26弧長與扇形面積

1、弧長與扇形面積弧長與扇形面積本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.6 如如圖是某市的摩天輪的示意圖圖是某市的摩天輪的示意圖. 點點o是圓是圓心，心，半徑半徑r為為15m，點，點a，b是圓上的兩點，圓是圓上的兩點，圓心角心角aob=120. 你能想辦法求出你能想辦法求出 的長度的長度嗎？說嗎？說說說你的理由你的理由.動腦筋動腦筋ab 因為因為aob=120， 所以所以 的長是圓周長的的長是圓周長的 ，因此，因此 的長為的長為 2 15 = 10 （m）.ab13ab13 我們知道圓周長的計算公式為我們知道圓周長的計算公式為c=2r，其中其中r是圓的半徑是圓的半徑，即，即360的圓心角所對的圓心角所對的弧長就是圓周

2、長的弧長就是圓周長c.如果如果aob=n，你能求出，你能求出 的長嗎？的長嗎？ab 在同一個圓中在同一個圓中，如果圓心角相等如果圓心角相等，那么那么它們所對的弧相等它們所對的弧相等. 而一個圓的圓心角為而一個圓的圓心角為360，因此：因此：1的圓心角所對的弧長為的圓心角所對的弧長為n的圓心角所對的弧長的圓心角所對的弧長l為為12360， r1= 2.360 l nr結(jié)論結(jié)論半徑為半徑為r的圓中，的圓中，n的圓心角所對的弧長的圓心角所對的弧長l為為= 2= .360180nnrl r 由此得出以下結(jié)論：由此得出以下結(jié)論：例例1 已知圓已知圓o的半徑為的半徑為30cm，求，求40的圓心的圓心 角所

3、對的弧長角所對的弧長( (精確到精確到0.1cm) ) 舉舉例例40 30= 180 l 解解 403.1430 180 20.9 cm .()()如圖所示，一個邊長為如圖所示，一個邊長為10cm的等邊三角形木的等邊三角形木板板abc在水平桌面上繞頂點在水平桌面上繞頂點c按順時針方向按順時針方向旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)到abc的位置，求頂點的位置，求頂點a從開始到結(jié)從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路程為多少束所經(jīng)過的路程為多少. .舉舉例例例例2 解解 由圖可知，由于由圖可知，由于acb =60，則等邊，則等邊 三角形木板繞點三角形木板繞點c按順時針方向旋轉(zhuǎn)了按順時針方向旋轉(zhuǎn)了120， 即即aca =120，這說明頂點

4、，這說明頂點a經(jīng)過的經(jīng)過的 路程長等于路程長等于 的長的長. aa 等邊三角形等邊三角形abc的邊長為的邊長為10cm， 所在圓的半徑為所在圓的半徑為10cm. aa aa 2012010= =cm .1803l ()()答：頂點答：頂點a從開始到結(jié)束時所經(jīng)過的從開始到結(jié)束時所經(jīng)過的 路程為路程為 cm. 203練習(xí)練習(xí)如圖如圖是一個鬧鐘正面的內(nèi)、外輪廓線是一個鬧鐘正面的內(nèi)、外輪廓線. 內(nèi)內(nèi)輪廓線由一段圓弧和一條弦輪廓線由一段圓弧和一條弦ab組成，圓心組成，圓心為為o，半徑為，半徑為3.2cm，圓心角，圓心角aob=83，求內(nèi)輪廓線的圓弧的長度求內(nèi)輪廓線的圓弧的長度.1.解：解：(360-83

5、)3.22773.2 1108 cm180180225l=()()答：內(nèi)輪廓線的圓弧的長度為答：內(nèi)輪廓線的圓弧的長度為1108 cm.2252. 如圖，一塊鉛球比賽場地是由一段如圖，一塊鉛球比賽場地是由一段80的圓心角的圓心角所對的圓弧和兩條半徑圍成的，若該比賽場地的所對的圓弧和兩條半徑圍成的，若該比賽場地的周界是周界是34 m，求它的半徑，求它的半徑oa長（精確到長（精確到0.1m）.480 2 =2 = 23.4 (m).1809 rl + r + r r+ rr ab設(shè)半徑設(shè)半徑oa的長為的長為r. 則根據(jù)題意，該比賽場地則根據(jù)題意，該比賽場地的周界為的周界為又已知該比賽場地的周界是又已

6、知該比賽場地的周界是34m，解解 34=10.0(m).3.4r 圓的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的圓的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所圍成的圖形叫作兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形扇形. 如圖，陰影部分是一個扇形，記作如圖，陰影部分是一個扇形，記作扇形扇形oab. 我們可以發(fā)現(xiàn)，扇形面積與組成扇形的我們可以發(fā)現(xiàn)，扇形面積與組成扇形的圓心角的大小有關(guān)，在同一個圓中，圓心角圓心角的大小有關(guān)，在同一個圓中，圓心角越大，扇形面積也越大越大，扇形面積也越大.探究探究 如何求半徑為如何求半徑為r，圓心角為，圓心角為n的的扇形的面積呢？扇形的面積呢？ 我們可以把圓看作是圓心角為我們可以把圓看作是圓心角為360

7、的扇形，的扇形，它的面積即圓面積它的面積即圓面積 因為圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任因為圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能與自身重合，所以圓心角為意角度，都能與自身重合，所以圓心角為1的的扇形能夠互相重合，從而圓心角為扇形能夠互相重合，從而圓心角為1的扇形的的扇形的面積等于圓面積的面積等于圓面積的 ，即，即 2 .360r 1360因此，圓心角為因此，圓心角為n的扇形的面積為的扇形的面積為2 .360rn2 .=s r結(jié)論結(jié)論由此得到：由此得到：半徑為半徑為r的圓中，圓心角為的圓中，圓心角為n的扇形的面積的扇形的面積s為為 2 .=360扇扇形形nrs 又因為扇形的弧長又因為扇形的弧長 ，= 180nrl 因此因此2

8、 . 1=3602 1801=2nrnrsrlr扇扇形形例例3 如圖，圓如圖，圓o的半徑為的半徑為1.5cm，圓心角，圓心角 aob=58，求扇形，求扇形oab的面積的面積. . ( (精確到精確到0.1cm2).). 舉舉例例222581.5=360583.14 1.53601.1 cm .s () ()解解 因為因為r=1.5cm，n=58，所以扇形所以扇形oab的面積為的面積為解解 設(shè)設(shè)aob=n，解得解得n=135，即圓心角，即圓心角cod=135.舉舉例例如下圖是一條圓弧形彎道，已知如下圖是一條圓弧形彎道，已知oa=20m， oc=12m， 的長度為的長度為9m，求圓弧形彎道，求圓弧

9、形彎道的面積的面積. .cd例例4 oc=12m， 的長度為的長度為9m，cd, 129 = 180n 答：這條圓弧形彎道的面積為答：這條圓弧形彎道的面積為 . .962m 2213520=150 m .360扇扇形形oabs ()() 211=9 12=54 m .22扇扇形形ocds l r=()()2150 5496m .扇扇形形扇扇形形acdboabocd= =ss s ()()- - -彎道如圖，在圓如圖，在圓o中，中，aob=120，弦，弦ab的長為的長為 cm，求扇形，求扇形oab的面積的面積. .解：作解：作omab 于于m.練習(xí)練習(xí)m2 31.則則 r2= om2+mb2 =

10、 ( ( r) )2 + = +3()22=12024= cm .3603oabs 扇扇形形1223（）. 2r =14r 2解得解得所以所以如圖，分別以如圖，分別以abc的頂點的頂點a，b，c為圓心，為圓心，以以1為半徑畫圓，求圖中綠色部分的面積為半徑畫圓，求圖中綠色部分的面積. .2.解：設(shè)解：設(shè) 則則() 222+ = = 1 1 1= 360360360 1 = 3601803601.2s 綠綠ca=, b= , =.如圖，有一直徑是如圖，有一直徑是20cm的圓形紙片，現(xiàn)從中的圓形紙片，現(xiàn)從中剪出一個圓心角是剪出一個圓心角是90的扇形的扇形abc ，求被剪，求被剪掉部分的面積掉部分的面積. .3.解：連接解：連接bc. bac=90， bc 是直徑是直徑.易求出扇形的半徑易求出扇形的半徑 ab=10 cm. 被剪掉部分的面積為被剪掉部分的面積為 22()222=9010= 1050 cm .360s ()()中考中考 試題試題例例 如圖，直角三角形如圖，直角三角形abc的斜邊的斜邊ab=35，點點o在在ab邊上，邊上，ob=20，一個以，一個以o為圓心的為圓心的圓，分別切兩直角邊圓，分別切兩直角邊bc，ac于于d、e兩點，兩點，求求 的長度的長度. de連接連接oe、od， o切切bc、ac于點于點d、e，odbc，oeac.