幾種特殊類型的函數(shù)的積分PPT課件

1、積分法積分法原原 函函 數(shù)數(shù)選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數(shù)的積分函數(shù)的積分主要內(nèi)容第1頁/共21頁一、一、 求不定積分的基本方法求不定積分的基本方法1. 直接積分法直接積分法通過簡單變形, 利用基本積分公式和運算法則求不定積分的方法 .2. 換元積分法換元積分法xxfd)( 第一類換元法第一類換元法tttfd)()( 第二類換元法(注意常見的換元積分類型) (代換: )(tx第2頁/共21頁3. 分部積分法分部積分法vuxvud使用原則:1)

2、由v易求出 v ;2) xvud比xvud好求 .一般經(jīng)驗: 按“反, 對, 冪, 指 , 三” 的順序,排前者取為 u ,排后者取為.v計算格式: 列表計算xvud第3頁/共21頁例例1. 求.d4932xxxxx解解:原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32第4頁/共21頁dxxax 662計算計算32323)()(131dxax例例2解解:原式Caxaxa33333ln61xxxxdsin)sin(例例3 3 dxxxxsincos1計計算算Cxx|sin|ln解解:原式例例4 4

3、dxxxcos1sin1解解:原式dxxxdxxcos1sincos11xxddxxcos1)cos1 (2csc212Cxx|cos1 |ln2cot21第5頁/共21頁例例5. 求.d15)1ln(22xxxx解解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1 (212221dxx325)1ln(2xxC23分析分析: 5)1ln(d2xx第6頁/共21頁例例6. 求.dcos1sinxxxx解解 :原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan例例7. 求.d23xexx原式)(2122xedx解解 :22222121dxe

4、exxxCeexxx2221212第7頁/共21頁例例8. 求.darctanxeexx解解:xearctan原式xedxxeearctanxexeexxd12xxeearctanxeeexxxd1)1 (222xxeearctanxCex)1 (ln221第8頁/共21頁.d122xxx例例9. 求解解: (一) 令 x=tant原式ttttdsecsectan22tttdsectan2tttdsec) 1(sec2ttttdsecdsec3Ctttt|tansec|ln21tansec211x12xtCxxx| 11|ln2112122第9頁/共21頁.d122xxx例例9. 求解解: (

5、二) xxxd12221dxxdxxxx2211而dxx21dxxx2211dxxxdxx222111即xxxd12221xxdxxxdxx222111所以xxxd12222111ln |1|22xxxxC第10頁/共21頁例例1010解解.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代換)第11頁/共21頁例例11. 設(shè),dsecxxInn證證:證明遞推公式:)2(12tansec1122nInnxxnInnnxInn2secxn 2secxx

6、xnntansecsec)2(3xxdtanxxntansec2xxxnnd) 1(secsec)2(22xxntansec2nIn)2( 2)2(nInxxdsec2xtan)2(12tansec1122nInnxxnInnn第12頁/共21頁例例12. 求.d1xx解解:設(shè)1)(xxF1x,1x1x,1x則)(xF1,1221xCxx1,2221xCxx因)(xF連續(xù) , , ) 1 ()1 ()1 (FFF得21211121CC221121CC記作C得xxd1)(xF1,21221xCxx1,21221xCxx,) 1(221Cx,) 1(221Cx利用 第13頁/共21頁二、幾種特殊類

7、型的積分二、幾種特殊類型的積分1. 一般積分方法一般積分方法有理函數(shù)分解多項式及部分分式之和指數(shù)函數(shù)有理式指數(shù)代換三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換第14頁/共21頁2. 需要注意的問題需要注意的問題(1) 一般方法不一定是最簡便的方法 ,(2) 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù) ,要注意綜合使用各種基本積分法, 簡便計算 . 因此不一定都能積出.例如例如 , ,d2xex,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx, ) 10(dsin122kxxk第15頁/共21頁例例13. 求.1d632xxxeeex解解: 令,6xet 則,ln6tx tx

8、tdd6原式原式ttttt)1 (d623tttt) 1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t) 1ln(232tCt arctan3Ceeexxxx636arctan3) 1ln() 1ln(323第16頁/共21頁例例14.求不定積分.dsin)cos2(1xxx解解: )cos(xu 令令原式 uuud) 1)(2(12) 1)(2(12uuuA21uB1uC31A61B21C2ln31u1ln61uCu1ln21)2ln(cos31x)cos1ln(61xCx) 1ln(cos21xxxxdsin)cos2(sin2第17頁/共21頁例例1515解解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx 第18頁/共21頁例例1616解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 則有則有 原原式式 234