142命題與證明

1、無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。有一個(gè)角是直角的三角形叫做有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形。直角三角形。一般地，形如一般地，形如y ykxkxb b（k k、b b都是都是常數(shù)且常數(shù)且k0k0）叫做一次函數(shù)。）叫做一次函數(shù)。單位面積所受的壓力叫做壓強(qiáng)。單位面積所受的壓力叫做壓強(qiáng)。試判斷下列句子是否正確？試判斷下列句子是否正確？（1）兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)。）兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)。 （2）內(nèi)錯(cuò)角相等。）內(nèi)錯(cuò)角相等。（3）矩形的對(duì)角線相等）矩形的對(duì)角線相等（4）如果）如果a2=b2，那么，那么a=b（5）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)確定一條直線。）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)確定一條直線。發(fā)現(xiàn)知識(shí)：依據(jù)

2、所學(xué)知識(shí)可以判斷（發(fā)現(xiàn)知識(shí)：依據(jù)所學(xué)知識(shí)可以判斷（1）（）（3）是正確的，句子（是正確的，句子（2）（）（4）（）（5）是錯(cuò)誤的，）是錯(cuò)誤的，這幾個(gè)句子的特點(diǎn)是這幾個(gè)句子的特點(diǎn)是可以判斷一件事情的正可以判斷一件事情的正確或錯(cuò)誤，這樣的句子就是命題。確或錯(cuò)誤，這樣的句子就是命題。思考思考 命題：命題：判斷正確或者錯(cuò)誤的句子叫做命判斷正確或者錯(cuò)誤的句子叫做命題，正確的命題稱(chēng)為題，正確的命題稱(chēng)為真真命題命題，錯(cuò)，錯(cuò)誤的命題稱(chēng)為誤的命題稱(chēng)為假假命題命題。反之，如果一個(gè)句子沒(méi)有對(duì)某一件事情作出任反之，如果一個(gè)句子沒(méi)有對(duì)某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題。何判斷，那么它就不是命題。例如：例如：（1）

3、你喜歡數(shù)學(xué)嗎？）你喜歡數(shù)學(xué)嗎？（2）作線段）作線段ab=cd 下列句子哪些是命題？是命題的，指出下列句子哪些是命題？是命題的，指出是真命題還是假命題？是真命題還是假命題？1 1、豬有四只腳；、豬有四只腳；2 2、三角形兩邊之和大于第三邊；、三角形兩邊之和大于第三邊；3 3、畫(huà)一條曲線；、畫(huà)一條曲線；4 4、四邊形都是菱形；、四邊形都是菱形；5 5、你的作業(yè)做完了嗎？你的作業(yè)做完了嗎？ 6 6、同位角相等，兩直線平行；、同位角相等，兩直線平行；7 7、對(duì)頂角相等；、對(duì)頂角相等；8 8、多邊形的內(nèi)角和等于、多邊形的內(nèi)角和等于180180度；度；9 9、過(guò)點(diǎn)、過(guò)點(diǎn)p p做線段做線段mnmn的垂線的垂

4、線。 觀察下列命題，你能發(fā)現(xiàn)這些命題有什么觀察下列命題，你能發(fā)現(xiàn)這些命題有什么共同的結(jié)構(gòu)特征？與同學(xué)交流。共同的結(jié)構(gòu)特征？與同學(xué)交流。（1）兩個(gè)三角形的三條邊相等，兩個(gè)三角形的三條邊相等，那么那么 這兩個(gè)三角形全等；這兩個(gè)三角形全等；（2）如果如果一個(gè)三角形是等腰三角形，一個(gè)三角形是等腰三角形，那么那么 這個(gè)三角形的兩個(gè)底角相等；這個(gè)三角形的兩個(gè)底角相等；（3）如果如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線相等，一個(gè)四邊形的對(duì)角線相等，那么那么 這個(gè)四邊形是矩形；這個(gè)四邊形是矩形；不是不是是是不是不是不是不是是是不是不是是是是是2 2）兩條直線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn)（）兩條直線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn)（ ）4 4）

5、一個(gè)平角的度數(shù)是）一個(gè)平角的度數(shù)是180180度（度（ ）6 6）取線段）取線段abab的中點(diǎn)的中點(diǎn)c c；（；（ ）1 1）長(zhǎng)度相等的兩條線段是相等的線段嗎）長(zhǎng)度相等的兩條線段是相等的線段嗎? ?（ ）7 7）畫(huà)兩條相等的線段（）畫(huà)兩條相等的線段（ ）判斷下列語(yǔ)句是不是命題？是用判斷下列語(yǔ)句是不是命題？是用“”，不不是用是用“ 表示。表示。3 3）不相等的兩個(gè)角不是對(duì)頂角（）不相等的兩個(gè)角不是對(duì)頂角（ ）5 5）相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角（）相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角（ ）判斷一個(gè)句子是不是命題的關(guān)鍵是什么？判斷一個(gè)句子是不是命題的關(guān)鍵是什么？命題是由命題是由兩部分組成兩部分組成 題設(shè)題設(shè)是已知事項(xiàng)，是

6、已知事項(xiàng)，結(jié)論結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng) 用用“如果如果”開(kāi)始的部分開(kāi)始的部分是題設(shè)是題設(shè)，用，用“那么那么”開(kāi)始的部分開(kāi)始的部分是結(jié)論是結(jié)論例如，在命題（例如，在命題（1）中，）中，“兩個(gè)三角形的三條邊相等兩個(gè)三角形的三條邊相等”是題是題設(shè)設(shè)，“兩個(gè)三角形全等兩個(gè)三角形全等”是結(jié)論。是結(jié)論。例例1 1：將命題：將命題“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”改寫(xiě)成改寫(xiě)成“如果、那么、如果、那么、”的形式，的形式，并分別指出命題的題設(shè)和結(jié)論。并分別指出命題的題設(shè)和結(jié)論。 解：這個(gè)命題可以寫(xiě)成：解：這個(gè)命題可以寫(xiě)成：“如果如果一個(gè)三角形的三一個(gè)三角

7、形的三個(gè)角都相等個(gè)角都相等, ,那么那么這個(gè)三角形是等邊三角形這個(gè)三角形是等邊三角形”。這。這個(gè)命題的個(gè)命題的題設(shè)是題設(shè)是“一個(gè)三角形的三個(gè)角都相等一個(gè)三角形的三個(gè)角都相等”結(jié)論是結(jié)論是“這個(gè)三角形是等邊三角形這個(gè)三角形是等邊三角形”題設(shè)（條件）題設(shè)（條件）結(jié)論結(jié)論命題可看做由命題可看做由題設(shè)（條件）題設(shè)（條件）和和結(jié)論結(jié)論兩部分兩部分組成。題設(shè)是組成。題設(shè)是已知事項(xiàng)已知事項(xiàng)，結(jié)論是由，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)出的事項(xiàng)。1、如果兩條直線相交，那么它們只、如果兩條直線相交，那么它們只 有一個(gè)交點(diǎn)；有一個(gè)交點(diǎn)；題設(shè)：題設(shè)：結(jié)論：結(jié)論： 兩條直線相交兩條直線相交它們只有一個(gè)交點(diǎn)它們只有一

8、個(gè)交點(diǎn) 指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論2、如果、如果1=2，2=3， 那么那么1=3；題設(shè)：題設(shè)：結(jié)論：結(jié)論： 1=2，2=31=34、兩條平行線被第三條直線所截，兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等；題設(shè)：題設(shè)：結(jié)論：結(jié)論： 兩條平行線被第三條直線所截兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等3、兩條直線被第三條直線所截，如果、兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行;題設(shè)：題設(shè)：結(jié)論：結(jié)論：兩條直線被第三條直線所截，兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ)這兩條直線平行這兩條直線平行如果同位

9、角相等，那么兩直線平行。如果同位角相等，那么兩直線平行。條件是：條件是：結(jié)論是：結(jié)論是：改寫(xiě)成：改寫(xiě)成：條件是：條件是：結(jié)論是：結(jié)論是：改寫(xiě)成：改寫(xiě)成：同位角相等同位角相等兩直線平行兩直線平行如果兩個(gè)三角形有三條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)如果兩個(gè)三角形有三條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。三角形全等。這兩個(gè)三角形全等這兩個(gè)三角形全等兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等如果在同一個(gè)三角形中，有兩個(gè)角相等，那么這如果在同一個(gè)三角形中，有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等。如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等。條件是：條件

10、是：結(jié)論是：結(jié)論是：改寫(xiě)成：改寫(xiě)成：條件是：條件是：結(jié)論是：結(jié)論是：改寫(xiě)成：改寫(xiě)成：同一個(gè)三角形中的兩個(gè)角相等同一個(gè)三角形中的兩個(gè)角相等這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊相等這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊相等兩個(gè)角是對(duì)頂角兩個(gè)角是對(duì)頂角這兩個(gè)角相等這兩個(gè)角相等指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫(xiě)指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫(xiě)“如果如果那么那么”的形式：的形式：兩條邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)兩條邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；三角形全等；直角三角形兩個(gè)銳角互余。直角三角形兩個(gè)銳角互余。如果兩個(gè)三角形有兩條邊和它們的夾角對(duì)如果兩個(gè)三角形有兩條邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全

11、等。如果兩個(gè)角是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角，如果兩個(gè)角是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角，那么這兩個(gè)角互余。那么這兩個(gè)角互余。1.1.根據(jù)題意根據(jù)題意, ,畫(huà)出圖形畫(huà)出圖形; ;2.2.分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在在“已知已知”中寫(xiě)出條件，在中寫(xiě)出條件，在“求證求證”中中寫(xiě)出結(jié)論。寫(xiě)出結(jié)論。3.3.在在“證明證明”中寫(xiě)出推理過(guò)程。且中寫(xiě)出推理過(guò)程。且每每一步推理都要有依據(jù)一步推理都要有依據(jù)證明幾何命題的一般格式：證明幾何命題的一般格式：關(guān)于輔助線：關(guān)于輔助線： 輔助線輔助線是為了證明需要在原圖上添畫(huà)的是為了證明需要在原圖上添畫(huà)的線線. .（輔助線通常畫(huà)成（輔助線通常

12、畫(huà)成虛線虛線） 它的作用是把分散的條件集中，把隱含它的作用是把分散的條件集中，把隱含的條件顯現(xiàn)出來(lái)，起到牽線搭橋的作用的條件顯現(xiàn)出來(lái)，起到牽線搭橋的作用. . 添加輔助線，可構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)添加輔助線，可構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，找到聯(lián)系已知與未知的橋梁，把問(wèn)系，找到聯(lián)系已知與未知的橋梁，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，但輔助線的添法沒(méi)有一定的規(guī)題轉(zhuǎn)化，但輔助線的添法沒(méi)有一定的規(guī)律，要根據(jù)需要而定律，要根據(jù)需要而定, ,平時(shí)做題時(shí)要注平時(shí)做題時(shí)要注意總結(jié)意總結(jié). .要判定一個(gè)命題是真命題，往往需要從要判定一個(gè)命題是真命題，往往需要從命題的命題的條件條件出發(fā)，根據(jù)出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理已知的定義、公理、

13、定理，一步，一步一步推得結(jié)論成立，這樣的推理過(guò)程叫做一步推得結(jié)論成立，這樣的推理過(guò)程叫做證明證明。證明命題證明命題“兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么同位角也相等相等，那么同位角也相等”是真命題。是真命題。l3l1l2321第一步：第一步：根據(jù)題意，畫(huà)出圖形根據(jù)題意，畫(huà)出圖形證明命題證明命題“兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么同位角也相等相等，那么同位角也相等”是真命題。是真命題。第二步：第二步：條件條件： 如圖，直線如圖，直線 與與 被被 所所截，截，1=2l3l2l1l1321l2l3結(jié)論：結(jié)論：2=3在在“已

14、知已知”中寫(xiě)出條件，中寫(xiě)出條件，在在“求證求證”中寫(xiě)出結(jié)論中寫(xiě)出結(jié)論已知：已知：求證：求證：證明命題證明命題“兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么同位角也相等相等，那么同位角也相等”是真命題。是真命題。l3l1l2321第三步：第三步：在在“證明證明”中寫(xiě)出推理過(guò)程，中寫(xiě)出推理過(guò)程，并且并且步步有依據(jù)步步有依據(jù)。如圖，直線如圖，直線 與與 被被 所所截，截，1=2l3l2l1已知：已知：求證：求證：2=3證明：證明：1=21=32=3（ 已知已知 ）（對(duì)頂角相等）（對(duì)頂角相等）經(jīng)過(guò)剛才三站的經(jīng)過(guò)剛才三站的“證明證明”之旅，之旅，你能說(shuō)出完整的幾何命題證明你

15、能說(shuō)出完整的幾何命題證明需要需要哪幾個(gè)步驟哪幾個(gè)步驟嗎？嗎？（1）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形。）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形。（2）在）在“已知已知”中寫(xiě)出條件，中寫(xiě)出條件， 在在“求證求證”中寫(xiě)出結(jié)論。中寫(xiě)出結(jié)論。（3）在）在“證明證明”中寫(xiě)出推理中寫(xiě)出推理過(guò)程，并且過(guò)程，并且步步有據(jù)步步有據(jù)。直角三角形的兩個(gè)銳角互余直角三角形的兩個(gè)銳角互余cab已知：如圖，在直角三已知：如圖，在直角三角形角形abc中，中，求證：求證：證明：證明： 90c90ba 90180ccba又又 90ba本節(jié)課你學(xué)到什么本節(jié)課你學(xué)到什么？定義的含義：規(guī)定某一名稱(chēng)或術(shù)語(yǔ)的意義的 句子；命題的概念：對(duì)某一件事情作出正確或 不正確的判斷的句子；命題的結(jié)構(gòu)：通常命題是由條件和結(jié)論 兩部分組成。2、公理：人們長(zhǎng)期以來(lái)在實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并作為判斷、公理：人們長(zhǎng)期以來(lái)在實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并作為判斷 其他命題真假的根據(jù)的命題，叫做其他命題真假的根據(jù)的命題，叫做公理公理。3、定理：經(jīng)過(guò)推理論證為正確的命題叫、定理：經(jīng)過(guò)推理論證為正確的命題叫定理定理。1、命題：判斷正確或錯(cuò)誤的句子叫、命題：判斷正確或錯(cuò)誤的句子叫命題命題。4、判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子，說(shuō)明該命、判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子，說(shuō)明該命題不