三角函數(shù)及解三角形知識點

1、. 三角函數(shù)知識點2、角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標軸上的角的集合為3、與角終邊相同的角的集合為4、已知是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再從軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應(yīng)的標號即為終邊所落在的區(qū)域5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度6、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是7、弧度制與角度制的換算公式：，8、若扇形的圓心角為，半徑為，

2、弧長為，周長為，面積為，則，9、設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是，它與原點的距離是，則，10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正Pvx y A O M T 11、三角函數(shù)線：，12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：，口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限，口訣：奇變偶不變，符號看象限14、函數(shù)的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象

3、函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象函數(shù)的性質(zhì)：振幅：；周期：；頻率：；相位：；初相：函數(shù)，當時，取得最小值為 ；當時，取得最大值為，則，15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì) 圖象定義域值域最值當時，；當 時，當時， ；當時，既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無

4、對稱軸半角公式 sin(A/2)=(1-cosA)/2) sin(A/2)=-(1-cosA)/2) cos(A/2)=(1+cosA)/2) cos(A/2)=-(1+cosA)/2) tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-(1-cosA)/(1+cosA) ctg(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=-(1+cosA)/(1-cosA) 和差化積 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAs

5、inB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 輔助角公式，其中降冪公式（sin2）x=1-cos2x/2 （cos2）x=i=cos2x/2萬能公式 令tan(a/2)=t sina=2t/(1+t2) cosa=(1-t2)/(1+t2) ta

6、na=2t/(1-t2)公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得

7、到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2±及3/2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan (以上kZ) 注意：在做題時，將a看成銳角來做會比較好做。誘導(dǎo)公式記憶口訣 奇變偶不變，符號看象限。同角三角函數(shù)基本關(guān)系 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 倒數(shù)關(guān)系: tan ·cot1 sin ·csc1 cos 

8、3;sec1 商的關(guān)系： sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 兩角和差公式 兩角和與差的三角函數(shù)公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/

9、(ctgB-ctgA) 二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）tan2A=2tanA/(1-tan2A) sin2a=2sinacosa cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴角公式） sin2(/2)(1cos)2 cos2(/2)(1cos)2 tan2(/2)(1cos)(1cos) 另也有tan(/2)=(1cos)/sin=sin/(1+cos)萬能公式 sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan

10、2(/2)萬能公式推導(dǎo) 附推導(dǎo)： sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*， （因為cos2()+sin2()=1） 再把*分式上下同除cos2()，可得sin22tan/(1tan2() 然后用/2代替即可。 同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。和差化積公式 三角函數(shù)的和差化積公式 sinsin2sin()/2·cos()/2 sinsin2cos()/2·sin()/2 coscos2cos()/2·cos()/2 coscos2sin()/2·sin()/2積化和差公式 三角函數(shù)的積化和差

11、公式 sin ·cos0.5sin()sin() cos ·sin0.5sin()sin() cos ·cos0.5cos()cos() sin ·sin0.5cos()cos()和差化積公式推導(dǎo) 附推導(dǎo)： 首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a

12、-b)/2 同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 這樣,我們就得到了積化和差的四個公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+

13、b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好,有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式. 我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2) 0度 sina=0,cosa=1,tana=030度 sina=1/2,cosa=3/2,tana=3/345度 sina=2/2,cosa=2/2,tana=160度 sina=3/2,cosa=1/2,tana=390度 sina=1,cosa=0,tana不存在120度 sina=3/2,cosa=-1/2,tana=-3150度 s