矢量分析課件

1、 電磁場電磁場與與電磁波電磁波Electromagnetic Fields & Magnetic Wave范之國范之國通信所通信所 圖像信息處理研究室圖像信息處理研究室 http:/QQQQ: : 9210364 9210364TELTEL: : MAILMAIL: : OFFICEOFFICE: :南校區(qū)南校區(qū) 逸夫樓逸夫樓708708- -2 2前前 言言一一 電磁場理論的主要研究領(lǐng)域電磁場理論的主要研究領(lǐng)域 二二 磁場理論發(fā)展簡史磁場理論發(fā)展簡史 三三 電磁場理論的主要研究內(nèi)容電磁場理論的主要研究內(nèi)容四四 學(xué)習(xí)的目的、方法及其要求學(xué)習(xí)的目的、方法及其要求作為理論物理學(xué)的一個作為理

2、論物理學(xué)的一個重要研究分支，主要致重要研究分支，主要致力于統(tǒng)一場理論和微觀力于統(tǒng)一場理論和微觀量子電動力學(xué)的研究量子電動力學(xué)的研究。電磁電磁場的場的主要主要研究研究領(lǐng)域領(lǐng)域 作為無線電技術(shù)的理論作為無線電技術(shù)的理論基礎(chǔ)，集中于基礎(chǔ)，集中于三大類應(yīng)三大類應(yīng)用問題的研究用問題的研究。一一 電磁場理論的主要研究領(lǐng)域電磁場理論的主要研究領(lǐng)域三大類應(yīng)用問題：三大類應(yīng)用問題： 電磁場（波）作為能量的一種形式電磁場（波）作為能量的一種形式，是當(dāng)，是當(dāng)今世界最重要的能源，其研究領(lǐng)域涉及電今世界最重要的能源，其研究領(lǐng)域涉及電磁能量的產(chǎn)生、儲存、變換、傳輸和綜合磁能量的產(chǎn)生、儲存、變換、傳輸和綜合利用。利用。 電

3、磁波作為信息傳輸?shù)妮d體電磁波作為信息傳輸?shù)妮d體，成為當(dāng)今，成為當(dāng)今人類社會發(fā)布和獲取信息的主要手段，主人類社會發(fā)布和獲取信息的主要手段，主要研究領(lǐng)域為信息的產(chǎn)生、獲取、交換、要研究領(lǐng)域為信息的產(chǎn)生、獲取、交換、傳輸、儲存、處理、再現(xiàn)和綜合利用。傳輸、儲存、處理、再現(xiàn)和綜合利用。 電磁波作為探測未知世界的一種重要手電磁波作為探測未知世界的一種重要手段段，主要研究領(lǐng)域為電磁波與目標(biāo)的相互，主要研究領(lǐng)域為電磁波與目標(biāo)的相互作用特性、目標(biāo)特征的獲取與重建、探測作用特性、目標(biāo)特征的獲取與重建、探測新技術(shù)等。新技術(shù)等。 二二 磁場理論發(fā)展簡史磁場理論發(fā)展簡史 1 1電磁場理論的早期研究電磁場理論的早期研究

4、 電、磁現(xiàn)象是大自然最重要的往來現(xiàn)象，也最早 被科學(xué)家們關(guān)心和研究的物理現(xiàn)象，其中貢獻(xiàn)最大的有來頓、富蘭克林、伏打、Coulom等科學(xué)家。 19世紀(jì)以前，電、磁現(xiàn)象作為兩個獨(dú)立的物理現(xiàn)象，沒有發(fā)現(xiàn)電與磁的聯(lián)系。但是由于這些研究（特別是伏打1799年發(fā)明了電池），為電磁學(xué)理論的建立奠定了基礎(chǔ)。2 2電磁場理論的建立電磁場理論的建立 18世紀(jì)末期，德國哲學(xué)家謝林認(rèn)為，宇宙是有活力的，而不是僵死的。他認(rèn)為電就是宇宙的活力，是宇宙的靈魂；電、磁、光、熱是相互聯(lián)系的。 奧斯特是謝林的信徒，他從1807年開始研究電磁之間的關(guān)系。1820年，他發(fā)現(xiàn)電流以力作用于磁針（電流的磁效應(yīng)）。 安培 發(fā)現(xiàn)作用力的方向

5、和電流的方向以及磁針到通過電流的導(dǎo)線的垂直線方向相互垂直，并定量建立了若干數(shù)學(xué)公式（Ampere定律），揭示了磁的本質(zhì)。 法拉第 在謝林的影響下，相信電、磁、光、熱是相互聯(lián)系的。奧斯特1820年發(fā)現(xiàn)電流以力作用于磁針后，法拉第敏銳地意識到，電可以對磁產(chǎn)生作用，磁也一定能夠?qū)﹄姰a(chǎn)生影響。1821年他開始探索磁生電的實驗。1831年他發(fā)現(xiàn)，當(dāng)磁捧插入導(dǎo)體線圈時；導(dǎo)線圈中就產(chǎn)生電流。這表明，電與磁之間存在著密切的聯(lián)系（Faraday定律） 。 麥克斯韋 深入研究并探討了電與磁之間發(fā)生作用的問題，發(fā)展了場的概念。在法拉第實驗的基礎(chǔ)上，總結(jié)了宏觀電磁現(xiàn)象的規(guī)律，引進(jìn)位移電流的概念。這個概念的核心思想是：

6、變化著的電場能產(chǎn)生磁；與變化著的磁場產(chǎn)生電場相對應(yīng)。在此基礎(chǔ)上提出了一套偏微分方程來表達(dá)電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律，稱為麥克斯韋方程組，是經(jīng)典電磁學(xué)的基本方程。電磁作用的機(jī)制或者本質(zhì)是什么？電磁作用的機(jī)制或者本質(zhì)是什么？也就是作用力是怎么傳遞的？也就是作用力是怎么傳遞的？超距作用超距作用 與與 近距作用近距作用l 超距作用（源派或大陸派）代表人物：超距作用（源派或大陸派）代表人物： Coulom Ampere Neumann Weber等。等。l 近距作用（場論派）代表人物：近距作用（場論派）代表人物： Faraday and Maxwell等。等。l Lorentz Lorentz電子論電子論l E

7、instein Einstein相對論電磁場理論相對論電磁場理論3 3電磁場理論的應(yīng)用和發(fā)展電磁場理論的應(yīng)用和發(fā)展 1887年，德國科學(xué)家赫茲用火花隙激勵一個環(huán)狀天線，用另一個帶隙的環(huán)狀天線接，證實了麥克斯韋關(guān)于電磁波存在的預(yù)言，這一重要的實驗導(dǎo)致了后來無線電報的發(fā)明。從此開始了電磁場理論應(yīng)用與發(fā)展時代，并且發(fā)展成為當(dāng)代最引人注目的學(xué)科之一。 無線電報 1895年，意大利 馬可尼 有線電話 1876年,美國 A.G.貝爾 廣播 1906年，美國費(fèi)森登 電視 1884年，德國尼普科夫提出機(jī)械掃描電視的設(shè)想，1927年，英國貝爾德成功地用電話線路把圖像從倫敦傳至大西洋中的船上。在1923和1924

8、年 茲沃霄金相繼發(fā)明了攝像管和顯像管。1931年，他組裝成世界上第一個全電子電視系統(tǒng)。 雷達(dá)（Radio Detection and Ranging） 衛(wèi)星通信技術(shù) 衛(wèi)星定位技術(shù) 矢量分析矢量分析 6 學(xué)時學(xué)時 靜態(tài)電場理論靜態(tài)電場理論 12 學(xué)時學(xué)時 恒定磁場理論恒定磁場理論 9 學(xué)時學(xué)時 靜態(tài)場邊值問題研究靜態(tài)場邊值問題研究 7 學(xué)時學(xué)時 時變電磁場理論時變電磁場理論 10 學(xué)時學(xué)時 電磁波基本理論電磁波基本理論 12 學(xué)時學(xué)時三三 電磁場理論的主要研究內(nèi)容電磁場理論的主要研究內(nèi)容掌握宏觀電磁場的基本屬性和運(yùn)動規(guī)律掌握宏觀電磁場的基本屬性和運(yùn)動規(guī)律掌握宏觀電磁場問題的基本求解方法掌握宏觀電

9、磁場問題的基本求解方法了解宏觀電磁場的主要應(yīng)用領(lǐng)域及其原理了解宏觀電磁場的主要應(yīng)用領(lǐng)域及其原理訓(xùn)練分析問題、歸納問題的科學(xué)方法訓(xùn)練分析問題、歸納問題的科學(xué)方法培養(yǎng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力培養(yǎng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力獨(dú)立完成作業(yè)，做好課堂筆記獨(dú)立完成作業(yè)，做好課堂筆記精讀一本教學(xué)參考書精讀一本教學(xué)參考書四四 學(xué)習(xí)的目的、方法及其要求學(xué)習(xí)的目的、方法及其要求主要教學(xué)參考書主要教學(xué)參考書【1】 孫玉發(fā)等，電磁場與電磁波，合肥工業(yè)大學(xué)孫玉發(fā)等，電磁場與電磁波，合肥工業(yè)大學(xué) 出版社出版社【2】 馬冰然，電磁場與微波技術(shù)（上冊）華南理馬冰然，電磁場與微波技術(shù)（上冊）華南理 工大學(xué)出版社工大學(xué)出版社【3】

10、謝處方，電磁場與電磁波，高等教育出版社謝處方，電磁場與電磁波，高等教育出版社【4】 王薔等，電磁場理論基礎(chǔ)，清華大學(xué)出版社王薔等，電磁場理論基礎(chǔ)，清華大學(xué)出版社第一章第一章 矢量分析矢量分析主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理 6 6學(xué)時學(xué)時 三種常用坐標(biāo)系 矢量運(yùn)算 標(biāo)量場的梯度 矢量場的散度 矢量場的旋度 亥姆霍姿定理1.1 1.1 三種常用坐標(biāo)系三種常用坐標(biāo)系 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系 三種坐標(biāo)系的關(guān)系三種坐標(biāo)系的關(guān)系直直 角角 坐坐 標(biāo)標(biāo) 系系 三變量 x y z 坐標(biāo)表示 線元 面元 體積元 dledz e

11、 dye dxeldlzyx dse dsedsesdzzyyxxzzyyxxedxdydsedxdzdsedydzdsdVdxdydzAzzyyxxeA e Ae AeAA柱柱 坐坐 標(biāo)標(biāo) 系系 三變量 坐標(biāo)表示 線元 面元 體積元 002 z e Ae AeAAzzrdz e de deldz dse dse dsesdzzzzedddsedzddsedzddsdVdd dz球球 坐坐 標(biāo)標(biāo) 系系 三變量 坐標(biāo)表示 線元 面元 體積元 200r0 e Ae AeAArr dse dsedsesdrr2rrdsr sinddedsrsindrdedsrdrde2dVr sindrd d rd

12、le dr e rd e rsind e Ae AeAArr三種坐標(biāo)系的關(guān)系三種坐標(biāo)系的關(guān)系cossinxyzz 三變量 x y z 三變量 002 z200r0 三變量 三坐標(biāo)系三坐標(biāo)系1.2 1.2 矢量運(yùn)算矢量運(yùn)算 矢量表示矢量表示 矢量代數(shù)矢量代數(shù) 矢量微積分矢量微積分 標(biāo)量標(biāo)量 一個專用它的大小就能完整的描述的物理量稱為標(biāo)量。如：時間、質(zhì)量、溫度、功等。 矢量矢量 一個有大小和方向的物理量稱為矢量。如：力、速度、力矩等。矢矢 量量 表表 示示 幾何法幾何法 代數(shù)表示代數(shù)表示矢矢 量量 表表 示示AzzyyxxeA e Ae AeAA單位矢量（單位矢量（unit vectorunit

13、vector）：）： AAeAA的模值：的模值：212z2y2x)AA(AA方向余旋：方向余旋： AAcosAAcosAAcoszyx 矢量加減法矢量加減法 矢矢 量量 代代 數(shù)數(shù)zzzyyyxxxe)B(Ae)B(Ae)B(ABA矢量乘積矢量乘積 數(shù) 乘 標(biāo)量積 矢矢 量量 代代 數(shù)數(shù)zzyyxxe KAeKAeKAAK BABcosB AzzyyxxBABABA 標(biāo)量積結(jié)論標(biāo)量積結(jié)論單位矢量交換率分配率兩矢量垂直的充分必要條件：標(biāo)量積等于零。 01xzzyyxzzyyxxeeeeeeeeeeeeA BB ACAB A)CB ( A矢矢 量量 代代 數(shù)數(shù) 矢量乘積矢量乘積數(shù) 乘標(biāo)量積矢量積0

14、cABsinB Azyxzyxzyx B BB A AAe e e矢矢 量量 代代 數(shù)數(shù) 矢量積結(jié)論矢量積結(jié)論 單位矢量交換率 分配率：兩矢量平行的充分必要條件：矢量積等于零。 yxzxzyzyxzzyyxxeee , eee , eeeeeeeee0ABBACAB A)CB ( A矢矢 量量 代代 數(shù)數(shù)l矢量函數(shù)矢量函數(shù) 矢矢 量量 微微 積積 分分, , , , ,xxyyzzE x y zEx y z eEx y z eEx y z el矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 對空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù) xxyxzzyyxxzzxxyyzzyxzxyzEe Ee Ee ExxeEeEeEEeEeEexxxx

15、xxEEEeeexxx矢矢 量量 微微 積積 分分l矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 對空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù) 對時間的導(dǎo)數(shù) rrrrEEEEe Ee Ee Eeeetttttl矢量函數(shù)的積分矢量函數(shù)的積分 1.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度 標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值面 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 梯梯 度度 l場場（fieldfield）是描述空間中所有點上是描述空間中所有點上的某一物理量的函數(shù)。的某一物理量的函數(shù)。 靜態(tài)場 動態(tài)場 Static field Time-varying field 標(biāo)量場 矢量場 標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值面),(zyxf),(tzyxf( , , )F x y z( ,

16、, , )F x y z tl等值面 空間內(nèi)標(biāo)量值相等的點的集合所形成的曲面。l等值面方程 u u（x, y, zx, y, z）= = C C （C C 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值面l研究的是標(biāo)量在某點沿某一方向的變化率問題(directional derivative)。 方方 向向 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)llM0MUlMuMululM)()(lim|000coscoscoszuyuxulu計算：定義：l在這無窮多個方向中哪個方向的變化率最大？ 0()()uuuu Mu Muxyzgradulxyz xyzuuugradueeexyzlxyzllexeyeze 00()()li

17、mlu Mu Mull 定義：0limcos(,)lllgradulgradu elgradugradu e 梯梯 度度 gradient l表明gradu在L方向上的投影正好等于函數(shù)u(x,y,z)在該方向上的方向?qū)?shù)，當(dāng)gradu與L方向一致時，即： 方向?qū)?shù): 。 梯梯 度度 gradient l 那么，梯度 gradu 就是 u(M) 變化率 最大的方向。1lcos(gradu , e )gradulumax|l哈密頓（Hamilton）算子 又稱那勃勒算子(nabla) xyzeeexyz ()xyzxyzuuuueeeueeexyzxyz graduu lugradu el梯梯 度

18、度 gradient l 梯度的物理意義梯度的物理意義 1 1 標(biāo)量場的梯度是一個矢量,是空間坐標(biāo) 點的函數(shù)； 梯度的大小為該點標(biāo)量函數(shù) 的最大變 化率，即該點最大方向?qū)?shù)； 梯度的方向為該點最大方向?qū)?shù)的方向, 即與等值線（面）相垂直的方向，它指 向函數(shù)的增加方向。梯梯 度度 gradient 例1 三維高度場的梯度例2 電位場的梯度高度場的梯度 與過該點的等高線垂直； 數(shù)值等于該點位移的最 大變化率； 指向地勢升高的方向。電位場的梯度 與過該點的等位線垂直； 指向電位增加的方向。 數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)； 三維高度場的梯度電位場的梯度梯梯 度度 gradient l 梯度的物理意義梯度

19、的物理意義 2 2例1.3-1 求 在M0（1，0，1）點沿 的方向?qū)?shù)。梯梯 度度 gradient 21)(222zyxu22xyzleee解：222zyxxxu222222zyxzzuzyxyyu21021000MMMzuyuxu31cos222zyxxLLLL32cos32cos21coscoscos0zuyuxuluM例1.3-2 求 在M0（2，-1，1）點沿 的方向?qū)?shù)。梯梯 度度 gradient 32yzxyu22xyzleee解：232(2)3xyyxyzuuuueeey exyz eyz exyy 033Mxyyueee31coscoscos0zuyuxuluM002 2

20、111, 3, 3,3 333MlMuu el 或者：1.4 1.4 矢量場的散度矢量場的散度 矢量場的矢量線矢量場的矢量線 通通 量量 散散 度度 高斯通量定理高斯通量定理 l矢量線是這樣的一些曲線，線上矢量線是這樣的一些曲線，線上每一點的切線方向都代表該點的每一點的切線方向都代表該點的矢量場的方向。矢量場的方向。 矢量場的矢量線矢量場的矢量線0Fdl（矢量線的任一點的切向和平行） 矢量線方程：l矢量在場中某一個曲面上的面積分，矢量在場中某一個曲面上的面積分，稱為該矢量場通過此曲面的通量。稱為該矢量場通過此曲面的通量。 SF dS SSF dSF ndS 通通 量量 flow of flux

21、 SF ndScosSFdSl通量可認(rèn)為是穿過通量可認(rèn)為是穿過1 1S S1 1面的矢量線的面的矢量線的總數(shù)，故矢量線又叫通量線；?？倲?shù)，故矢量線又叫通量線；模1 1F F1 1等于在某點與等于在某點與1 1F F1 1垂直的單位面積上垂直的單位面積上通過的矢量線的數(shù)目通過的矢量線的數(shù)目1 1F F1 1又稱為通量又稱為通量面密度矢量。面密度矢量。 0 0 (有正源) 0 0 (有負(fù)源) = 0 = 0 (無源)通通 量量 flow of flux l通量是由通量是由1 1S S1 1內(nèi)的通量源決定，而通內(nèi)的通量源決定，而通量是一個積分量，僅能說明較大范量是一個積分量，僅能說明較大范圍內(nèi)的源分

22、布情況，而不能說明每圍內(nèi)的源分布情況，而不能說明每一點的性質(zhì)。引入散度概念。一點的性質(zhì)。引入散度概念。散散 度度 divergence定義：定義：00limlimSSVVF dSF ndSdivFVV 散度是通量對體積的變化率（單位體積內(nèi)所穿散度是通量對體積的變化率（單位體積內(nèi)所穿出的通量），所以散度又稱為通量源密度。出的通量），所以散度又稱為通量源密度。 計算：計算：yxzFFFdivFxyzxyzxxyyzzyxzFeeee Fe Fe FxyzFFFdivFxyz散散 度度 divergencel 散度的物理意義散度的物理意義 矢量的散度是一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo) 點的函數(shù)； 散度代表矢量場

23、的通量源的分布特性。 A A= 0 (無源） A A= 0 (負(fù)源) A A= 0 (正源) 在矢量場中，若A=0，稱之為有源場， 稱為(通量)源密度；若矢量場中處處A A=0，稱之為無源場。散散 度度 divergence高斯通量定理高斯通量定理SFd S 已知：因為：divF為的體密度所以：VdivF高斯通量定理SVFdSF dV 故：例1.4-1 點電荷位于坐標(biāo)原點，在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為： 其中， 34qDrrxyzrxeyeze求任意點處電通量密度的散度；r并求穿出以為半徑的球面的電通量 。解 222 3 24()xyzxxyyzzxeyezeqDD eD eD exyz222

24、 3 22222 3 2222 5 22254()134()()34xDqxxxxyzqxxyzxyzq rxr同理可得22225533,44yzDDq ryq rzyrzr所以2222533()04yxzDDDqrxyzDxyzrl 可見，除點電荷所在源點（0r ）外，4rSSqD dSr e dS qrrqdSrqS222444空間各點的D的散度均為0 0。接接 例1.4-1 所以2222533()04yxzDDDqrxyzDxyzr 標(biāo)量場的環(huán)量標(biāo)量場的環(huán)量 旋旋 度度 斯托克斯定理斯托克斯定理 1.5 1.5 矢量場的旋度矢量場的旋度該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。水流沿平行于水管軸線方

25、向流動=0，無渦旋運(yùn)動流體做渦旋運(yùn)動0，有產(chǎn)生渦旋的源環(huán)量 矢量F F 沿空間有向閉合曲線L L 的線積分LFd l 環(huán)環(huán) 量量 circulation例：流速場l 環(huán)量密度環(huán)量密度過點P作一微小曲面S，它的邊界曲線記為L，面的法線方與曲線繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S點P時，存在極限1limLsPdF dldss 環(huán)量密度(渦量)取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。旋旋 度度 rotationl 定定 義義旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。rot FF它與環(huán)量密度的關(guān)系為：ndrot F edS在直角坐標(biāo)系下xyzxyzxyzeeeFFFF 旋旋 度度 rotationl 計計 算算l 旋度的物理意義旋度的物理意義 1 1 旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)； 某點旋度的大小是該點環(huán)量密度的最 大值； 某點旋度的方向是該點最大環(huán)量密度 的方向； 在矢量場中，若 ,稱之為 旋度場 (或渦旋場)，J J 稱為旋度源 (或渦旋源)； 若矢量場處處 稱之為無旋場。0F J 0F旋旋 度度 rotation旋旋 度度 rotationl 旋度的物理意義旋度的物理意義 2 20)()(AArotdiv 扽0 BAB可得：若可得：若那