小方差控制課件

1、小方差控制最小方差自校正調(diào)節(jié)器最小方差自校正調(diào)節(jié)器 被控系統(tǒng) 控制器 控制器參數(shù)計算 (自適應(yīng)機構(gòu)) 參數(shù)估計器 u(k) y(k) 圖 1 自校正控制方法原理 q 自校正調(diào)節(jié)器(Self-Tuning Regulator, STR)最早是由Astrom和Wittenmark于1973年首先提出來的,其結(jié)構(gòu)如圖1所示.小方差控制 STR是以RLS參數(shù)估計方法在線估計最優(yōu)預(yù)報模型,并在此基礎(chǔ)上以輸出方差最小為調(diào)節(jié)指標(biāo)的一種可以適應(yīng)參數(shù)未知或慢時變的自適應(yīng)控制系統(tǒng). 欲討論參數(shù)未知時能調(diào)節(jié)系統(tǒng)輸出方差至最小的STR,需先引入?yún)?shù)已知時調(diào)節(jié)系統(tǒng)輸出方差最小的最小方差調(diào)節(jié)器. 最小方差調(diào)節(jié)的基本思想是

2、: 由于系統(tǒng)中信道存在著d步時滯,這就使得當(dāng)前的控制作用u(k)要到d個采樣周期后才能對輸出產(chǎn)生影響. 因此,要獲得輸出方差最小,就必須對輸出量提前d步進(jìn)行預(yù)報,然后根據(jù)預(yù)報值來計算適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)作用u(k). 這樣,通過不斷的預(yù)報和調(diào)節(jié),就能始終保持輸出量的穩(wěn)態(tài)方差為最小.小方差控制 在最小方差調(diào)節(jié)器的研究中,所討論的被控系統(tǒng)的模型為 A(q-1)y(k)=B(q-1)u(k-d)+C(q-1)e(k) (1)nnnnnnqcqcqCqbqbbqBqaqaqA11111011111)()(1)( 其中：對該系統(tǒng),有如下假設(shè):1. 被控系統(tǒng)時滯時間d以及時滯算子q-1的多項式A、B和C的階次及系數(shù)

3、都已知;2. 被控系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng),即多項式B(q-1)的所有零點都在單位圓內(nèi);3.A(q-1)、C(q-1)所有零點都為穩(wěn)定的,即所有零點都在單位圓內(nèi);4. e(k)為零均值白色噪聲序列,且Ee2(k)=2.小方差控制1 最小方差預(yù)測最小方差預(yù)測 設(shè)在k時刻已觀測到輸出值y(k),y(k-1),等，希望由此得到預(yù)測值 。)( kdky)()()()()()()(1111dkeqAqCkuqAqBdky 右邊為u(k),u(k-1),；e(k+d),e(k+d-1),e(k+1),e(k),e(k-1),等變量的線性組合， u(k),u(k-1)為系統(tǒng)輸入，可直接測量。 隨機變量e(k),e

4、(k-1)可根據(jù)在k時刻為止的系統(tǒng)輸入輸出值計算得到。 e(k+1), ,e(k+d)為系統(tǒng)在k時刻以后的干擾輸入，與直到k時刻為止的系統(tǒng)輸入輸出觀測值無關(guān)。 為了有效利用直到k時刻為止的系統(tǒng)輸入輸出觀測值進(jìn)行預(yù)測，須將這兩類變量區(qū)分開。為此可將C(q-1)/A(q-1)分成兩部分：(2)由式(1)有：小方差控制)1(11101)1(111111111)(1)()()()()()(nndddqgqggqGqfqfqFqAqGqqFqAqC F和G可通過長除法得到，F(xiàn)為商，而q-dG(q-1)為余因子。也可通過將式(3)寫成(3)()()()(1111qGqqFqAqCd 然后比較兩邊系數(shù)得到。

5、由(3)可將(2)右邊的噪聲項寫成：(4)()()()()()()()(11111keqAqGdkeqFdkeqAqC(5) 代入(2)可得：小方差控制)()()()()()()()()(11111keqAqGdkeqFkuqAqBdky 而由式(1)有：)()()()()()()(1111kuqqCqBkyqCqAked(6) 代入式(6)有：)()()()()()()()()()()()()(111111111kyqCqGkuqCqAqBqqGqAqBdkeqFdkyd(7) 利用式(4)可將式(8)化簡為：(8)()()()()()()()()()(111111kyqCqGkuqCqFq

6、BdkeqFdky(9) 記基于k時刻的觀測值對y(k+d)的預(yù)報為： 則它是k時刻及以前的輸入輸出的函數(shù)。若對預(yù)測的要求是使預(yù)測的誤差平方即系統(tǒng)誤差的方差為最小，則損失函數(shù)可表示為：)( kdky小方差控制)()()()()()()()()()( )()( 21111112kyqCqGkuqCqFqBdkeqFkdkyEdkykdkyEJ 上式中F(q-1)e(k+d)與其它項均不相關(guān)，且由于e(k)為零均值白噪聲序列，式(10)可寫為)()()()()()()()( )()(21111121kyqCqGkuqCqFqBkdkyEdkeqFEJ(10)與 的選擇無關(guān) )( kdky 因此當(dāng)上

7、式中第2項為0時，可使J最小。因此最小方差預(yù)測為：(11)()()()()()()()( 11111kyqCqGkuqCqFqBkdky(12)小方差控制最小方差預(yù)測估計的誤差 的方差為2212121)1 ()()()(vardffdkeqFEkdky(13)( -)()(kdkydkykdky2 最小方差控制最小方差控制 最小方差控制的目的是要確定u(k)，使得輸出的方差為最小，由于u(k)最早只能影響到y(tǒng)(k+d)，因此選擇性能指標(biāo)為)(2dkyEJ 上式可改寫為：(14)()( )()( )(2222kdkyEkdkyEkdkykdkyEdkyEJ(15) 預(yù)測誤差，e(k+1),e(k

8、+d)的線性組合。小方差控制顯然，使式(15)中性能指標(biāo)取最小值的充要條件是：0)()()()()()()()( 11111kyqCqGkuqCqFqBkdky(16)因此最小方差控制律為：)()(-)()()(111kyqGkuqFqB此時系統(tǒng)輸出的方差為：2212122)1 ()()(dffkdkyEdkyE(17)(18) 由式(16)可見，最小方差控制律可以通過先求出輸出提前d步的預(yù)測值 ，然后令 等于理想輸出值yr(這里yr=0)而得到，因此最小方差控制問題可分離成兩個問題，一個是預(yù)測問題，另一個是控制問題。)( kdky)( kdky小方差控制 例1 求解被控系統(tǒng)(1-1.7q-1

9、+0.7q-2)y(k)=(1+0.5q-1)u(k-d)+(1+1.5q-1+0.9q-2)e(k)的最小方差控制.解 首先考慮時滯d=1的情況，這時顯然有F(q-1)=1。 設(shè)G(q-1)=g0+g1q-1則由式(4)可得 (1+1.5q-1+0.9q-2)= (1-1.7q-1+0.7q-2)+q-1(g0+g1q-1)2 . 0, 2 . 310gg則由式(17)可得最小方差控制：)(5 . 012 . 02 . 3-)()()()(-)(11111kyqqkyqFqBqGku2)(varky而：小方差控制 其次考慮時滯d=2的情況，這時設(shè)G(q-1)與前面一致。而 設(shè)F(q-1)=1

10、+f1q-1 則通過比較系數(shù)可得f1=3.2,g0=5.64,g1=-2.24.最小方差控制：)u(k-.)-u(k-.)-y(k-.y(k).-ku2611731242645)(222124.11)1 ()(varfky而：小方差控制最小方差調(diào)節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性質(zhì)最小方差調(diào)節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性質(zhì)由被控系統(tǒng)模型Ay(k)=Bu(k-d)+Ce(k)和最小方差調(diào)節(jié)律u(k)=-G/(BF)y(k)可得調(diào)節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)框圖如圖2所示. 由圖2可以導(dǎo)出最小方差調(diào)節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)方程 e(k) - + y(k) u(k) + q-dB A C A G BF 圖圖2 最小方差調(diào)節(jié)器系統(tǒng)框圖最小方差調(diào)節(jié)器系統(tǒng)框圖

11、 )91 ()()(/1/)(keBGqBFABFCkeqkyddBFABGAC小方差控制 因此,當(dāng)B為穩(wěn)定多項式（即系統(tǒng)(1)為最小相位系統(tǒng)）時,上式中分子和分母中的多項式B可以對消,于是y(k)=Fe(k) (20) 不難看出,最小方差調(diào)節(jié)系統(tǒng)的實質(zhì),就是利用調(diào)節(jié)器(17)的極點去對消被控系統(tǒng)的零點.小方差控制3 自校正調(diào)節(jié)器自校正調(diào)節(jié)器(STR) 前面我們討論了被控系統(tǒng)在參數(shù)已知時的隨機離散系統(tǒng)的最小方差調(diào)節(jié)規(guī)律,而STR主要解決被控系統(tǒng)參數(shù)未知或慢時變時的最小方差調(diào)節(jié)問題. 對STR問題, 有直接法直接法和間接法間接法. 所謂間接法間接法,即在每一控制(采樣)周期先辨識系統(tǒng)模型,然后基

12、于實時辨識模型求解丟番圖方程,計算最小方差調(diào)節(jié)律及相應(yīng)的在線控制量. 所謂直接法直接法,則直接辨識系統(tǒng)的輸出預(yù)報模型,以避免在每一控制周期求解丟番圖方程和計算最小方差調(diào)節(jié)律.小方差控制 由最小方差控制的原理可知，最小方差是通過置輸出的d步預(yù)測值 為0而實現(xiàn)的。因此最小方差控制的核心是預(yù)測。 令)( kdky (q-1)=G(q-1) = 0+ 1q-1 +.+ n-1q-(n-1) (q-1)=B(q-1)F(q-1)=0+1q-1 +.+ n+d-1q-(n+d-1) (21)則最小方差控制律式(17)可寫成： (q-1)u(k)=- (q-1)y(k) (22)或：011110/ ) 1(

13、) 1() 1() 1()()(dk-nuk-unkykyky-kudnn顯然，若能直接估計出參數(shù)i和i ，則可由上式立即得到最小方差控制，為了能估計參數(shù)i和i，我們設(shè)定一個具有白噪聲干擾的預(yù)測模型： y(k+d)= (q-1)y(k)+ (q-1)u(k)+(k+d) (24)(23)小方差控制由式(12)，系統(tǒng)的d步最優(yōu)預(yù)測為 )()()()()()( )(1111kuqFqBkyqGkdkyqC預(yù)測誤差 )()()( )()(1dkeqFkdkydkykdky因此 )()( 1)()()()()()()( 1)()()()()()()(1111111kdkykdkyqCkuqkyqkdk

14、ykdkyqCkuqFqBkyqGdky(25)(26)(27)式(27)與設(shè)定的預(yù)測模型式(24)一致。根據(jù)系統(tǒng)辨識原理可知，這時采用最小二乘法等即可得到i和i 的無偏估計。將消失小方差控制 為了保證預(yù)報模型在閉環(huán)下的參數(shù)可辨識性的要求,可以設(shè)定多項式 (q-1)的首項系數(shù)0為一合理的估計值0,則可列寫出如下自回歸方程y(k+d)-0u(k)= T(k) +(k+d) (28)其中)1-(.) 1-() 1-(.)()( . . 111 -0dnkukunkykykdnnq 自回歸方程(28)的未知參數(shù)向量 可由帶遺忘因子的漸消記憶ELS法或SA法來估計。小方差控制 基于參數(shù)向量 的在線估計

15、值 (k)和最小方差調(diào)節(jié)律有如下自校正調(diào)節(jié)律q 上述自校正調(diào)節(jié)器為保證閉環(huán)可辨識性，未辨識參數(shù)0，而是辨識其估計值。 可以證明，若0的估計值滿足:)92(/ )()()(0kkku2/2/100則上述自校正調(diào)節(jié)律一樣可以收斂。小方差控制 廣義最小方差自校正控制廣義最小方差自校正控制 在前一講討論最小方差調(diào)節(jié)器和STR的穩(wěn)定性時已指出,STR僅適用于最小相位系統(tǒng)。 再者,最小方差調(diào)節(jié)器和STR中僅考慮使輸出的方差為最小, 沒有考慮使系統(tǒng)的輸出跟蹤給定的伺服輸入項, 也沒有考慮對控制作用加以約束以避免使控制作用變化劇烈或頻繁以降低控制儀表和測量儀表的損耗率. 而許多實際控制系統(tǒng)的目的是使系統(tǒng)的輸出

16、跟蹤給定的伺服輸入項,并對系統(tǒng)的輸入及輸入的變化量加以約束以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性,系統(tǒng)運行的平穩(wěn)性,以及降低儀表的損耗.小方差控制 為了克服最小方差調(diào)節(jié)器和STR的上述缺陷,Clake和Gawthrop等人于1975年提出了廣義最小方差控制算法. 這種算法仍然采用二次型的指標(biāo)函數(shù),但在指標(biāo)函數(shù)中引入了對伺服輸入項的跟蹤和對控制作用的約束. 由于引入了對控制作用的約束,不僅限制了控制作用的不適當(dāng)?shù)淖兓?同時使得可以通過適當(dāng)選擇對控制項約束的權(quán)因子的大小來使得該算法能適用于非最小相位系統(tǒng).小方差控制 考慮到使系統(tǒng)的輸出能跟蹤給定的伺服輸入項,以及對控制作用加以約束以避免使控制作用變化劇烈并使該控制方案

17、能適用于非最小相位系統(tǒng),最小方差控制器的指標(biāo)函數(shù)為 J=EP(q-1)y(k+d)-R(q-1)w(k)2+Q(q-1)u(k)2 (31) 式中w(k)為已知的參考輸入量; P,R,和Q分別為對實際輸出、參考輸入和控制輸入的加權(quán)多項式。 對指標(biāo)函數(shù)J的意義有如下說明: 該指標(biāo)函數(shù)中的第一項的作用為跟蹤伺服輸入w(k). 該指標(biāo)函數(shù)中的第二項的作用為約束控制量u(k)幅值和變化量. 加權(quán)多項式Q的作用為約束控制量的幅值和變化,因此Q的選取要兼顧對控制量的幅值和變化量的約束.小方差控制 該指標(biāo)函數(shù)中若Q=0,即不對控制項加以約束,則由該指標(biāo)函數(shù)所定義的控制問題即為輸出跟蹤問題. 若R=Q=0,即

18、不考慮跟蹤伺服輸入,則該指標(biāo)函數(shù)所定義的控制問題即為上一講中討論的最小方差調(diào)節(jié)器問題. 也就是說,最小方差調(diào)節(jié)器可視為廣義最小方差控制器的特例.小方差控制由上一節(jié)的結(jié)果可求出y(k+d)的d步最優(yōu)預(yù)報為：)()()()()()()()( 11111kyqCqGkuqCqFqBkdky(32)預(yù)報誤差：)()()( )()(1dkeqFkdkydkykdky(33)將以上兩式代入J中可得： )()( )()(- )()( )(E 2-12-1-1kuqQkwqRkdkykdkyqPJ 不相關(guān)于y(k-i),u(k-i);i0。記 )()( -1kdkyqP)()(2-12kdkyqPEa )()

19、( )()(-)( )( 22-12-1-1akuqQkwqRkdkyqPJ則：(34)(35)(36)小方差控制 )()( 2 )()(-)( )( 2)( 1 -001 -1 -kuqQqbkwqRkdkyqPkuJ由：其中b0,q0分別是多項式B(q-1)和Q(q-1)中的常數(shù)項，可得使J為最小的廣義最小方差控制0)()(-)()()( )(-1-1-1kwqRkuqQkdkyqP0-10-1)/( )(bqQqqQ式中：也可寫成： )( )(-)()()()(-1-1-1-1kdkyqPkwqRqQku上式中d步最優(yōu)預(yù)測值 由式(32)給出。(37)(38)( kdky )()( )(

20、)(-)( )( 22-12-1-1akuqQkwqRkdkyqPJ(36)小方差控制另一種表示方法是直接求變量)()()(-1dkyqPdk的d步最優(yōu)預(yù)測 。采用類似于求 的方法。)( kdk )( kdky)()()()()(-1-1-1-1-1qDqqAqEqCqPd首先，其中)1 -( -1 -1 -101 -1)-(1 -11-1)(1)(ppnnnnddqdqddqDqeqeqEnp為多項式P(q-1)的次數(shù)。(39)(40)(41)()()()()()()()()(111111dkeqAqCqPkuqAqBqPdk小方差控制類似上一節(jié)的式(6)到式(8)推導(dǎo)過程可得)()()()

21、()()()()()()()()(1 -1 -1 -1 -1 -1 -1dkeqEkuqCqEqBkyqCqDdkyqPdk與其他項不相關(guān)(42)再類似上一節(jié)由式(10)到式(12)的推導(dǎo)過程可得)()()()()()()()( 11111kuqCqBqEkyqCqDkdk)()()( -)()(1dkeqEkdkdkkdk)( kdk (43)(44)0)()(-)()()( -1-1kwqRkuqQkdk )( -)()()()(-1-1-1kdkkwqRqQku(45)(46)利用 可以將廣義最小方差控制律式(37)寫為：小方差控制 輔助系統(tǒng)方法 (Clark等) 首先定義如下輔助系統(tǒng)

22、其中 稱為廣義輸出。 利用 ，立即可以得到)()()()()()(11kwqRkuqQdkdk)(dk )( kdk )()()()()( )( 11kwqRkuqQkdkkdk 其最優(yōu)預(yù)測誤差 。與求解最小方差控制的思想一樣，令關(guān)于廣義輸出的d步最優(yōu)預(yù)測值 即可得廣義最小方差控制律： 與直接通過優(yōu)化過程而得到的式(45)完全一致。)()(kdkkdk0)( kdk0)()()()()( 11kwqRkuqQkdk(47)(48)(49)小方差控制 將式(43)代入式(48)：)()()()()()()()()()()()( 1111111kwqRkuqQkuqCqBqEkyqCqDkdk(5

23、0) 式(50)可簡寫成：)()()( )()()()()( )()( )()()()()()()( )(11111111111111qRqCqqQqCqEqBqqDqkwqkuqkyqkdkqC(51) 由 ，立即可得到與式(49)等價的廣義最小方差控制律0)( kdk0)()()()()()(111kwqkuqkyq(52)小方差控制 也可寫成：)()()()()(-)(1111kwqkyqqku(53) 將上式代入受控對象模型式(1)，可得到采用廣義最小方差控制后的閉環(huán)系統(tǒng)模型：)()()()()()()()()()()()()()()()()(11111111111111keqPqBqQqAqQqCqEqBkwqPqBqQqAqRqBqkyd(54) 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：0)()()()()(11111qPqBqQqAqT(55) 選擇Q和P，可以配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點，即P,Q的選擇將影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)Q=0時，閉環(huán)特征方程為 0)()()(111qPqBqTB(q-1)的零點成為閉環(huán)特征方程的根。 小方差控制因此當(dāng)受控對象為非最小相位系統(tǒng)時，閉環(huán)系統(tǒng)就不穩(wěn)