地，我們考慮一波由無損耗材料區(qū)域1射入有損耗材料區(qū)域2，區(qū)域1為，區(qū)域2（）材料的電導(dǎo)率與磁損耗參量分別為、。故，入射波磁場為(7.1)這里的上圓弧表示矢量。則，區(qū)域1內(nèi)的總場可以表示為，(7.2a)(7.2b)透射入?yún)^(qū)域2內(nèi)的場分量可以表示為(7.3a)(7.3b) 、分別為磁場的反射、透射系數(shù)，(7.4a)(7.4b)其中中，i=1,2。為了加強(qiáng)外圍場區(qū)在區(qū)域1與區(qū)域2于交界x=0處的連續(xù)性，使，以及(7.5a,b)總之，對應(yīng)任意入射角度。然而，對于垂直入射=0的特殊情

7、形有，(7.6)其中區(qū)域1與區(qū)域2的波阻抗可表示為(7.7a,b)然后我們令，更進(jìn)一步加強(qiáng)條件(7.8)故有，。由此可得，即一種垂直入射時(shí)區(qū)域1與區(qū)域2的無反射交界的情形。由(7.4b)，我們也可以找到對應(yīng)這種情形，(7.9)得到下面區(qū)域2中的透射場量：(7.10a,b)我們發(fā)現(xiàn)，對于垂直入射的情形，在區(qū)域2中的透射波沿著垂直方向呈指數(shù)式衰減。進(jìn)而，盡管在有損耗媒質(zhì)中傳輸，但這種波是無色散的。也就是說，其波速是由頻率決定的。因此，材料性的半空間區(qū)域2，其電、磁損耗由(7.8)定義，對于垂直入射的情形是與區(qū)域1完全匹配的。7.3 平面波入射Berenger PML媒質(zhì)情形在7.Error! Re

8、ference source not found.節(jié)已經(jīng)討論了有損耗媒質(zhì)用于終止FDTD空間網(wǎng)格的外層邊界吸收層取得的進(jìn)展有限。主要的困難在于這種媒質(zhì)只能在波垂直入射的情形下才能與網(wǎng)格內(nèi)部匹配。因此，傾斜入射的波會有一部分反射回計(jì)算區(qū)域而破會算法。結(jié)果導(dǎo)致這種吸收體在大多數(shù)的實(shí)際問題中并不是很有效。Berenger提出一個(gè)有啟發(fā)作用的理念，可以假設(shè)一個(gè)非物質(zhì)的吸收體，由于一種新穎的場分離策略，應(yīng)用附加的自由程度使而這個(gè)吸收體的匹配時(shí)與頻率無關(guān)，且與波的入射角度無關(guān)。結(jié)果，這種方法使得他命名的“完全匹配層”得到建立，而這種PML是與可吸收各種入射波的FDTD的空間網(wǎng)格毗鄰的。Berenger提出

9、的局部反射系數(shù)用于他的PML 1/3000，即MurABC，討論在第六章。由于自外層邊界反射的網(wǎng)格的總體噪聲功率減少了至少70dB。這部分我們回顧了應(yīng)用于平面波入射一個(gè)由這種媒質(zhì)組成的半空間的Berenger的PML方法的理論基礎(chǔ)。7. 3.1二維情形Maxwell方程組的場分離修改還是考慮一個(gè)入射區(qū)域2平面的材料的半空間交界處x=0.在區(qū)域2中，Berenger修改的Maxwell旋度方程組的時(shí)域形式如下(7.11a)(7.11b)(7.11c)(7.11d)其中，假設(shè)被分為兩部分(7.12)進(jìn)而，參量，表示電導(dǎo)率，而，表示磁損耗。 我們發(fā)現(xiàn)Berenger的方程形式代表了一個(gè)垂直模型物理媒

10、質(zhì)的通用概括。如果且，(7.Error! Reference source not found.a-d)折合到無損耗媒質(zhì)中的Maxwell方程組。如果且，(7.Error! Reference source not found.a-d)描述了一種電子可導(dǎo)的媒質(zhì)。如果而(7.Error! Reference source not found.)可以被滿足，則(7.Error! Reference source not found.a-d)形容了一種對于垂直入射平面波與區(qū)域1中x0半空間阻抗匹配的吸收媒質(zhì)，正如7.Error! Reference source not found.節(jié)部分所討論的。

11、然而其他可能情況會自己出現(xiàn)。如果，而媒質(zhì)能夠吸收一有著場分量、沿x軸傳播的平面波，卻不能夠吸收有著場分量、沿y軸傳播的平面波，這是因?yàn)樵谇罢咧袀鞑ヌ匦杂?7.Error! Reference source not found.b,c)，而在后者中由(7.Error! Reference source not found.a,d)決定。對于和類型的波，相反的情況確實(shí)存在。這些由成對的參數(shù)組和影響的特殊的Berenger媒質(zhì)的性質(zhì)是與這種新奇的ABC的基本前提緊密相關(guān)的，這一點(diǎn)在后來被證實(shí)。也就是說，如果成對的電、磁損耗滿足(7.Error! Reference source not found.

12、)，那么在分別與x、y軸垂直的交界面處，Berenger媒質(zhì)對與電磁波無反射?，F(xiàn)在考慮(7.Error! Reference source not found.a-d)表達(dá)在Berenger媒質(zhì)中的時(shí)諧形式。再次讓帽子符號表示一個(gè)矢量，我們寫成，(7.13a)(7.13b)(7.13c)(7.13d)引入變量簡化形式(7.14a,b)即，(7.Error! Reference source not found.a,b)可被寫成(7.15a,b)Berenger媒質(zhì)中的平面波解法下一步將要導(dǎo)出Berenger媒質(zhì)中的平面波解法。為了實(shí)現(xiàn)這一目的，我們將會加以區(qū)分，(7.Error! Refere

13、nce source not found.a)針對y，(7.Error! Reference source not found.b)針對x。代替(7.Error! Reference source not found.c,d)表達(dá)式和將得到(7.16a)(7.16b)將它們相加并使用公式(7.Error! Reference source not found.)，我們便得到了典型的波的等式(7.17)該波等式滿足解(7.18)其色散關(guān)系為(7.19)即，由(7.Error! Reference source not found.a,b)和(7.Error! Reference source n

14、ot found.)，我們有(7.20a)(7.20b)盡管場是分離的，外圍的電(E)、磁(H)場在跨越x=0交界處由(7.Error! Reference source not found.)，(7.Error! Reference source not found.)，和(7.Error! Reference source not found.)的連續(xù)性必須得到保護(hù)。為了加強(qiáng)這種連續(xù)性，我們有，或者與之等價(jià)的，。這證明了相位匹配的條件為。進(jìn)一步地，我們得到H場反射與透射系數(shù)(7.21a,b)無反射匹配條件現(xiàn)在，假設(shè)且。這與且（例，在兩個(gè)互相成對的例子中滿足(7.Error! Referen

15、ce source not found.)）。由(7.Error! Reference source not found.)，得出。代入(7.Error! Reference source not found.)即給出了對于任意入射角度的無反射條件在這種情況下，(7.Error! Reference source not found.)以及(7.Error! Reference source not found.)明確了以下在Berenger媒質(zhì)x0中的透射場量(7.22a)(7.22b)(7.22c)在完全匹配的Berenger媒質(zhì)中，投射波以與入射波相同的速度與方向傳播，同時(shí)經(jīng)歷沿垂直于區(qū)

16、域1與區(qū)域2交界面的x軸的指數(shù)衰減。衰減因子與頻率無關(guān)。與7.2節(jié)中考慮過的傳統(tǒng)的有損耗材料不同，這些可取的特性可以應(yīng)用于任意入射角的情形。因此，Berenger創(chuàng)造的術(shù)語“完全匹配層”具有重大意義。應(yīng)用Berener PML ABC的FDTD網(wǎng)格結(jié)構(gòu) 前面的分析可以重復(fù)用于垂直于y軸方向的PML。這也就準(zhǔn)許了Berenger提出二維的模式TDTD網(wǎng)格，如圖7.1所示，其中應(yīng)用了PML大大減少了外圍邊界的反射。這里，一個(gè)自由空間的計(jì)算區(qū)域所有的邊界都被PML所包圍，再之后是PEC墻。圖7.1 一種應(yīng)用BerengerPL ABC的二維模式FDTD網(wǎng)格。見后：Berenger,J.Computa

17、tional Physics,1994,pp.185-200.根據(jù)圖7.Error! Reference source not found.，在網(wǎng)格的左右兩邊(x1、x2)，據(jù)(7.Error! Reference source not found.)，每個(gè)PML都具有匹配的、，以及以允許跨越真空PML交界面的無反射的傳播。同樣據(jù)(7.Error! Reference source not found.)，在網(wǎng)格底部與頂部(y1、y2)，每個(gè)PML也都具有著有匹配的、，以及。在網(wǎng)格的四個(gè)角落，這些地方具有兩個(gè)PML的重疊區(qū)域，所有的四種損耗(和)都表示了出來并且設(shè)置與相鄰的PML的損耗相等。數(shù)

18、值色散的影響在這一點(diǎn)的一個(gè)合理的問題為，是否數(shù)值的相速色散限制了Berenger PML的最大效用，正如其在第六章中對解析的ABC的限制一樣?；诋?dāng)時(shí)的關(guān)于PML的經(jīng)驗(yàn)，答案是 經(jīng)過測量的PML的反射系數(shù)是要比隨著入射波角度與頻率變化的經(jīng)測量的數(shù)值相速低幾個(gè)數(shù)量級的。因此，PML的引人關(guān)注的作用是，在FDTD空間網(wǎng)格中，它是與數(shù)值色散的產(chǎn)物魯棒相關(guān)的。7.3.2 二維情形對于7.3.1部分的分析，針對極化的入射波的部分能夠重復(fù)利用，其中我們實(shí)現(xiàn)了場的分離，。與(7.Error! Reference source not found.)相類似，對于情形，PML修改的Maxwell方程如下：(7.23a)(7.23b)(7.23c)(7.23d) 與情形相類似， 情形下由PML的特性推導(dǎo)出的結(jié)果有輕微的讓步就會改變。在多數(shù)等式中，發(fā)生的變化只是帶有的的序列，以及帶有的的序列。然而，PML的匹配條件是不變的。這就保證了，在與外層網(wǎng)格的邊界相鄰的位置，我們可以構(gòu)建處一種可吸收的無反射層，正如情形中一樣。7.3.3 三維情形與(7.Error! Reference source not found.a-d)和(7.Error! Reference sourc