概率論與數(shù)理統(tǒng)計總復(fù)習(xí)ppt課件

1、1第一章第一章 隨機(jī)事件隨機(jī)事件1. 1. 事件事件A, P(A), A, P(A), 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)2. 2. 古典概型中求古典概型中求 P(A)= kP(A)= kA A/n/n3. 3. 條件概率條件概率()(|)( )P ABP A BP B4. 4. 乘全貝三大公式，見下頁乘全貝三大公式，見下頁2全概率公式全概率公式 貝葉斯公式貝葉斯公式 1122( )() ()() ()() ()nnP AP B P ABP B P ABP B P AB1()()(),1,2,.()()iiinjjjP BP A BP BAinP BP A B()( ) ()( ) ()P ABP A P

2、B AP B P A B乘法公式乘法公式 35. 5. 事件的獨立事件的獨立 P(AB)= P(A) P(B),定理（獨立的性質(zhì)）：若事件定理（獨立的性質(zhì)）：若事件A, B獨立則獨立則 , , ABABAB與與與也相互獨立。也相互獨立。技巧：技巧：n個獨立事件并的概率公式個獨立事件并的概率公式12,nA AA設(shè)設(shè)事件事件 相互獨立相互獨立, ,則則121(nP AAA ）121()nP A AA P(A1An)121() ()()nP A P AP A 4第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量( (一維一維) )1. 1. 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X Xpk，F(xiàn)(x)= PXx,F(x)= PXx

3、,常見離散型隨機(jī)變量常見離散型隨機(jī)變量: :X B(1,p).X B(n,p).X P()P50,T2152. 2. 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X Xf(x)，F(xiàn)(x)= PXxF(x)= PXx常見連續(xù)型隨機(jī)變量常見連續(xù)型隨機(jī)變量: :X Ua,bX服從參數(shù)為的指數(shù)分布2( ,)XN ( ),xf t dt( ),Lf x dxP XLP49,T196 3. 已知已知 X 的分布，求的分布，求Y=g (X) 的分布的分布2( ,)XN 若現(xiàn)已知()()().abXP aPbaX b(-x)=1-(x).P50,T20,21,22,23(0)=1/27第三章第三章 隨機(jī)向量隨機(jī)向量( (二維

4、二維) )1. 1. 離散型隨機(jī)向量離散型隨機(jī)向量(X,Y)(X,Y) pij， 由聯(lián)合分布律求邊緣分布律 82. 2. 連續(xù)型隨機(jī)向量連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)(X,Y)f(x,y)，(,)(,),yxFxyfuvd u d v 由聯(lián)合密度函數(shù)求邊緣概率密度函數(shù) P(, )( , ).DX YDf x y dxdydxyxfyfY),()(dyyxfxfX),()(P78,T4,T5P79,T8,T1093. 隨機(jī)變量的獨立性隨機(jī)變量的獨立性( , )( ) ( ).XYF x yFx Fy若若 (X,Y)是離散型隨機(jī)變量，則上述獨立性定義等價于：對是離散型隨機(jī)變量，則上述獨立性定義等價于：對

5、(X,Y)所有可能取值所有可能取值(xi , yj), 有有(, )() ()ijijP XxYyP XxP Yy成立。成立。若若 (X,Y) 是連續(xù)型隨機(jī)向量是連續(xù)型隨機(jī)向量 ，上述獨立性定義等價于：，上述獨立性定義等價于：( , )( )( )XYf x yfx fy 對于所有的對于所有的x, y 成立。成立。104. 隨機(jī)向量函數(shù)的分布隨機(jī)向量函數(shù)的分布 Z=X+Y的概率密度為的概率密度為: n個獨立的正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布個獨立的正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布,即有即有1122nnZa Xa Xa X2222221 1221122(,)nnnnN aaaaaa( )( )()

6、ZXYfzfx fzx dx特別地：當(dāng)特別地：當(dāng)X,Y獨立時，獨立時，Z=X+Y的概率密度為的概率密度為: ( )( ,) .Zfzf x zx dx(1) 和的分布和的分布P80,T19,T20P80,T2111 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)X1,Xn獨立同分布時，有獨立同分布時，有 N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是:M=max(X1,Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: Fmax (z)=F(z) n ， Fmin (z)=1-1-F(z) n .1max( )( )( );nXXFzFzFz1min( ) 1 1( ) 1( ).nXXFzFzFz 第六章P128,T10（2）極值分

7、布）極值分布 12第四章第四章 數(shù)字特征數(shù)字特征1. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 , 隨機(jī)變量函數(shù)的期望，期望的性質(zhì)隨機(jī)變量函數(shù)的期望，期望的性質(zhì)1,( ),kkkx pXE Xxf x dx X離散型連續(xù)型131(), ()( ) ( ),kkkg xpXE g Xg x f x dx X離散型連續(xù)型11 (, )( ,).ijijijE g X Yg x yp (, )( , ) ( , ) .E g X Yg x y f x y dxdy 14數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì): 1. 設(shè)設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(C)=C; 4. 設(shè)設(shè)X與與Y獨立，則獨立，則 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若

8、若k是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(kX)=kE(X); 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);11:()nniiiiEXE X推廣11:()nniiiiEXE X推廣（諸（諸Xi 獨立時）獨立時）技巧：計數(shù)器分解求期望！技巧：計數(shù)器分解求期望！P105,T21152. 方差及其性質(zhì)方差及其性質(zhì) Var(X)=E X-E(X)2 E(X 2)-E(X)2 1. 設(shè)設(shè)C是常數(shù)是常數(shù), 則則Var(C)=0, Var(X+C)= Var(X). 2. 若若C是常數(shù)是常數(shù), 則則Var(CX)=C 2 Var (X); 3. 若若X1與與X2 獨立，則獨立，則 Var(X1+X2)= Var(

9、X1)+Var(X2);11(),nniiiiVarXVar X可推廣為：若可推廣為：若X1, X2, , Xn相互相互獨立獨立, 則則211()nniiiiiiCCVarXVar X163. 協(xié)方差協(xié)方差 ，相關(guān)函數(shù)，相關(guān)函數(shù)Cov(X, Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY) -E(X)E(Y) Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)+ 2Cov(X,Y)(,)()()XYCov X YVar X Var YVar(XY)= Var(X)+Var(Y)2Cov(X,Y)17第五章第五章 極限定理極限定理定理定理 5.1.15.1.1切比雪夫(Chebyshev)不等式 設(shè)

10、隨機(jī)變量X具有期望E(X)= ,方差 Var(X)= 2,則:22| 1P X 或?qū)懗?2|P XP114, T218定理定理5.2.1（獨立同分布的中心極限定理）（獨立同分布的中心極限定理） 設(shè)設(shè)X1, X2, 是獨立同分布的隨機(jī)變量序列是獨立同分布的隨機(jī)變量序列, 且且 E(Xi) =, Var(Xi)=2， i = 1, 2, ，則，則任給任給 x (- -, ), 均有均有(0,1)./XNn近 似 地lim /nXPxn 1l i mniinXnPxn( )x ( )x 19 設(shè)設(shè) X X1 1,X,X2 2 , , ,X,Xn n是來自均值為是來自均值為 ,方差為方差為 2 2的總

11、體的樣本，則當(dāng)?shù)目傮w的樣本，則當(dāng)n充分大時充分大時, 定理定理6.2.1 (0,1)./XNn近 似 地第六章第六章 樣本與統(tǒng)計量樣本與統(tǒng)計量lim /nXPxn 1li mniinXnPxn( )x ( )x 20 2 分布分布,t 分布分布,F 分布分布.【注意注意】三大分布的三大分布的構(gòu)構(gòu)造，造，圖圖形，性形，性質(zhì)質(zhì)定理定理 6.3.1 (P126)(又稱基本定理又稱基本定理)2212(1)(2),nnS 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體2( ,)N 的樣本的樣本,2XS和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有1(3)nXSnt (1) ( , ) 0

12、 1XNn21第七章第七章 參數(shù)估計參數(shù)估計參數(shù)估計包括：點估計和區(qū)間估計。參數(shù)估計包括：點估計和區(qū)間估計。1. 矩估計矩估計2. 極大似然估計極大似然估計點估計介紹兩種方法：點估計介紹兩種方法：221. 矩估計矩估計1221211()1()1().niiniiniiXE XnXE XnXXVar Xn（）根據(jù)所求的未知參數(shù)的個數(shù)選擇上面的式子根據(jù)所求的未知參數(shù)的個數(shù)選擇上面的式子232. 極大似然估計極大似然估計 (3) 在最大值點的在最大值點的 表達(dá)式中，用樣本表達(dá)式中，用樣本X1,X2,Xn替換樣本值替換樣本值x1,x2,xn就得到參數(shù)的極大似然估計就得到參數(shù)的極大似然估計。求極大似然估

13、計的一般步驟是：求極大似然估計的一般步驟是：(1) 由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合分布律由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合分布律 (或或 聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)), 即為似然函數(shù)即為似然函數(shù)L() ；(2) 求似然函數(shù)求似然函數(shù)L() 的最大值點即的最大值點即的極大似然估計值的極大似然估計值; (常常轉(zhuǎn)化為求對數(shù)似然函數(shù)常常轉(zhuǎn)化為求對數(shù)似然函數(shù)ln L()的最大值點的最大值點,求導(dǎo)等于零求導(dǎo)等于零,二階導(dǎo)數(shù)在此點小于零，這才說明為最大值點二階導(dǎo)數(shù)在此點小于零，這才說明為最大值點 ）；）； *24估計量的優(yōu)良性準(zhǔn)則估計量的優(yōu)良性準(zhǔn)則則稱則稱 為為 的無偏估計。的無偏估計。一、無偏性一、無偏性 E二、二

14、、方差準(zhǔn)則方差準(zhǔn)則 如果兩個估計都是無偏估計，這時哪個估計的方差小，哪個估計比較優(yōu)。這種判定估計量的如果兩個估計都是無偏估計，這時哪個估計的方差小，哪個估計比較優(yōu)。這種判定估計量的準(zhǔn)則稱為準(zhǔn)則稱為“方差準(zhǔn)則方差準(zhǔn)則” 。25求參數(shù)求參數(shù) 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. (I). 設(shè)設(shè)X1,Xn是取自是取自 的樣本，的樣本， 2,已知2( ,)N 122, .XZXZnn正態(tài)總體的區(qū)間估計22 ( ,), ) (II XN 與均未知11(), ()22nnSSXtXtnn均值均值 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為1-1-的置信區(qū)間的置信區(qū)間2 求方差求方差 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為 的

15、置信區(qū)間的置信區(qū)間1222211(1)(1) , ()(1)2 2nnnSnS26 第八章第八章 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗一、單個正態(tài)總體一、單個正態(tài)總體N(N( , , 2 2) )均值均值 的檢驗的檢驗1. 1. 雙邊檢驗雙邊檢驗 H H0 0:=:=0 0；H H1 1:0 0 方差方差 2 2已知已知的情況的情況0/2 | / Z Xn此檢驗的拒絕域為 方差方差 2 2未未知知的情況的情況0n-1 | t()2/ XSn此檢驗的拒絕域為( (書上有！書上有！) )27 方差方差 2 2已知已知的情況的情況0 Z/ Xn此檢驗的拒絕域為 方差方差 2 2未未知知的情況的情況0n-1 )/ (.

16、tXSn此檢驗的拒絕域為2. 2. 右邊檢驗右邊檢驗 H H0 0:=:=0 0，H H1 1: 0 0 H H0 0:0 0，H H1 1: 0 0 右邊檢驗右邊檢驗 ( (書上有！書上有！) )( (書上有！書上有！) )28 方差方差 2 2已知已知的情況的情況0 - Z /Xn此檢驗的拒絕域為 方差方差 2 2未未知知的情況的情況0n-1 t) (/XSn 此檢驗的拒絕域為3. 3. 左邊檢驗左邊檢驗 H H0 0:=:=0 0，H H1 1:0 .0 .H H0 0:0 0，H H1 1: 0 02 2 3. 3. H H0 0: : 2 2 = = 0 02 2, , H H1 1: : 2 2 0 02 2 3. 3. H H0 0: : 2 2 0 02 2, , H H1 1: : 2 2 0 02 2( (書上有！書上有！) )31一：填空題（一：填空題（30分，每空兩分）分，每空兩分）填空：填空： 事件的運(yùn)算事件的運(yùn)算,獨立獨立,條件概率的計算條件概率的計算,期望與期望與 方差的計算方差的計算, Chebyshev不等式不等式,中心極限定理中心極限定理,三大三大分布的構(gòu)造分布的構(gòu)造 及性質(zhì)，第及性質(zhì)，第6章的基本定理章的基本定理, 置信區(qū)間置信區(qū)間.二：計算題二：計算題 （5題，共題，共70分）分）(1) (第第1章章)乘全貝三大公式；乘全貝三