函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)PPT課件

1、一一. .三角級數(shù)三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，接觸兩類在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，接觸兩類基函數(shù)基函數(shù)： 函數(shù)在函數(shù)在一點(diǎn)一點(diǎn)的性質(zhì)的性質(zhì) 周期函數(shù)周期函數(shù)(整體性質(zhì)整體性質(zhì)) Fourier級數(shù)級數(shù)三角級數(shù)三角級數(shù) 表達(dá)周期函數(shù)表達(dá)周期函數(shù)nnnx,x,x,xxxu321 )( nnnxxaxf)()(00 nxnxxx,x,x,nxnxxuncos,sin2cos2sincossin1 cossin)( 第1頁/共56頁 10)sin()(nnntnAAtf 諧波分析諧波分析 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nn

2、nnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb , xt 稱為三角級數(shù)稱為三角級數(shù). .簡單的周期運(yùn)動簡單的周期運(yùn)動 : :)sin( tAy復(fù)雜的周期運(yùn)動復(fù)雜的周期運(yùn)動 : :為振幅，為振幅，A為角頻率，為角頻率， .為初相為初相 得級數(shù)得級數(shù)( (一一) )三角級數(shù)三角級數(shù) 表達(dá)周期函數(shù)表達(dá)周期函數(shù)第2頁/共56頁1757年年,法國數(shù)學(xué)家法國數(shù)學(xué)家克萊羅克萊羅在研究太陽引起的攝動時(shí)在研究太陽引起的攝動時(shí),.cos2)(10nnnxAAxf大膽地采用了三角級數(shù)表示函數(shù)大膽地采用了三角級數(shù)表示函數(shù):.dcos)(2120 xnxxfAn其中1759年年,拉格朗日拉格朗

3、日在對聲學(xué)的研究中使用了三角級數(shù)在對聲學(xué)的研究中使用了三角級數(shù).1777年年,歐拉歐拉在天文學(xué)的研究中在天文學(xué)的研究中,用三角函數(shù)的正交用三角函數(shù)的正交性性得到了將函數(shù)表示成三角函數(shù)時(shí)的系數(shù)得到了將函數(shù)表示成三角函數(shù)時(shí)的系數(shù).也就是現(xiàn)今教科書中傅立葉級數(shù)的系數(shù)也就是現(xiàn)今教科書中傅立葉級數(shù)的系數(shù).第3頁/共56頁 在歷史上在歷史上, ,三角級數(shù)三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解微分方程的出現(xiàn)和發(fā)展與求解微分方程 1753年年.丹丹 貝努利貝努利首先提出將弦振動方程的解表示為首先提出將弦振動方程的解表示為是分不開的是分不開的. .三角級數(shù)的形式三角級數(shù)的形式,這為傅立葉級數(shù)題奠定了物理基礎(chǔ)這為傅立葉級數(shù)題

4、奠定了物理基礎(chǔ),促進(jìn)了它的發(fā)展促進(jìn)了它的發(fā)展. 1822年,傅立葉傅立葉在在 熱的解析理論熱的解析理論 一書中一書中對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的,特殊的情形特殊的情形采用的三角級數(shù)方法進(jìn)行加工處理采用的三角級數(shù)方法進(jìn)行加工處理,發(fā)展成一般理論發(fā)展成一般理論.傅立葉傅立葉指出指出: :)(),(xf上的有界函數(shù)任意定義在 可以展開成級數(shù)可以展開成級數(shù)第4頁/共56頁其中其中.)2 , 1(dsin)(1nxnxxfbn,.)2 , 1 , 0(dcos)(1nxnxxfan.)sincos(210 nnnnxbnxaa)(xf第5頁/共56頁xxnkxnkd)

5、cos()cos(21證證:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsin xxnxk同理可證同理可證 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交正交 ,上的積分等于上的積分等于 0 .即其中即其中任意兩個(gè)不同任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在的函數(shù)之積在0dsincos xxnxk)(nk 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( (二二) )、三角函數(shù)系的正交性、三角函數(shù)系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx第6頁/共56頁上的積分不等于上的積分不等于 0 .,2d11x

6、xxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有且有 但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同相同的函數(shù)的乘積在的函數(shù)的乘積在 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共56頁二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)問題問題: :是是什什么么？數(shù)數(shù)，若若函函數(shù)數(shù)能能展展開開成成三三角角級級iiba ,. 12. 展開的條件是什么展開的條件是什么? ?的周期函數(shù)，的周期函數(shù)，是周期為是周期為設(shè)設(shè)2)(xf.)1(0a求求xkxbkxaxaxxfkkkd )sincos(d2d)(10 10)sincos(2)(

7、kkkkxbkxaaxf且能展開成三角級數(shù)且能展開成三角級數(shù)第8頁/共56頁,220 a.d)(10 xxfa則則xkxbxkxaxakkkkdsindcosd2110 .)2(na求求 xnxaxnxxfdcos2dcos)(0dcossindcoscos1 xnxkxbxnxkxakkk(利用正交性)第9頁/共56頁 xnxandcos2, na xnxxfandcos)(1則則)., 3 , 2 , 1( n.)3(nb求求 xnxxfbndsin)(1則則)., 3 , 2 , 1( n xnxaxnxxfdsin2dsin)(0dsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxa

8、kkk, nb(利用正交性)第10頁/共56頁 ), 2 , 1(,dsin)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann 2020), 2 , 1(,dsin)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann或或傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)第11頁/共56頁代入傅里葉系數(shù)的三角級數(shù)稱為代入傅里葉系數(shù)的三角級數(shù)稱為傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa問題問題: : 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf條件條件在什么條件下函數(shù)可以展開成傅里葉級數(shù)在什么條件下函數(shù)可以展開成傅里葉級數(shù)? ?狄利克雷狄

9、利克雷于于1829年第一次對于傅立葉級數(shù)的收斂性年第一次對于傅立葉級數(shù)的收斂性給出了嚴(yán)格的證明給出了嚴(yán)格的證明.得到了現(xiàn)今教科書中的所謂狄利克雷判定準(zhǔn)則得到了現(xiàn)今教科書中的所謂狄利克雷判定準(zhǔn)則. .第12頁/共56頁定理定理( (收斂定理收斂定理, , 展開定理展開定理) )設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為2 的的周期函數(shù)周期函數(shù), 并滿足并滿足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )條件條件:1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則則 f (x) 的傅的傅里里葉級數(shù)收斂葉級

10、數(shù)收斂 , 且且有有 10sincos2nnnnxbnxaa , )(xf,2)()( xfxf x 為間斷點(diǎn)為間斷點(diǎn)其中其中nnba ,( 證明略證明略 )為為 f (x) 的傅的傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) . x 為連續(xù)點(diǎn)為連續(xù)點(diǎn)注意注意: 函數(shù)展成傅函數(shù)展成傅里里葉級數(shù)的條件比展成葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多冪級數(shù)的條件低得多.簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共56頁的連續(xù)點(diǎn)，是設(shè))(),(. 10 xfx則有則有),(. 2x設(shè)間斷點(diǎn)，的是)(xf;)()sincos(2: )(10 xfnxbnxaaxSnnn;)0()0(21)(xfxfxS則有則有時(shí)，當(dāng),. 3x有

11、有.)0()0(21)(ffxS既第14頁/共56頁例例1. 設(shè)設(shè) f (x) 是是周期為周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 它在它在 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅先求傅里里葉系數(shù)葉系數(shù)xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級數(shù)葉級數(shù). oyx11機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共56頁xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n當(dāng),6

12、,4,2n當(dāng)xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共56頁),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根據(jù)收斂定理可知根據(jù)收斂定理可知,時(shí)時(shí), ,級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于02112) 傅氏級數(shù)的部分和逼近傅氏級數(shù)的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11說明:), 2, 1, 0(kkx當(dāng)f (x) 的情況見右圖的情況見右圖.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共56頁 otu11不同頻率不同頻率正弦波正弦波逐個(gè)疊加成逐個(gè)疊加成方波方波,7sin714,5sin514,3

13、sin314,sin4tttt 物理意義物理意義)12sin(1213sin31sin4)( xkkxxxf).,2, 0;( xx第18頁/共56頁tusin4 第19頁/共56頁)3sin31(sin4ttu 第20頁/共56頁)5sin513sin31(sin4tttu 第21頁/共56頁)7sin715sin513sin31(sin4ttttu 第22頁/共56頁)7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu)0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 第23頁/共56頁傅里葉級數(shù)展開式的意義傅里葉級數(shù)展開式的意義函數(shù)的整體

14、逼近函數(shù)的整體逼近. .第24頁/共56頁解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件. .), 2, 1, 0()12(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn) kkx2)( f收斂于收斂于20 .2 .)(0, 00,)(2)(展展開開為為傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)將將表表達(dá)達(dá)式式為為的的周周期期函函數(shù)數(shù)，它它在在上上的的是是周周期期為為設(shè)設(shè)xfxtxxfxf 例例2第25頁/共56頁).()12(xfkxx處收斂于處收斂于在連續(xù)點(diǎn)在連續(xù)點(diǎn) txfa)d(10 0d1tx,2 0221 x 0dcos1xxnx xnxxfandcos)(1 02cossin1nnxnnxx 2cos1nn),

15、2 , 1(2, 012,)12(22 kknknk第26頁/共56頁 xnxxfbndsin)(1.)1(1nn 0dsin1xnxx 3o 2 2 3yx 2 )5sin515cos52(4sin41)3sin313cos32(2sin21)sincos2(4)(22xxxxxxxxxf ),3,( xx第27頁/共56頁),()()()2( xfxFT周期延拓周期延拓)()(21 ff端點(diǎn)處收斂于端點(diǎn)處收斂于非周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)非周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)即非周期函數(shù)，即非周期函數(shù)，上有定義，上有定義，只在區(qū)間只在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù),)( xf并且滿足收斂定理的條件，并且滿足收斂定

16、理的條件，可利用周期的可利用周期的延拓延拓展開成傅里葉級數(shù)，展開成傅里葉級數(shù)，).(2,(,xF的周期函數(shù)的周期函數(shù)成周期為成周期為拓廣拓廣外補(bǔ)充函數(shù)定義，把它外補(bǔ)充函數(shù)定義，把它或或在在 )第28頁/共56頁, )(xxf周期延拓周期延拓)(xF傅傅里里葉展開葉展開,)(在xf上的傅上的傅里里葉級數(shù)葉級數(shù)定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù) f (x)的傅氏級數(shù)的傅氏級數(shù)展開法展開法), , )(xxf, )2(kxf其它其它機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第29頁/共56頁例例3. 將函數(shù)將函數(shù)xxxxxf0, 0,)(級數(shù)級數(shù) .oyx則則xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0

17、222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 將將 f (x)延拓成以延拓成以 展成傅展成傅里里葉葉2 為為周期周期的函數(shù)的函數(shù) F(x) , 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第30頁/共56頁x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos512)(x機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第31頁/共56頁物理意義物理意義 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x242 4

18、)(xfxyO不同頻率不同頻率余弦波余弦波逐個(gè)疊加成逐個(gè)疊加成鋸齒波鋸齒波第32頁/共56頁利用此傅氏展開式求利用此傅氏展開式求幾個(gè)特殊的級數(shù)的和特殊的級數(shù)的和,)12cos()12(142)(12 nxnnxf因?yàn)橛幸驗(yàn)橛? 0)0(,0 fx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),513118222 ,4131211222 設(shè)設(shè)),8(513112221 第33頁/共56頁,6141212222 ,41312112223 ,44212 因?yàn)橐驗(yàn)?243212 所以所以21 ,62 132.122 第34頁/共56頁例例4. 將函數(shù)將函數(shù)tEtusin)(展成傅里葉級數(shù)展成傅里葉級數(shù), 其其中E E 為正常數(shù)為正常數(shù) .

19、 .解解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE延拓成以延拓成以2 2 為周為周期期 的的函數(shù)函數(shù) 0d)(2ttu機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , t第35頁/共56頁t 2cos310d) 1sin() 1sin(ttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos141412機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第36頁/共56頁)(2

20、00, 1, 1)(2處收斂于處收斂于傅里葉級數(shù)在點(diǎn)傅里葉級數(shù)在點(diǎn)為周期的為周期的則以則以設(shè)設(shè) xxxxxf,)(滿足收斂定理的條件滿足收斂定理的條件顯然顯然xf例例5 5解解即即的平均值的平均值與與處的和為處的和為其傅里葉級數(shù)在其傅里葉級數(shù)在,)()( ffx2)()( ff2)1()1(2 .22 .22 故應(yīng)填入故應(yīng)填入第37頁/共56頁三、正弦級數(shù)或余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)或余弦級數(shù)1.奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)),3 ,2 , 1(dsin)(2),2 , 1 ,0(0)(2)1(0 nxnxxfbnaxfnn數(shù)數(shù)為為級級數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，它它的的傅傅里里葉葉系系展展開

21、開成成傅傅里里葉葉的的奇奇函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)周周期期為為), 3 , 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(dcos)(2)(2)2(0 nbnxnxxfaxfnn數(shù)數(shù)為為級級數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，它它的的傅傅里里葉葉系系展展開開成成傅傅里里葉葉的的偶偶函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)周周期期為為第38頁/共56頁證證,)()1(是奇函數(shù)是奇函數(shù)設(shè)設(shè)xf xnxxfandcos)(10 ), 3 , 2 , 1 , 0( n奇函數(shù)奇函數(shù) 0dsin)(2xnxxf)., 3 , 2 , 1( n同理可證同理可證(2) xnxxfbndsin)(1偶函數(shù)偶函數(shù)證畢證畢第39頁/共56頁定義定義.sin)(1稱為正弦級數(shù)稱為正弦級數(shù)

22、為奇函數(shù)，傅里葉級數(shù)為奇函數(shù)，傅里葉級數(shù)如果如果nxbxfnn .cos2)(10稱為余弦級數(shù)稱為余弦級數(shù)為偶函數(shù)，傅里葉級數(shù)為偶函數(shù)，傅里葉級數(shù)如果如果nxaaxfnn 第40頁/共56頁解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件. .,), 2, 1, 0()12(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn) kkx2)()( ff收斂于收斂于2)( , 0 ),()12(xfkxx處收斂于處收斂于在連續(xù)點(diǎn)在連續(xù)點(diǎn) 展展開開成成傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)，將將上上的的表表達(dá)達(dá)式式為為的的周周期期函函數(shù)數(shù)，它它在在是是周周期期為為設(shè)設(shè))()(),2)(xfxxfxf 例例,2)()12(為周期的奇函

23、數(shù)為周期的奇函數(shù)是以是以時(shí)時(shí)因?yàn)橐驗(yàn)?xfkx第41頁/共56頁 2 2 3 3xy0和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象), 2 , 1 , 0(, 0 nan所以所以第42頁/共56頁 0dsin)(2xnxxfbn 0dsin2xnxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n)3sin312sin21(sin2)( xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;( xx第43頁/共56頁)5sin514sin413sin312sin21(sin2xxxxxy xy 觀觀察察兩兩函函數(shù)數(shù)圖圖形形第44頁/共56頁2. 在在0, 上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余

24、弦級數(shù)上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù),0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓xoy正弦級數(shù) f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第45頁/共56頁1xyo例例1. 將函數(shù)將函數(shù),1k )0(1)(xxxf分別展成正弦級分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)數(shù)與余弦級數(shù) . 解解: 先求正弦級數(shù)先求正弦級數(shù). 去掉端點(diǎn)去掉端點(diǎn), 將將 f (x) 作作奇周期延拓奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb

25、0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxx nnncoscos12 12 knkn2 ),2, 1(k,1222k機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 kn2 第46頁/共56頁nb12,1222knk),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端點(diǎn)在端點(diǎn) x = 0, , 級數(shù)的和為級數(shù)的和為0 ,與給定函數(shù)與給定函數(shù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1xyo因此得因此得 f (x) = x + 1 的值不同的值不同 . knk2,1 第47頁/共56頁3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)

26、0( x5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(2xxxxxy 1 xy第48頁/共56頁再求余弦級再求余弦級數(shù)數(shù).x1y將)(xf則有則有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0 ),2, 1(k作,偶周期延拓偶周期延拓 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 kn 2,0 第49頁/共56頁121xxcosx3cos312)0( xx5cos512說明說明: 令 x = 0 可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1yox第50頁/共56頁1 xy)7cos715cos513cos31(cos412222xxxxy 第51頁/共56頁內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 周期為 2 的函數(shù)的傅里里葉級數(shù)及收斂定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(間斷點(diǎn)x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若