射影面積法求二面角

1、僅供個人參考S射影射影面積法（cosq二 一）S原凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積S射的都可利用射影面積公式（COS二-）求出二面角的大小。S斜例1、如圖，在底面是一直角梯形的四棱錐 S-ABCD中,AD / BC,Z ABC=90 , SA丄平面 ABC , SA=AB=BC=1 ,1AD= 2 .求面SCD與面SAB所成的角的大小。解法1這里只故所求的A:可用射面積 要求出圖1求,Ssc D與SSAB即可,應(yīng)滿足COST = D不得用于商業(yè)用途11212衛(wèi).3232例2. （2008北京理）如圖，在三棱錐P -ABC 中，AC =BC =2 , AC

2、B = 90 ,AP 二 BP 二 AB , PC _ AC .(I)求證：PC _ AB ;(n)求二面角 B - APC的大小;解：(I)證略(n )； AC = BC , AP 二 BP APC BPC .又 PC _ AC , PC _ BC .又 ACB =90：,即 A C B,A C P cBC _ 平面 PAC .取AP中點E 連結(jié)BE, CE . :AB = BP , BE _ AP .；EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影， CE AP .人。是厶ABE在平面 ACP內(nèi)的射影,于是可求得：AB 二 BP 二 AP r【AC2 CB2 =2 2 , BE AB2 - AE2 =、6

3、 ,1 1 lAE = EC = - 2 則 S射=S ace AE * CE 2*2 = 1 ,設(shè)二面角B _ AP C的大小為、:，則co =-射 = 13S原33.面角B - AP -C 的大小為二-arccos 3練習1:如圖5, E為正方體 ABCD AiBiCiDi的 棱CCi的中點，求平面 ABiE和底面AiBiCiDi所成（答案：所求二面角的余弦值為2cos 0 =)圖52.如圖一，在四棱錐 P-ABCD中，底 面ABCD是矩形，PA _平面ABCD,AP 二 AB = 2 , BC = 2,2 , E, F 分別是AD, PC的中點.（1）證明：PC _ 平面 BEF ； （

4、2） 求平面BEF與平面BAP夾角的大小.題（1）解略；題（2）中平面BEF 與平面BAP夾角即為平面 BEF與平 面BAP所成的銳二面角.方法一：垂面法在圖中找到或作出一個與二面角的兩個如圖一：7 PA _ 平面 ABCD , BC 平面 ABCD , PA _ BC .半平面均垂直的平面，此平面截得的圖形便是二面角的平面角又、BC _ AB,ABPA = A,. BC _ 平面 BAP.又；BC二平面PBC 平面PBC _平面BAP .由題（1）, PC丄平面BEF , PC u平面BEF，二平面PBC丄平面BEF . 所以.PBF是所求二面角的平面角.V PB = . PA2 AB2 =

5、2.2, PF =丄 PCAB2 BC2 PA2 ,2 2即平面BEF與平面BAP夾角為一.4方法二：平移平面法如果兩平行平面同時與第三個平面相交，那么這兩個平行平面與第三個平面所成的二面角相等或互補利用此結(jié)論可以平移某一平面到合適的位置以便作出二面角的平面角如圖二：取BC的中點G，連接FG,EG .圖二銳角的余弦值.:E,F 分別是 AD,PC 的中點， EG AB, FG _ PB .又、FG fEG =G, ABfPB =B,.平面EFG二平面BAP .二面角BEFG的大小就是平面BEF與平面BAP夾角的大小.可以證明.BFG為二面角BEF -G的平面角，并求出其大小為 一.4方法三：射

6、影法IS表示S利用公式cos，其中S表示二面角的一個半平面內(nèi)某個多邊形的面積,S此多邊形在另一個半平面射影的面積，二表示原圖形與射影圖形所成的二面角如圖三：取PB的中點H，連接FH , AH ,/ F 為 PC 中點，F(xiàn)H 二 BC, AE 二 BC .由解法一知，BC _平面BAP ,.FH -平面 BAP， AE _ 平面 BAP ,.點F、E在平面BAP內(nèi)的射影分別為H、A.BEF在平面BAP上的射影為 BAH .可以證明 BEF和：BAH均為直角三角形1t HF 亠 BC, AEBC, HF = BC BC ,2四邊形HFEA為平行四邊形，.EFAE.記平面BEF與平面BAP夾角為二，

7、則cost二:S邨EF2Jin所以，即平面BEF與平面BAP夾角為一.443已知 ABC是正三角形，PA 平面ABCP 思維的大小是由二面角的平面角題可且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。三垂線定理（逆）來作來度量的,O平面角A還可以用射影面積公式或異面直線上兩點 間距離公式求B解1:（三垂線定理法）取AC的中點E,連接BE,過E做EF_PC，連接BFPA _平面ABC，PA 平面PAC.平面PAC _平面ABC,平面PAC 平面 ABC=AC.BE _ 平面 PAC圖1由三垂線定理知 BF_PC.BFE為二面角A-PC-B的平面角設(shè) PA=1,E 為 AC 的中點，BE= ,EF=

8、m24.tan bfe =更=.6EFzbfe =argtan 6解2：（三垂線定理法）取BC的中點E，連接AE，PE過A做AF_PE, FM _ PC,連接 FMP丁 AB=AC,PB=PCIMc” AE 丄 BC,PE 丄 BCA.BC_ 平面 PAE,BC 平面 PBC幾 平面PAE丄平面PBC, 平面PAE1平面PBC=PE由三垂線定理知AMPC.FMA為二面角A-PC-B的平面角設(shè) PA=1, AM=d,AF=海二旦2PE 7.sin FMA = AF 42AM 7.J42zfma =argsin -解3:（投影法）過B作BE _ AC于E,連結(jié)PE-PA _ 平面 ABC , PA

9、 平面 PAC.平面PAC _平面 ABC,平面PAC 平面ABC=ACBE _平面PACPEC是PBC在平面PAC上的射影4, Spbc4由射影面積公式得,COS = d7SPBC 7“argcos,4.在單位正方體 ABCiDi-ABCD中，求二面角A-AC-B的度數(shù)。、三垂線法！ i1*利用垂線定理或逆定理構(gòu)造出出二面的平面角，進而求解。/作 AO丄AC,取AB的中點M , 連結(jié)Om,.aM.OM 丄 AC匯AOM為所求二面角A ACB的平面角解法由三垂線逆定理知 亠-在rIaac中AC射影法利用斜面面積和射影面積的關(guān)系：S射影=S斜面cosv為斜面與射影所成二面角的設(shè) PA=1,貝卩

10、PB=PC= 2 ,AB=1平面角）直接求解。解法二、取AC的中點G，連結(jié)BG.L ABC在平面A AC上的射影為L AGCSAGC - Rt ABC COST1.COSV從而二面角 A - AC - B的大小為60：僅供個人用于學(xué)習、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniqu