函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用PPT課件

1、例11 計算sin100的近似值,精確到10-4.弧度）(174533. 010180100在sinx的展開式(6)中,令x=0.174533,并取前面三項,估計誤差677310)174533. 0(50401)18(! 71)18(r解: 先把自變量化為弧度制.530)174533. 0(1201)174533. 0(61174533. 010sin173648. 0第1頁/共20頁的近似值,精確到10-4524555553213245, 23245在二項式級數(shù)中令x=2/35(-1,1)并取二項計算,由于這時.,!) 1).(1(.! 2) 1(1)1 (2nnxxx例12 求)7() 1

2、 , 1(x第2頁/共20頁)3421545132511 (3)321 (3245105515541010221032524342154513 ar0049. 3)32511 (324555第3頁/共20頁例13 計算ln2的近似值,要求誤差不超過0.0001.1)1(.432)1ln(1432nxxxxxxnn11nrn如果取這級數(shù)的前n項的和作為ln2的近似值,其誤差為解:.1)1(.41312112ln, 11nxn第4頁/共20頁 為了保證誤差不超過10-4,就需要取級數(shù)的前10000項進行計算.這樣做的計算量太大,我們必須用收斂快的級數(shù)來代替它.為了加快收斂的速度,我們要注意兩點:

3、(1)通過適當?shù)淖兞看鷵Q時要保證xI,(I為原級數(shù)的收斂域). (2)在f(x)的冪級數(shù)anxn中使|x|越小越好.現(xiàn)在我們采用變形的方法,使|x|變小第5頁/共20頁432)1ln(432xxxxx)11(1)1(1xnxnnxx )11(11xnxn432)1ln(432xxxxx)1ln()1ln(11lnxxxx)11(.)53(253xxxx第6頁/共20頁xxxx122211令31 x得到代入最后一個展開式以,31x)31713151313131(22ln753,2ln 的近似值如果取前四項作為則其誤差為.)31131311113191(2131194r第7頁/共20頁,于是911

4、132)91(911 321121100007. 0317177000013419)31713151313131(22ln753考慮誤差同樣,00082. 0315101235. 03131,33333. 0315369314. 02ln第8頁/共20頁 利用冪級數(shù)不僅可計算一些函數(shù)值的近似值,而且可計的近似值,精確到10-4dxex102例14 求)(!) 1(2Rxnxnn算一些定積分的近似值.! 21422xxex第9頁/共20頁105310! 2532xxxdxexdxnnxnn) 12( !) 1(12421101311項近似計算，這時誤差取前面747107560011571！r93

5、601132012161421101311102dxex7468. 0第10頁/共20頁的近似值,要求誤差不超過0.0001dxxx10sin., 1sinlim:0積分因此所給積分不是反常由于解xxx例15 計算積分則它在積分處的值為如果定義被積函數(shù)在, 10 x有展開被積函數(shù)上連續(xù)區(qū)間,. 1 , 0)(! 7! 5! 31sin642xxxxxx得到上逐項積分在區(qū)間, 1 , 0! 771! 551! 3311sin10dxxx第11頁/共20頁因為第四項的絕對值300001504071! 771:積分的近似值所以取前三項的和作為9461. 0! 551! 3311sin10dxxx第1

6、2頁/共20頁二. . 歐拉公式 設(shè)有復數(shù)項級數(shù)為 (u1+iv1)+(u2+iv2)+(un+ivn)+. (1)其中un, vn (n=1,2,3.)為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù).如果實部所成的級數(shù) u1+u2+u3+un+ (2) 收斂于和u,并且虛部所成的級數(shù) v1+v2+v3+vn+. (3) 收斂于和v.就說級數(shù)(1)收斂,且其和為u+iv.第13頁/共20頁)4(.22232322222121nnvuvuvuvu收斂,則稱級數(shù)(1)絕對收斂.如果級數(shù)(1)絕對收斂,由于.)3 , 2 , 1(,2222nvuvvuunnnnnn那么級數(shù)(2),(3)絕對收斂,從而級數(shù)(1)收斂.如果級數(shù)(1

7、)各項的模所構(gòu)成的級數(shù))5()(.!1.! 31! 21132iyxzznzzzn考察復數(shù)項級數(shù)第14頁/共20頁可以證明級數(shù)(5)在整個復平面上是絕對收斂的.在x軸ez,于是ez 定義為)6()(.!1.! 31! 21132zznzzzenz當x=0時,z為純虛數(shù)iy,(6)式成為.)(!1.)(! 31)(! 21132niyiyniyiyiye上(z=x)它表示指數(shù)函數(shù)ex,在整個復平面上我們用它來定義復變量指數(shù)函數(shù),記作.! 51! 41! 31! 2115432yiyyiyiyyiyyyyiyysincos.)! 51! 31(.)! 41! 211 (5342第15頁/共20頁

8、把y換成x,上式變?yōu)?eix=cosx+isinx (7)8()sin(cosieiz其中=|z|是z的模,=arg z 是z的輻角x 這就是歐拉公式應(yīng)用公式(7),復數(shù)z可以表示為指數(shù)形式:第16頁/共20頁在(7)式中把x換成-x,又有即eix=cosx+isinx e -ix=cosx-isinx兩式相減,得到)9(2sin,2cosieexeexixixixix 這兩個式子也叫做歐拉公式.(7)式和(9)式揭示三角函e -ix=cosx-isinx數(shù)與復變指數(shù)函數(shù)之間的一種聯(lián)系.第17頁/共20頁 根據(jù)定義式(6),并利用冪級數(shù)的乘法,我們可以得到2121zzzzeee)(!0 xnxennx000!nnnnnnyxznynxee)(0110000babababannnnnnnn第18頁/共20頁1!)!2(! 3)!1(2!12312nxnyxnyxnyznnnnn特殊地,當