不定積分的概念和性質(zhì)

1、不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的概念和性質(zhì) 前面我們已經(jīng)研究了一元函數(shù)微分學(xué)。但在科學(xué)前面我們已經(jīng)研究了一元函數(shù)微分學(xué)。但在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，還會(huì)遇到與此相反的問題：即尋求一技術(shù)領(lǐng)域中，還會(huì)遇到與此相反的問題：即尋求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)等于一個(gè)已知函數(shù)。從而產(chǎn)個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)等于一個(gè)已知函數(shù)。從而產(chǎn)生了一元函數(shù)積分學(xué)。積分學(xué)分為不定積分和定積生了一元函數(shù)積分學(xué)。積分學(xué)分為不定積分和定積分兩部分。分兩部分。 本章我們先從導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算引出不定積分的概本章我們先從導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算引出不定積分的概念念然后介紹其性質(zhì)，最后著重系統(tǒng)地介紹積分方法。然后介紹其性質(zhì)，最后著重系統(tǒng)地介紹積分方

2、法。不定積分的概念和性質(zhì)重點(diǎn)重點(diǎn)原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念基本積分公式基本積分公式換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法有理函數(shù)積分有理函數(shù)積分難點(diǎn)難點(diǎn)換元積分換元積分分部積分分部積分有理函數(shù)積分有理函數(shù)積分不定積分的概念和性質(zhì)基本要求基本要求正確理解原函數(shù)和不定積分概念正確理解原函數(shù)和不定積分概念熟記基本積分公式熟記基本積分公式熟練地運(yùn)用換元積分法和分部積分法熟練地運(yùn)用換元積分法和分部積分法會(huì)用待定系數(shù)法求有理函數(shù)積分會(huì)用待定系數(shù)法求有理函數(shù)積分會(huì)用萬能代換和三角代換求三角有理式積分會(huì)用萬能代換和三角代換求三角有理式積分會(huì)求簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分會(huì)求簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分不定積分

3、的概念和性質(zhì)例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0(內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，內(nèi)，定義：定義：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf導(dǎo)函數(shù)為導(dǎo)函數(shù)為)(xf，或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù). .一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念不定積分的概念和性質(zhì)對(duì)原函數(shù)的研究須討論解決以下兩個(gè)對(duì)原函數(shù)的研究須討論解決以下兩個(gè)問題問題(1) 是否任何一個(gè)函數(shù)都存在原函數(shù)？是否

4、任何一個(gè)函數(shù)都存在原函數(shù)？考察如下的例子考察如下的例子 0100)(xxxf若存在可導(dǎo)函數(shù)若存在可導(dǎo)函數(shù))()()(xfxFxF 使使)(xf則由則由的定義的定義時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 x0)()( xfxF1)(CxF 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 x0)()( xfxF2)(CxF 處處連連續(xù)續(xù)在在可可導(dǎo)導(dǎo)由由0)()( xxFxF關(guān)于原函數(shù)的說明：關(guān)于原函數(shù)的說明：不定積分的概念和性質(zhì)21CC （左、右極限存在且相等）（左、右極限存在且相等）CxF )(0)0( F而已知而已知1)0()0( fF矛盾矛盾這說明這說明)(xf沒有原函數(shù)沒有原函數(shù) 既然不是每一個(gè)函數(shù)都有原函數(shù)，那么我們自然既然不是每一個(gè)函數(shù)都有原函數(shù)，

5、那么我們自然要問：具備什么條件的函數(shù)才有原函數(shù)？對(duì)此我們要問：具備什么條件的函數(shù)才有原函數(shù)？對(duì)此我們給出如下的結(jié)論：給出如下的結(jié)論：原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那么在區(qū)間那么在區(qū)間I內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù))(xF，使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .不定積分的概念和性質(zhì)簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).（證明待下章給出）（證明待下章給出）（2）原函數(shù)是否唯一？若不唯一，它們之間有）原函數(shù)是否唯一？若不唯一，它們之間有 什么聯(lián)系？什么聯(lián)系？若若 ，則對(duì)于任意常數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù) ，)()(xfxF CC

6、xF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù). 若若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xF)(xG)(xf則則CxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C證證 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C不定積分的概念和性質(zhì)任意常數(shù)任意常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的的原原函函數(shù)數(shù)稱為稱為)(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的不不定定積積分分，記記為為 dxxf)(. .

7、 為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)再加上積分常數(shù)即可再加上積分常數(shù)即可不定積分的概念和性質(zhì)例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx不定積分的概念和性質(zhì)例例3 3 設(shè)曲線通過點(diǎn)（設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一

8、一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點(diǎn)（由曲線通過點(diǎn)（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy不定積分的概念和性質(zhì)函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線.顯然，求不定積分得到一積分曲線族顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF結(jié)論：結(jié)論： 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是的的.不定積分的概念和性質(zhì)實(shí)例實(shí)例 xx 11.11Cxdxx

9、 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 二、二、 基本積分表基本積分表不定積分的概念和性質(zhì)基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx說明：說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為.ln Cxxdx不定積分的概念和性質(zhì) xdxxtansec)10(;secCx x

10、dxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx 以上以上1515個(gè)公式是求不定積分的基礎(chǔ)，個(gè)公式是求不定積分的基礎(chǔ)，稱為基本積分表，必須熟練掌握。稱為基本積分表，必須熟練掌握。不定積分的概念和性質(zhì)例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）Cxdxx 11 不定積分的概念和性質(zhì) dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)(

11、)().()(xgxf 等式成立等式成立.此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況三、三、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) dxxfxfn)()(1 dxxfdxxfn)()(1不定積分的概念和性質(zhì) dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k證明只須驗(yàn)證右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù)證明只須驗(yàn)證右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù)（1）+（2） dxxfkdxxfkiniiniii)( )(11即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合這說明不定積分具有線性運(yùn)算性質(zhì)這說明不定積分具有線性運(yùn)算性質(zhì) 注意到上式中有

12、注意到上式中有n個(gè)積分號(hào)，形式上含有個(gè)積分號(hào)，形式上含有n個(gè)任意個(gè)任意常數(shù)常數(shù),但由于任意常數(shù)的線性組合仍是任意常數(shù)，故但由于任意常數(shù)的線性組合仍是任意常數(shù)，故實(shí)際上只含有實(shí)際上只含有一個(gè)任意常數(shù)一個(gè)任意常數(shù)分項(xiàng)積分法分項(xiàng)積分法不定積分的概念和性質(zhì)例例5 5 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 注意注意檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求導(dǎo)，看檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求導(dǎo)，看其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)不定積分的概念和性質(zhì)例例6 6 求積分求積分.)1(122dxxxx

13、x 解解dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 例例7 7 求積分求積分.)1(21222dxxxx 解解dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222不定積分的概念和性質(zhì)dxxdxx 22111.arctan1Cxx 例例8 8 求積分求積分.2cos11 dxx解解 dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 不定積分的概念和性質(zhì)例例9dxxx 241解解dxxx 241dxxx 2411)1(dxxx 11122Cxxx 331arctan例例10dxxx

14、22cossin1解解dxxx 22cossin1dxxxxx 2222cossincossin不定積分的概念和性質(zhì) dxxxsin1cos122Cxx cottan例例11dxxx 2cos2sin122解解dxxx 2cos2sin122dxxx 2cos2sin4422dxx 2sin14Cx cot4說明：說明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.不定積分的概念和性質(zhì)例例 1212 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn))(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲

15、線與y軸的交軸的交點(diǎn)為點(diǎn)為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程. 解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy不定積分的概念和性質(zhì)例例13 求求 dxxxI, 1max32解解 1|111, 1max2332xxxxxxx故故時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1 x14341CxdxxI 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1 x23231CxdxxI 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1| x 3CxdxI不定積分的概念和性質(zhì)因被積函數(shù)連續(xù)，故原函數(shù)可導(dǎo)，進(jìn)而原函數(shù)連續(xù)因被積函數(shù)連續(xù)，故原函數(shù)可導(dǎo)，進(jìn)而原函數(shù)連續(xù)于是有于是有)4(lim)(li

16、m14131CxCxxx 13411CC 3143CC )(lim)31(lim31231CxCxxx 32131CC 332CC I132313 xCx11 xCx143414 xCx不定積分的概念和性質(zhì)說明說明求不定積分時(shí)一定要加上積分常數(shù)，它表明求不定積分時(shí)一定要加上積分常數(shù)，它表明一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個(gè)，即要求的是全一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個(gè)，即要求的是全體原函體原函 數(shù)，若不加積分常數(shù)則表示只求出了一數(shù)，若不加積分常數(shù)則表示只求出了一個(gè)原函數(shù)個(gè)原函數(shù)寫成分項(xiàng)積分后，積分常數(shù)可以只寫一個(gè)寫成分項(xiàng)積分后，積分常數(shù)可以只寫一個(gè)積分的結(jié)果在形式上可能有所不同，但實(shí)質(zhì)上積分的結(jié)果在形式上可能有所不同，但實(shí)質(zhì)上只相差一個(gè)常數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)不定積分的概念和性質(zhì)基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxF 不定積分的概念：不定積分的概念： CxFdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)