極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限ppt課件

1、四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版1四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版我們?cè)?jīng)會(huì)計(jì)算一些代數(shù)函數(shù)如多項(xiàng)式、我們?cè)?jīng)會(huì)計(jì)算一些代數(shù)函數(shù)如多項(xiàng)式、有理函數(shù)的極限，有理函數(shù)的極限，但是還不會(huì)計(jì)算超越函數(shù)如三角函數(shù)、指但是還不會(huì)計(jì)算超越函數(shù)如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的極限。數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的極限。本節(jié)將引見假設(shè)干極限存在準(zhǔn)那么，并用它本節(jié)將引見假設(shè)干極限存在準(zhǔn)那么，并用它們來建立兩個(gè)重要的極限。們來建立兩個(gè)重要的極限。然后得到一些涉及超越函數(shù)的極限。然后得到一些涉及超越函數(shù)的極限。2四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛Septem

2、ber 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版一、極限存在準(zhǔn)那么一、極限存在準(zhǔn)那么本節(jié)將給出兩個(gè)極限存在準(zhǔn)那么：本節(jié)將給出兩個(gè)極限存在準(zhǔn)那么：夾逼準(zhǔn)那么和單調(diào)有界準(zhǔn)那么夾逼準(zhǔn)那么和單調(diào)有界準(zhǔn)那么3四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么 I 數(shù)列的夾逼準(zhǔn)那么數(shù)列的夾逼準(zhǔn)那么設(shè)有三個(gè)數(shù)列：設(shè)有三個(gè)數(shù)列：nxny nz假設(shè)它們滿足條件：假設(shè)它們滿足條件：1 nnnyxz(1,2,3,.)n 2 limnnyAlimnnzA那么那么limnnxASqueeze Theorem4四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版表示圖表示圖

3、1 nnnyxz(1,2,3,.)n 2 limnnyAlimnnzA那么那么limnnxAAnnnyxz5四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版1 nnnyxz(1,2,3,.)n 2 limnnyA那么那么limnnxA證明證明0 limnnyA1NnAyA1()nNlimnnzA2NnAzA2()nNlimnnzAAnnnyxzAA1nNAnnnyxzAA2nN6四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版limnnyAnAyA1()nNlimnnzAnAzA2()nN0 12max,NN N12max,nNN NnAyn

4、zAnxlimnnxAAnnnyxzAA7四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版nnnyxzAnnnyxzB留意：假設(shè)留意：假設(shè)那么不能構(gòu)成夾逼：那么不能構(gòu)成夾逼：limnnyA limnnzB?limnnx可能不存在！8四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么 I 函數(shù)的夾逼準(zhǔn)那么函數(shù)的夾逼準(zhǔn)那么 設(shè)在設(shè)在 x0 的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有(1)( )( )( )g xf xh x00(2)lim( )lim ( )xxxxg xh xA那么那么0lim( )xxf xA這個(gè)結(jié)論稱為夾逼準(zhǔn)那么這個(gè)結(jié)論

5、稱為夾逼準(zhǔn)那么This theorem is called the Squeeze Theorem.9四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版0 x( )f xA( )g x( )h xGeometrical interpretation of the Squeeze Theorem 0lim( )xxf xA)()(f xg xh x10四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版The Squeeze Theorem is also known as the Sandwich Theorem.( )f x( )h x( )g

6、x11四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版利用夾逼準(zhǔn)那么，我們可以求一些困難的極限。利用夾逼準(zhǔn)那么，我們可以求一些困難的極限。方法是：方法是：將將 f(x) 適當(dāng)減少為適當(dāng)減少為 g(x)，再適當(dāng)放大為，再適當(dāng)放大為 h(x)，使得使得 limg(x) = limh(x) = A極限要容易求得極限要容易求得那么那么 limf(x) = A常用方式：常用方式：( )( )f xg xlim ( )0g x lim( )0f x 46頁頁12四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版例例 證明證明 ：0limcos1xx證證 0

7、limcos1xx等價(jià)于等價(jià)于 0lim(1 cos )0 xx1 cosx22sin2xsin xx22 ( )2x212x201lim2xx0由夾逼準(zhǔn)那么由夾逼準(zhǔn)那么0lim(1 cos )0 xx0limcos1xx21 cos2sin2xx這是我們證明的第一個(gè)這是我們證明的第一個(gè)三角函數(shù)的極限三角函數(shù)的極限13四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版例例 求極限求極限222lim(.)2nnnnnnnn解解 教材教材 56頁頁, 習(xí)題習(xí)題 4(2)222.2nnnnxnnnn2nnnx2nn.2nnn2nnn.nx1nnlimnnn1lim1nnx22

8、2lim(.)12nnnnnnnn適當(dāng)適當(dāng)放大放大適當(dāng)適當(dāng)減少減少14四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版28頁頁 例例1.2.3 1995年數(shù)學(xué)二考研題年數(shù)學(xué)二考研題222lim(.)12nnnnnnnn類似的例子：類似的例子：22212lim(.)12nnnnnnnnn自學(xué)自學(xué)15四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版利用夾逼準(zhǔn)那么，可以證明以下有用的極限：利用夾逼準(zhǔn)那么，可以證明以下有用的極限：lim1nnnlim1nna(0)a lim0nnna(1)a 25頁頁 表表1.2.116四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛Sep

9、tember 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版例例 證明：證明：lim1nnn證證limnnn1limnnn0() 型只需證明：只需證明：lim(1)0nnn令令1nn1nn (0)只需證明：只需證明：lim0n17四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版令令1nn1nn (1)nn2(1)1.2!nn nn (0)2(1)2!n nn2201n只需證明：只需證明：lim0n2lim1nn0由夾逼性由夾逼性2lim0nlim0nlim1nnn18四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版課內(nèi)課內(nèi)練習(xí)練習(xí)01lim 1xxx1 x1

10、1x 1x1 xx1(1)xx1xx1x10lim(1)xx101lim 1xxx由夾逼準(zhǔn)那么由夾逼準(zhǔn)那么教材教材 57頁頁 習(xí)題習(xí)題 4(5)1 xxx 01lim ?xxx思索：思索：利用夾逼準(zhǔn)利用夾逼準(zhǔn)那么證明：那么證明：提示提示 利用不等式利用不等式19四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版 46頁頁 例例1.6.11 yxx01lim 1xxx01lim 1xxx01lim 1xxx課外作業(yè)：課外作業(yè)：證明：證明：20四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版我們知道：收斂數(shù)列一定是有界數(shù)列，我們知道：收斂數(shù)列一定是

11、有界數(shù)列， 但是有界數(shù)列不一定收斂。但是有界數(shù)列不一定收斂。以下準(zhǔn)那么闡明：有界的單調(diào)數(shù)列一定收斂。以下準(zhǔn)那么闡明：有界的單調(diào)數(shù)列一定收斂。21四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么 II 數(shù)列的單調(diào)有界準(zhǔn)那么數(shù)列的單調(diào)有界準(zhǔn)那么單調(diào)有界數(shù)列必有極限。單調(diào)有界數(shù)列必有極限。察看：察看：122,33,4,1nn,.,.1nn單調(diào)遞增單調(diào)遞增有上界有上界最小上界：最小上界：sup1nx 極限：極限：lim1nnn1supnx上確界上確界supremum22四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版設(shè)設(shè) xn是遞增數(shù)列是

12、遞增數(shù)列 ：1231.nnxxxxx且且 xn有上界：有上界：MnxM(1,2,3,.)n 那么那么 xn收斂，收斂，且且limnnxAsupnxM準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么 II 數(shù)列的單調(diào)有界準(zhǔn)那么數(shù)列的單調(diào)有界準(zhǔn)那么單調(diào)有界數(shù)列必有極限。單調(diào)有界數(shù)列必有極限。最小上界最小上界23四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版2x4x1x3xnx.Msupnx設(shè)設(shè) xn是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列 ：1231.nnxxxxx且且 xn有上界：有上界：MnxM(1,2,3,.)n 那么那么 xn收斂，收斂，且且limnnxAsupnxM24四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2

13、011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版設(shè)設(shè) xn是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列 ：且且 xn有下界：有下界：mnxm(1,2,3,.)n 那么那么 xn收斂，收斂，且且limnnxAinfnxm1231.nnxxxxx下確界下確界infimum最大下界最大下界準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么 II 數(shù)列的單調(diào)有界準(zhǔn)那么數(shù)列的單調(diào)有界準(zhǔn)那么單調(diào)有界數(shù)列必有極限。單調(diào)有界數(shù)列必有極限。25四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版設(shè)設(shè) xn是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列 ：且且 xn有下界：有下界：mnxm(1,2,3,.)n 那么那么 xn收斂，收斂，且且limnnxAinfnxm1231.nnxxxxxinfn

14、x2x4x1x3xnx.m26四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版確界的存在性？確界的存在性？公理公理 (10頁頁)：有上界的實(shí)數(shù)集必有上確界最小上界。有上界的實(shí)數(shù)集必有上確界最小上界。有下界的實(shí)數(shù)集必有下確界最大下界。有下界的實(shí)數(shù)集必有下確界最大下界。infnxsupnx見：江澤堅(jiān)見：江澤堅(jiān)上冊(cè)上冊(cè)4頁頁27四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版證明：設(shè)證明：設(shè) xn是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列 ，且有上界。，且有上界。limnnxA單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 根據(jù)實(shí)數(shù)確實(shí)界公理，數(shù)列有最小上界，設(shè)根據(jù)實(shí)數(shù)確實(shí)界

15、公理，數(shù)列有最小上界，設(shè)最小上界為最小上界為 A。下面證明數(shù)列以。下面證明數(shù)列以 A 為極限。為極限。0 由于由于 A 是數(shù)列的最小上界，是數(shù)列的最小上界，故故 不是數(shù)列的上界，于是存在正整數(shù)不是數(shù)列的上界，于是存在正整數(shù) N，使得，使得NxA()nAxAAnN2021.10.26A28四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版設(shè)設(shè) xn是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列 ：1231.nnxxxxx且且 xn無上界：無上界：那么那么 xn發(fā)散到正無窮大：發(fā)散到正無窮大：limnnx 2x4x1x3xnx.29四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)

16、第六版設(shè)設(shè) xn是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列 ：且且 xn無下界：無下界：那么數(shù)列發(fā)散到負(fù)無窮大：那么數(shù)列發(fā)散到負(fù)無窮大：limnnx 1231.nnxxxxx2x4x1x3xnx.30四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版數(shù)列極限的單調(diào)有界準(zhǔn)那么可以用來求一數(shù)列極限的單調(diào)有界準(zhǔn)那么可以用來求一些困難的數(shù)列極限：些困難的數(shù)列極限：有時(shí)，我們很難直接判別一個(gè)數(shù)列的收斂有時(shí)，我們很難直接判別一個(gè)數(shù)列的收斂性，但比較容易斷定該數(shù)列的單調(diào)性和有性，但比較容易斷定該數(shù)列的單調(diào)性和有界性，從而知道該數(shù)列的收斂性。界性，從而知道該數(shù)列的收斂性。31四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛Sept

17、ember 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版例例 設(shè)設(shè) 110 x 216xx4326xx10.16nnxx證明數(shù)列證明數(shù)列xn收斂，并求其極限。收斂，并求其極限。29頁頁例例1.2.4 (1996年數(shù)學(xué)一考研題年數(shù)學(xué)一考研題)26頁頁 例例1.2532四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版在證明之前在證明之前我們來作一個(gè)小的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)我們來作一個(gè)小的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)用用 EXCEL 計(jì)算數(shù)列的假設(shè)干項(xiàng)計(jì)算數(shù)列的假設(shè)干項(xiàng)EXCEL程序程序33四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版10.000000000010.00000000004.

18、00000000004.00000000003.16227766023.16227766023.02692544673.02692544673.00448422313.00448422313.00074727743.00074727743.00012454373.00012454373.00002075723.00002075723.00000345953.00000345953.00000057663.00000057663.00000009613.00000009613.00000001603.00000001603.00000000273.00000000273.00000000043.

19、00000000043.00000000013.00000000013.00000000003.00000000003.00000000003.00000000003.00000000003.00000000000.00000000002.00000000004.00000000006.00000000008.000000000010.000000000012.00000000001357911131517系列1察看：數(shù)列遞減，無限逼近于察看：數(shù)列遞減，無限逼近于 334四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版EXCEL很聰明很聰明特別擅長(zhǎng)計(jì)算歸納定義的數(shù)列特

20、別擅長(zhǎng)計(jì)算歸納定義的數(shù)列大家無妨試一試大家無妨試一試35四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版例例 設(shè)設(shè) 110 x 216xx4326xx10.16nnxx證明數(shù)列證明數(shù)列xn收斂，并求其極限。收斂，并求其極限。證證如今來證明我們的察看(1) 數(shù)列數(shù)列xn 的單調(diào)性的單調(diào)性首先首先12xx歸納假設(shè)歸納假設(shè)1nnxx欲證欲證1nnxx36四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版110 x .16nnxx證證(1) 數(shù)列數(shù)列xn 的單調(diào)性的單調(diào)性首先首先12xx歸納假設(shè)歸納假設(shè)1nnxx欲證欲證1nnxx現(xiàn)實(shí)上現(xiàn)實(shí)上nx16n

21、x6nx1nx所以數(shù)列所以數(shù)列xn 單調(diào)遞減單調(diào)遞減37四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版110 x .16nnxx(2) 數(shù)列數(shù)列xn 的有界性的有界性有界性是顯然的，由于有界性是顯然的，由于0nx (1,2,3,.)n 由數(shù)列的單調(diào)有界準(zhǔn)那么，數(shù)列收斂。由數(shù)列的單調(diào)有界準(zhǔn)那么，數(shù)列收斂。設(shè)設(shè)limnnxA0是數(shù)列的下界。是數(shù)列的下界。16nnxx216nnxx對(duì)于單減數(shù)列只需闡明它有下界對(duì)于單減數(shù)列只需闡明它有下界38四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版設(shè)設(shè)limnnxA16nnxx216nnxx2limnnx1

22、lim(6)nnx2A6A260AA(3)(2)0AA3A2A 舍去舍去lim3nnx3 是數(shù)列的最大下界是數(shù)列的最大下界39四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么 II函數(shù)的單調(diào)有界準(zhǔn)那么。了函數(shù)的單調(diào)有界準(zhǔn)那么。了解解設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 在某個(gè)區(qū)在某個(gè)區(qū)間間 (x0-, x0) 上單調(diào)添上單調(diào)添加，且有上界，那么加，且有上界，那么 f(x) 在在 x0 的左極限存的左極限存在：在：00()lim ( )xxf xf x0 x0 x設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 在某個(gè)區(qū)在某個(gè)區(qū)間間 (x0, x0+) 上單調(diào)上單調(diào)添加，且有下界，那添加，且有下界

23、，那么么 f(x) 在在 x0 的右極的右極限存在：限存在：00()lim( )xxf xf x0 x0 x40四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版2021.11.02同理，對(duì)于單調(diào)減少的函數(shù)也有類似的性質(zhì)：同理，對(duì)于單調(diào)減少的函數(shù)也有類似的性質(zhì)：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 在某個(gè)區(qū)在某個(gè)區(qū)間間 (x0-, x0) 上單調(diào)上單調(diào)減少，且有下界，那減少，且有下界，那么么 f(x) 在在 x0 的左極的左極限存在：限存在：00()lim ( )xxf xf x0 x0 x設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 在某個(gè)區(qū)在某個(gè)區(qū)間間 (x0, x0+) 上單調(diào)上單調(diào)減少，且有上界，

24、那減少，且有上界，那么么 f(x) 在在 x0 的右極的右極限存在：限存在：00()lim( )xxf xf x0 x0 x41四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版命題單調(diào)函數(shù)的單側(cè)極限命題單調(diào)函數(shù)的單側(cè)極限 選學(xué)選學(xué)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 (a, b) 上的單調(diào)添加，上的單調(diào)添加， 那么那么 f(x) 在任何點(diǎn)在任何點(diǎn) x(a, b) 處的兩個(gè)單側(cè)極處的兩個(gè)單側(cè)極限限 f(x-) 和和 f(x+) 都存在，且都存在，且( )( )()f xf xf x2021.11.02x( )f xx( )f xx( )f x42四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛

25、September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版同理同理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 (a, b) 上的單調(diào)減少，上的單調(diào)減少， 那么那么 f(x) 在任何點(diǎn)在任何點(diǎn) x(a, b) 處的兩個(gè)單側(cè)處的兩個(gè)單側(cè)極限極限 f(x-) 和和 f(x+) 都存在，且都存在，且( )( )()f xf xf x2021.11.02x( )f xx( )f xx( )f x43四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版如今，我們利用極限的存在準(zhǔn)那如今，我們利用極限的存在準(zhǔn)那么來建立兩個(gè)重要的極限：么來建立兩個(gè)重要的極限：一個(gè)極限涉及三角函數(shù)一個(gè)極限涉及三角函數(shù)另一

26、個(gè)極限涉及指數(shù)函數(shù)另一個(gè)極限涉及指數(shù)函數(shù)44四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版1. 重要極限重要極限0sinlimxxxsin( )xf xx是偶函數(shù)是偶函數(shù)0sinlimxxx是是 型型000sinlim?xxx45四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版sin xyx46四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版sin( )xf xx0sinlim1xxx看上去有極限：看上去有極限：47四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版由于由于 02x首先假定首

27、先假定02x0 x 設(shè)設(shè) x 滿足滿足0sinlimxxx48四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版作圖作圖AOBAOBAOD 面積扇形面積面積由圖形可知由圖形可知1sin2AOBx面積212xAOB扇形面積1tan2AODx面積O1ABxD11sin xtan x2x x 是弧度是弧度49四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版因此因此11sintan222xxx或或sintanxxx(0)2xAOBAOBAOD 面積扇形面積面積1sin2AOBx面積2xAOB扇形面積1tan2AODx面積O1ABxD11sin xtan

28、 x50四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版sintanxxx(0)2xsinsincosxxxx11sincosxxxsincos1xxx(0)2x02x如今設(shè)如今設(shè)那么那么 02x 于是于是sin()cos()1xxxsincos1xxx仍有仍有 51四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版sincos1xxx(0)2x得到得到由于由于 0limcos1xx由夾逼定理，我們得到極限：由夾逼定理，我們得到極限：0sinlim1xxx我們?cè)?jīng)勝利地將 sinx/x 夾在 cosx 和 1 之間52四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛S

29、eptember 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版with(plots):M:=4:A:=plot(sin(x)/x,x=-M.M,y=-1.2):B:=plot(cos(x),x=-M.M,y=-1.2,color=blue):C:=plot(1,x=-M.M,y=0.1.2,color=brown):display(A,B,C,scaling=constrained,thickness=3);sincos1xxxback53四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版sin1xx(0)2x注注 由由得得sin xx(0)2xsin xx(0)2x假設(shè)假設(shè)2x仍有

30、仍有sin xx所以所以sin xx(0)x 同理同理sin xx(0)x sin xx()x R常用公式常用公式54四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版with(plots):M:=4:A:=plot(sin(x),x=-M.M,y=-2.2):B:=plot(x,x=-M.M,y=-1.2,color=blue):display(A,B,scaling=constrained,thickness=3);(in0)sx xxsin xx55四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版重要極限重要極限0sinlim1xxxsi

31、n1xx(0)x sin xx56四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版例例 求求0limsinxxx解解0limsinxxx00型01limsinxxx01sinlimxxx11157四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版例例1 求求0tanlimxxx解解0tanlimxxx00型0sin1limcosxxx x0sin1limcosxxxx111 158四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版with(plots):M:=Pi/2:A:=plot(tan(x),x=-M.M,y=-5

32、.5):B:=plot(x,x=-M.M,y=-5.5,color=blue):display(A,B,scaling=constrained,thickness=3);0tanlim1xxxtan(0)xx x59四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版例例2 求求201 coslimxxx解解00型201 coslimxxx2202sin2limxxx20sin12lim22xxx20sin12lim22xxx21121260四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版201 cos1lim2xxx021 coslim12xx

33、x1推論推論61四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版with(plots):M:=5:A:=plot(1-cos(x),x=-M.M,y=-.51.3):B:=plot(x2/2,x=-M.M,y=-.51.3,color=blue):display(A,B,scaling=constrained,thickness=3);21 cos(02)xxx021 coslim112xxx62四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版例例 求求1lim sinxxx解解1lim sinxxx(0) 型1sinlim1xxx0()0型

34、1或令或令 1txx 0t 0sinlimttt1lim sinxxx163四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版 with(plots):M:=2:A:=plot(x*sin(1/x),x=-M.M,y=-1.5.1.5):B:=plot(1,x=-M.M,y=-1.5.1.5,color=blue):display(A,B,scaling=constrained,thickness=2);1lim sin1xxx64四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版sin11lim1xxx0sinlim1xxx應(yīng)從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)這個(gè)極

35、限應(yīng)從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)這個(gè)極限lim0sinlim1( )0si ( )nlim1( )見見48頁頁重要極限的各種方式重要極限的各種方式65四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版例例 3 求求0arcsinlimxxx解解令令 arcsin xt0 x 0t 0arcsinlimxxx0()0型sinxt0limsinttt166四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版0arcsinlim1xxx(0)x arcsin xxwith(plots):M:=1:y1:=-Pi/1.9:y2:=Pi/1.9:A:=plot(arcsin

36、(x),x=-M.M,y=y1.y2):B:=plot(x,x=-M.M,y=y1.y2,color=blue):display(A,B,scaling=constrained,thickness=3);67四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版例例 3 求求0arcsinlimxxx解解令令 arcsin xt0 x 0t 0arcsinlimxxxsinxt0limsinttt1用類似的方用類似的方法可得：法可得：0arctanlim1xxx0arcsinlim1xxx68四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版課內(nèi)練習(xí)

37、課內(nèi)練習(xí)求求lim2 sin2nnnx解解lim2 sin2nnnxsin2lim2nnnxxxx48頁頁 例例1.6.369四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版課內(nèi)練習(xí)課內(nèi)練習(xí)求極限求極限sinlimxxx解解sinlimxxx1limsinxxx0無窮小乘以有界函數(shù)無窮小乘以有界函數(shù)注注sinlimxxx不是不是00型留意：這不是重要極限！留意：這不是重要極限！見教材見教材48頁，例頁，例870四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版with(plots):M:=20:y1:=-Pi:y2:=Pi:A:=plot(si

38、n(x)/x,x=0.M,y=y1.y2):B:=plot(1/x,-1/x,x=0.1.M,y=y1.y2,color=blue):display(A,B,scaling=unconstrained,thickness=2);silinm0 xxx1yx1yx 71四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版2. 重要極限重要極限1lim(1)xxx1( )(1)xf xx是冪指函數(shù)是冪指函數(shù)1lim(1)xxx(1)型先思索數(shù)列極限：先思索數(shù)列極限：1lim(1)nnn72四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版在證明之前在證

39、明之前我們來作一個(gè)小的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)我們來作一個(gè)小的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)用用 EXCEL 計(jì)算數(shù)列的假設(shè)干項(xiàng)計(jì)算數(shù)列的假設(shè)干項(xiàng)EXCEL程序程序1(1)nnxn73四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版察看：數(shù)列遞增，有上界察看：數(shù)列遞增，有上界 300.511.522.531357911131517192123252729系列11 12 22 22.252.253 32.37037042.37037044 42.44140632.44140635 52.488322.488326 62.52162642.52162647 72.54649972.54649978 82.56

40、578452.56578459 92.58117482.581174810102.59374252.593742511112.6041992.60419912122.61303532.613035313132.62060092.620600914142.62715162.627151615152.63287872.632878716162.63792852.637928517172.64241442.642414418182.64642582.646425819192.65003432.650034320202.65329772.653297721212.65626322.6562632222

41、22.65896992.658969923232.66145012.661450124242.66373132.663731325252.66583632.665836326262.6677852.66778527272.6695942.66959428282.67127792.671277929292.67284912.672849130302.67431882.674318831312.67569632.675696332322.67699012.676990133332.67820772.678207774四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版1(1)

42、nnxn21(1)11.2!n nnnn (1).(1)1.!kn nnkkn(1).(1)1!nn nnnnn122(1)()2!(1).(1).!nnnnn kknn nabanababn nnkabbk2(1)(1)12!(1).(1).!nknn nbnbbn nnkbbk 75四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版1(1)nnxn21(1)11.2!n nnnn (1).(1)1.!kn nnkkn(1).(1)1!nn nnnnn111 1(1).2!nxn 1121(1)(1).(1)!nnnnn76四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September

43、2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版111 1(1).2!nxn 1121(1)(1).(1)!nnnnn(1) xn的單調(diào)性的單調(diào)性1111 1(1).2!1nxn 1121(1)(1).(1)!111nnnnn112(1)(1).(1)(1)!111nnnnn1nnxx77四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版(1) xn的單調(diào)性的單調(diào)性1(1,2,.)nnxxn xn單調(diào)添加單調(diào)添加78四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版111 1(1).2!nxn 1121(1)(1).(1)!nnnnn(2) xn的有界性的有界性1

44、111 1.2!3!nxn 211111 1.222n 12!(2)nnn111(2)!2nnn79四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版1111 1.2!3!nxn 211111 1.222n 1121112n 1112 3(1,2,.)n 3是數(shù)列的上界是數(shù)列的上界故故 xn有界有界2111.1nnqqqqq80四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版1lim(1)nnn存在存在1lim(1)nnn3且且記記1lim(1)nnen2.71828.e 81四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)

45、第六版eEuler1707 1783Swiss mathematician 1737年，年， Euler證明：證明：e 是無理數(shù)是無理數(shù)1873年，年， Hermite證明：證明：e 是超越數(shù)不是代是超越數(shù)不是代數(shù)方程的解數(shù)方程的解82四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版1737年，年， Euler證明：證明：e 是無理數(shù)是無理數(shù)1873年，年， Hermite證明：證明：e 是超越是超越數(shù)不是代數(shù)方程的解數(shù)不是代數(shù)方程的解 In 1748 Leonard Euler found the value of e correct to 23 digits. I

46、n 2000 Xavier Gourdon and S. Kondo, using computers, computed e to more than 12 billion decimal places.From Stewarts Calculus (5th ed.), p76583四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版 In 1748 Leonard Euler used this equation to find the value of e correct to 23 digits. In 2000 Xavier Gourdon and S. Kon

47、do, again using the series, computed e to more than 12 billion decimal places.From Stewarts Calculus (5th ed.), p7652021年年Kondo and Yee 將將 e 計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后 1 trillion (萬億萬億) 位。位。numbersputation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html84四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版Last update: August 202

48、1 numbersputation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html85四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛September 2011同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版 evalf(exp(1),100);2.718281828459045235360287472662497757247093699959574966967627724076630353547594572178525166427 evalf(exp(1),1000);2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627

49、724076630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572900334295260595630738132328627943490763233829880753195251019011573834187930702154089149934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826560297606737113200709

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