未定式的極限課件

1、未定式的極限13.2 未定式的極限未定式的極限洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 三、小結(jié)三、小結(jié)型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 未定式的極限2洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 定義定義.00)()(lim)()()()(型未定式型未定式或或常把這種極限稱為常把這種極限稱為在通在通可能存在、也可能不存可能存在、也可能不存極限極限大，那末大，那末都趨于零或都趨于無窮都趨于零或都趨于無窮與與時，兩個函數(shù)時，兩個函數(shù)或或如果當(dāng)如果當(dāng) xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnli

2、m0bxaxx)00()( 未定式的極限3.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax 那末那末或?yàn)闊o窮大或?yàn)闊o窮大存在存在且且都存在都存在及及點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)在在都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時時當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)定理定理定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則. .未定式的極限4.,該法則仍然成立該法則仍然成立時時當(dāng)當(dāng) x使使用用洛洛必必達(dá)達(dá)

3、法法則則，即即定定理理的的條條件件，可可以以繼繼續(xù)續(xù)滿滿足足型型，且且仍仍屬屬如如果果)(),(00)()(xFxfxFxf .)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx .,也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則時的未定式時的未定式當(dāng)當(dāng) xax未定式的極限5例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23 )00()0

4、0(未定式的極限6例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原原式式. 1 )00()( axbxxcoscoslim0 未定式的極限7例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( xxxxxx

5、x3lim2tan33tan 原原式式31 ? 未定式的極限8 例例6 6解解.0)( lnlim xxx求求11lim xxx求求導(dǎo)導(dǎo)原原式式 xx1lim 120lim xx求求導(dǎo)導(dǎo)0lim x0 ?解解 xx1lim . 0 11lim xxx求求導(dǎo)導(dǎo)原原式式未定式的極限9例例7. 求求解解: (1) n 為正整數(shù)的情形為正整數(shù)的情形.原式原式0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!lim. )0, 0(limnexxnx型(2) n 不為正整數(shù)的情形不為正整數(shù)的情形.nx從而從而xnexxkexxkex1用夾逼準(zhǔn)則用夾逼準(zhǔn)則kx1kx存在正整數(shù)存在正整數(shù) k

6、 , 使當(dāng)使當(dāng) x 1 時時,由由(1)0limlim1xkxxkxexex0limxnxex未定式的極限10注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. .例例8 8解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 另解另解30tanlim xxxxxx 原式原式0lim 0 x? 0 未定式的極限11練練 習(xí)習(xí) 題題作業(yè)：作業(yè)：p1008. （1）、

7、（）、（3）、（）、（5）、（）、（7）、（）、（9）。）。未定式的極限12練習(xí)題答案練習(xí)題答案未定式的極限13型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 )0( 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型的類型 .),00()( 型型 0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或例例9 9解解0 0limln (0) .xxx 求00 0 ln limxxxx 對取倒數(shù)原式10 01 limxxx 0.0 0 limxx 未定式的極限14例例1010解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsins

8、inlim0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步驟步驟:未定式的極限15例例1111解解).tan(seclim2xxx 求求)cossincos1(lim 2xxxx 取取倒倒數(shù)數(shù)原原式式xxxcossin1lim2 通通分分xxxsincoslim 200 求求導(dǎo)導(dǎo). 0 連連續(xù)續(xù) )( 未定式的極限16步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 ( )( )ln( )ln( )g xyf xyg xf x( )ln( )g xf xye例例1212解解0 0lim.xxx 求)0(0ln0 0limxxxe 原式0

9、 0limlnxxxe 0 021lim1xxxe 0e . 1 0 0lnlim1xxxe 未定式的極限17例例1313解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1414解解1ln0 0lim (cot ).xxx 求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對數(shù)得取對數(shù)得0 01limln(cot )lnxxx 20 011cotsinlim1xxxx 0 0limcossinxxxx , 1 .1 e原式原式未定式的極限18例例1515.coslimxxxx 求求注意：注意：洛必達(dá)法則的使用條件洛必達(dá)法則的使用條件解解1sin1lim xx 求求導(dǎo)導(dǎo)原原式式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在.coslim 不不存存在在，也也不不是是xxxx ？洛必達(dá)法則失效。洛必達(dá)法則失效。)cos11(limxxx 原原式式. 1 未定式的極限19三、小結(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對對數(shù)數(shù)令令gfy 作業(yè)：作業(yè)：p1008. （10）、（）、（11）、（）、（13）、（）、（17)未定式的極限20二、二、 用洛必達(dá)法則求下列極限：用洛必達(dá)法則求下列極限：1 1、2