核心素養(yǎng)視角下培育思維模式的實踐策略

1、核心素養(yǎng)視角下培育思維模式的實踐策略隨著 教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務意見的正式引發(fā)， 我國教育界各級人士紛紛積極響應，學校教育也將迎來課堂轉型的多方挑戰(zhàn)， “核心素養(yǎng)”理念的 提出，指導、引領中小學課程教學改革實踐。STE M教育的踐行者賈煒指出當前教育的現(xiàn)狀：做題比較多、實踐比較少；分科學習比 較多、綜合學習比較少；被動式學習比較多、主動式學習比較少；各自為陣的學習比較多、 團隊合作的學習比較少。 如何處理好這些矛盾有助于我們尋找有效的教學模式， 從而更好地 落實“核心素養(yǎng)”的理念。一、數(shù)學學科的核心素養(yǎng)首先我們先理解素養(yǎng)的概念， “素養(yǎng)”在英漢字典中的釋義是： “平日的

2、修養(yǎng)” ，將其拆 分成兩個字時，發(fā)現(xiàn)其中的“素”可引申為“本來的” ，而“養(yǎng)”可引申為“培育” 。由此可 見，“素養(yǎng)”具有培育本真的屬性。因此數(shù)學核心素養(yǎng)指的是在數(shù)學知識、 技能的學習過程中， 感悟該學科的核心思想與方 法從而形成必備的學科觀念、 學科能力， 并掌握學科本質。 因此數(shù)學核心素養(yǎng)依賴于數(shù)學知 識與技能，又高于數(shù)學知識與技能，凌駕于數(shù)學思想與數(shù)學方法之上。二、思維方式培養(yǎng)的重要性學生的數(shù)學素養(yǎng)不是老師能教會的， 而是在掌握數(shù)學知識的基礎上， 通過數(shù)學活動逐步 形成的。 在數(shù)學知識的教學中尋找培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的途徑，應該是我們思考問題的基本出發(fā)點。數(shù)學是思維的科學，人民教育出版社教研

3、室主任章建躍在 2016 年浙江省高中數(shù)學“疑 難問題解決”會議中指出：推理是數(shù)學的“命根子” ，運算是數(shù)學的“童子功 ”，思維訓練的 載體就是推理和運算。在教學過程中，必然會有解題教學，一線教師首先要關注“小巧” （就題論題） ，更要在 中巧（就題論法）下打功夫，也要涉歷大巧（以題論道） ，只有涉及了后面兩種境界學生的 思維才能逐步打開， 學生看問題的方式就能更為廣闊， 我們以一類數(shù)列求和問題作為我們討 論的對象。典型案例：數(shù)列求和問題以近兩年的浙江省模擬卷以及高考壓軸題為例， 很多學生看到數(shù)列與不等式結合的題目 就直搖頭， 覺得放縮的技巧太過特殊， 很難找到固定的解法。 其實對于此類問題只

4、需了解到問題的本質是求和， 無論題目怎么變， 就是將不能求和的數(shù)列轉化為能求和的數(shù)列。不妨來看幾個例題：接下來例1、求證:1 1川(2n1)(2n 1) ：2(n N)(PPT中展示:12 :n1£ 2n -n分析：用到的解題技巧即為裂項相消:11 11丄丄()，而問題(2n -1)(2n 1)2 2n -1 2n 1的實質就是求和冋題。變式1、求證：1 1 11歹于川苕如N)分析：左邊是一個無法求和的式子， 故應該通過適當?shù)募记蓪⑵滢D化為能夠求和的結構,將其看成為數(shù)列 $的前n項和，對通項進行放縮處理In J(n _ 2)，便可通過n(n -1)裂項相消得到結果。1117變式2、求

5、證：1 二 22 (n N )22 32n2 4分析：變式2的結論比變式1強，需要將放縮的“度”進行修正，如何修正？1 1 1思路1:由于誤差 丄 占二丁丄 會隨著n的增加逐漸減少，因此可以嘗試保 n(n -1) n n (n -1)留前2項，從第三項開始放縮(戲稱“留一手”);r1" -丄(打川(122n -1 n 4717-<-n 41思路2:由于誤差一1n(n T) n22 會隨著n的增加逐漸減少, n (n T)能否將兩者的誤差變得更小?由于$ :n(n 1)(n -1)(n -2)，且(n 1)(n -1) n2 n(n -1)1三，因此我們從 n放縮的程度上下手也可

6、得到相應的結論。由此我們不難得到針對變式3的做法:變式3、求證:11151 22 32 川 乂寸 N)分析：變式3的結論比變式2更強，需要將變式2放縮的“度”進一步修正，如何修正?思路1 :多保留幾項，但是這個代價相比較高，因為越到后面運算的要求越高，因此此法建議僅在理論上可行，不建議用于實踐。1思路2 :如果依照上述的方式，我們將目光依舊聚焦在的處理之上，不妨去尋找一n一 1111個更為“逼近”的放縮方式，如：22 (n_2)，顯然是成立的。n 21 n 1 n-nn 一41 1 1因為2()(n _2),因此上述不等式是成立的。2 1、2n-1 2n +1 八>n _41放縮法的證明

7、過程要像“秋風掃落葉”一樣干脆利落！針對通項為2放縮方法不同，n得到的結果也不同，顯然問題的上界滿足關系5<7 <2，故后一個結論比前一個結論更強,34也就是說如果證明了變式 3，那么變式1和變式2顯然成立。對 厶 的3種放縮法體現(xiàn)了三nnn2種不同的“境界”，得到-r的三個“上界”，其中-最接近無窮級數(shù)和.，其心 k3k=1 k6二2中為該級數(shù)和的上確界，而6715與Y之間的誤差已經(jīng)控制在310工數(shù)量級內，因此在精度要求不高的前提下可以忽略，這對于實際應用具有特殊的意義。放縮法證明與數(shù)列求和有關的不等式的過程中，由于很多時候要“留一手”，即采用“有所保留”的方法，保留數(shù)列的第一項

8、或前兩項，從數(shù)列的第二項或第三項開始放縮，這樣才不致使結果放的過大或縮得過小。13-2丄丄32 -2 33 -2：?(n N )2(PPT中展示：如何處理通項為1n na b(a b 0)的數(shù)列放縮)分析：此數(shù)列的通項與案例1的稍微有些不同，無法放縮成裂項相消的結構，從而得到不等式左端的近似解，卻可以放縮成等比數(shù)列進行求和。思路2 :利用數(shù)列的單調性進行放縮：將通項適當?shù)刈冃螢?2，又因3"扣為1 -冷隨著n單調遞增,3n13(一#)3n(v|)丄，這樣又可以得3n思路1:利用“糖水”不等式：131皿“護N)，然后右側便可求和;到上述一樣的結果。1173-2 32 -2 33 -23

9、2：詁 N)17 3分析：由于，因此命題又加強了，必須對原來的兩種思路進行改進，對思路1,142由于前幾項的誤差太大，因此只能采用“留一手”，經(jīng)計算若留兩項放縮的結果為55422038留三項放縮的結果為，而利用數(shù)列的單調性“保留”一項即可，這個主要的原因就在1575于后一種方法所產(chǎn)生的誤差小于前者所產(chǎn)生的誤差。變式2、亡七？川占掙"N)也可以用類似的方式進行放縮求和，最后證明命題。我們亦可去思考另外一類遞推型數(shù)列也可用類似的方式去思考。如浙江省2015年理科數(shù)學高考壓軸題第 20題，在證明第二小問的時候可以通過裂項相消來得到an的取值范圍。案例3、已知數(shù)列an滿足a11=且 an -

10、1(i) 證明：1 _-a _2(n N”)；an十S(n)設數(shù)列a2的前n項和為Sn,證明： 一 "- (n，N”).2( n+2)n 2(n+1)解析：(i)略(n )由題意得a：二a. -a. 1 ,所以Sa -a .因為a. 1二可-玄,所以111 （an 1an1_an1 1.1 _ -an 1 an1 1化簡可得： an1_（nN ），因此,2（n 十1）n+2an“十亠11-_ 2，從而有n2n .an 1an -1 ai1Sn1nn N .2 n 2 n 2（n 1）在高考制度的重壓之下， 學生的學習負擔很繁重,教師的教學課時也很緊張，趕、搶教三、拓展教學的模式與時空

11、學進度的學校也很多。因此，大部分數(shù)學教師在日常教學活動中主要還是使用“傳授-演練、一個知識點幾項注意”的教學模式，在課堂中也存在許多被冠以“情景”“探索”之名的活動，由于受到課時的限制，大部分教師都未給學生充足的時間與空間供學生思考與探索，并未能達到培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的根本目的。我國著名教育家葉圣陶曾說：凡為教，最終目的都在于達到不需要教。學生是學習的主體，在數(shù)學課堂上我們教給學生的不僅僅是數(shù)學知識與方法，還有更為重要的是思考問題的 方式。一個人的能力能持續(xù)提高，但是思維方式應該早早養(yǎng)成，我們經(jīng)常說的思維定勢就是這個道理。為了培養(yǎng)我校學生的創(chuàng)新思維， 我校組織學生積極參加數(shù)學建?；顒印?對于

12、大部 分的高中生而言，數(shù)學建模是一種新生的事物，其實它與傳統(tǒng)的數(shù)學競賽有很大的區(qū)別， 它 的目的在于培育而不是培優(yōu)，從定位上就可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學建模參與群體比數(shù)學競賽更為廣泛。曾有學生這樣問我：學生A:老師，我覺得一些生活中的問題用數(shù)學的觀點去理解非?？?，但是我覺得數(shù)學 學得不是很好，你覺得我也能來參加嗎？學生B: “老師，我一直以來不知道學數(shù)學有什么用，所以數(shù)學學得就不上心，我想通 過咱們這個課自救一下，您看我這樣的可以選課嗎？”那么什么是數(shù)學建模呢？所謂數(shù)學建模就是針對一個現(xiàn)實的問題（非理想化），用已有的知識體系（或是現(xiàn)學的知識）對問題進行適當?shù)睾喕?利用自己的思維模式去構建符號化體系，接著通

13、過一些編程軟件實現(xiàn)問題的求解與表達， 最后得出原問題的一種解決方案。數(shù)學建模的解答具有開放性，即學生只要給出的方案是有效合理的，不管結果是否給出都應給予肯定，因為想法比結果更為重要。那么如何在高中開展數(shù)學建模活動呢？如果僅通過閱讀幾篇優(yōu)秀論文或幾次經(jīng)驗交流會，那么學生最大的感慨就是： 老師好牛， 知識好難！這樣的話，會將很多同學關在數(shù)學建模的“大門”之外，或者覺得自己很笨，聽 不懂高深的數(shù)學模型。 數(shù)學建?；顒訉W生的學科要求門檻較低， 只需要有對建模問題有自 己的想法， 并有較強的意志品質均可。 為了讓學生能更好地體驗數(shù)學建模， 并使學生在活動 過程中得到自我的升華，我校依托本校的學生社團以

14、及校本課程進行了為期四年的教學實 踐，經(jīng)過四年的努力已取得一定的效果。目前形成了較為穩(wěn)定的培育模式：前期培訓： 對所有建模學員進行培訓， 介紹一些高等數(shù)學的基本知識便于后期閱讀各類 建模書籍以及聆聽各類學術報告。 期間， 還會邀請社會中的成功精英來校講述思維模式的重 要性并給予一定的指導意見。校本課程： 在學校開展的校本課程中，培訓教師主要介紹一些數(shù)學建模中經(jīng)典的模型。 在培訓過程中不是直接給出模型， 而是先讓建模學員發(fā)表自己的見解， 然后遇到問題集體討 論不斷地攻克難題，最終引出經(jīng)典模型，體會前人思考問題的方式。學生社團： 依托學校的學生社團，讓全體建模學員開展研究性學習。通過小組的形式，

15、每個小組定期匯報一個數(shù)學模型， 這樣一方面開闊了學生的視野， 另一方面也鍛煉了學生的 團隊意識以及語言表達能力。參加競賽： 關于高中生的數(shù)學建模比賽， 目前中國的學生參加的主要有國際數(shù)學建模挑戰(zhàn)賽（中學）（IM2C）、美國高中生數(shù)學建模競賽（ HIMCM ）以及清華大學“登峰杯”數(shù)學 建模比賽，我校主要參加由美國數(shù)學與應用協(xié)會主辦的HIMCM（ PPT展示近2年我校的建模成績 ），今年 12 月份首次參加“登峰杯”數(shù)學建模比賽，學生只有通過這種正式的比賽， 團隊之間的思維才能迸發(fā)更為精彩的火花，學生才能實現(xiàn)真正的成長。學員的轉變當一個孩子參與數(shù)學建?；顒?， 并與自己的小伙伴們一起參加過一兩次競

16、賽， 有了幾天 幾夜不眠不休地“團隊作戰(zhàn)”的創(chuàng)新經(jīng)歷后，他們也必將蛻變成一個個“思想達人”。由于數(shù)學建模的問題與實際相關， 學生能將數(shù)學知識應用到實際問題中， 讓學員體會數(shù) 學的實用性。思維的蛻變一定會顯化為具體的表現(xiàn)形式，比如：我校某建模學子參加復旦大學自主招生面試時， 遇到這樣一道面試題： 如何估計上海的 公共廁所的個數(shù)？她是這樣回答的（片段） ：關于廁所的統(tǒng)計，首先必須了解一個公共廁所 所能滿足的人群數(shù)量， 然后結合本市的常住人口進行簡單的估計， 當然上海作為國際大都市， 很多的公共設施要求會比一般的城市要求要高， 因此我們必須了解這個差異性的系數(shù)， 才能 更準確地進行估計。 這樣的開放性問題， 更能體現(xiàn)學生的綜合素養(yǎng)與思維方式， 對于這種沒 有標準答案的問題，更應該成為選拔優(yōu)秀人才的方式之一。近幾年比較時髦的網(wǎng)約車或導航軟件， 建模學員能通過其實現(xiàn)的功能， 通過數(shù)學的方式 進行描述，將其理論基礎歸結為最短路問題； 由于自己郵箱以及手機經(jīng)常收到一些垃圾短信， 通過分析垃圾短信發(fā)送者的“通信指紋” ，撰寫了一篇如何治理垃圾短信的論文；在第 二屆的 “登峰杯”比賽中， 通過分析城市交通擁堵產(chǎn)生的主因， 并結合駕駛員個體存在的趨 利心理， 撰寫了一篇 基于博弈理論淺談交通