唯一整數(shù)直角三角形問(wèn)題

1、 課 程 設(shè) 計(jì) 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)軟件 設(shè)計(jì)題目：直角三角形問(wèn)題 指導(dǎo)老師：侯為根 學(xué)生姓名： 孫文莉 班級(jí) ： 信122班 學(xué)號(hào) ：129084227 2014年6月16日重述問(wèn)題：題目14：找出只能以一種方式構(gòu)成直角三角形的電線長(zhǎng)度的數(shù)目.事實(shí)證明12 cm是最短的只能夠以一種方式彎曲成整數(shù)邊直角三角形的電線長(zhǎng)度。但是還有很多其他例子：12 cm: (3,4,5)24 cm: (6,8,10)30 cm: (5,12,13)36 cm: (9,12,15)40 cm: (8,15,17)48 cm: (12,16,20)與之相反，有一些長(zhǎng)度，例如20cm，不能夠彎曲形成整數(shù)邊的直角三角形。而

2、其他的一些長(zhǎng)度則可以以多于一種的方式彎曲成整數(shù)邊直角三角形；例如，120cm可以構(gòu)成三種不同的整數(shù)邊直角三角形。120 cm: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51)l為電線的長(zhǎng)度，對(duì)于 l 1,500,000，有多少個(gè)只能以一種方式構(gòu)成整數(shù)邊直角三角形？問(wèn)題分析：在此題中要求用數(shù)值分析法來(lái)求解唯一整數(shù)邊直角三角形問(wèn)題，而對(duì)直角三角形這個(gè)問(wèn)題我們?cè)缫巡辉倌吧苯切稳叺墓垂啥ɡ砗腿呹P(guān)系我們?cè)偈煜げ贿^(guò)，可以建立數(shù)學(xué)模型列出相關(guān)運(yùn)算式用數(shù)學(xué)軟件matlab來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題 模型建立與求解：目前為止，想到最快的計(jì)算方法還是利用勾股數(shù)的構(gòu)造公式 a=m2-n2 b=2*

3、m*n c=m2+n2,則a,b,c滿足勾股定理.要用上邊公式產(chǎn)生所有的勾股數(shù)，還要注意幾個(gè)條件1、m>n，m和n都是正整數(shù)2、三邊和，也就是周長(zhǎng)為 2*m*(m+n)3、當(dāng)m和n互質(zhì)且奇偶不同時(shí)，可以產(chǎn)生互質(zhì)的勾股數(shù)4、假如得到一個(gè)勾股組合a，b，c，那么ka，kb，kc（k為正整數(shù)）也是勾股數(shù) 周長(zhǎng)顯然也是原來(lái)的k倍所以程序的基本算法是首先設(shè)置一個(gè)數(shù)組x用于存放每個(gè)周長(zhǎng)值可以用幾種勾股數(shù)去表示然后利用勾股數(shù)的構(gòu)造公式，構(gòu)造互質(zhì)勾股數(shù)組，并計(jì)算周長(zhǎng)將x數(shù)組這個(gè)周長(zhǎng)和周長(zhǎng)的整數(shù)倍對(duì)應(yīng)的位置的數(shù)增加1由于周長(zhǎng)為l=2*m*(m+n)>2m2,所以只用計(jì)算到m<sqrt(l/2)

4、就可以了最后x(i)中為0的值表示周長(zhǎng)為2*i的情況不能構(gòu)造成整數(shù)邊直角三角形而x(i)中為1的值表示周長(zhǎng)為2*i的情況有一種辦法構(gòu)造成整數(shù)邊直角三角形.只要統(tǒng)計(jì)x中等于1的數(shù)的個(gè)數(shù)，就得到只能以一種方式構(gòu)成整數(shù)邊直角三角形的周長(zhǎng)個(gè)數(shù)程序編寫(xiě)：clearticl=1.5e6;%最大三角形周長(zhǎng)x=zeros(1,l/2,'uint8');%x用于存放每個(gè)周長(zhǎng)可以以幾種方式構(gòu)成整數(shù)直角三角形%由于勾股數(shù)的和一定是偶數(shù)，所以這里只用l/2的長(zhǎng)度%x有第i個(gè)數(shù)，表示周長(zhǎng)為2i的三角形可以有幾種構(gòu)成整數(shù)邊直角三角形的辦法for m=2:sqrt(l/2) f=unique(factor(

5、m); k=1:m-1; for l=f,k(l:l:end)=0;end if f(1)=2,k(1:2:end)=0;end k=k(k>0);%最后k是奇偶和m不同，且與m互質(zhì)的小于m的數(shù) for n=k %從k中取出一個(gè)值賦給n hs=m*(m+n); %2*hs就是周長(zhǎng) if 2*hs>l;break;end %周長(zhǎng)超過(guò)l，不用考慮 x(hs:hs:end)=x(hs:hs:end)+1; %將這組勾股數(shù)三角形周長(zhǎng)及其整數(shù)倍的構(gòu)造辦法增加1 endendnum=sum(x=1) %統(tǒng)計(jì)只有一種構(gòu)造辦法的個(gè)數(shù)toc計(jì)算結(jié)果與分析： num = 161667elapsed t

6、ime is 3.519709 seconds.所以，l為電線的長(zhǎng)度，對(duì)于 l 1,500,000，有161667個(gè)只能以一種方式構(gòu)成整數(shù)邊直角三角形，且以上方法用時(shí)3.5秒左右方法二，用遍歷法，l=1:1,500,000,用勾股定理遍歷所有數(shù)，時(shí)間復(fù)雜度非常大，需要耗時(shí)一個(gè)小時(shí)左右，以下是其程序n=0; f=0; a=0; b=0; for l=6:2:1500000 i=a+1; for a=1:i i=l-a; c=b+1; for b=1:c c=l-a-b; if(a*a+b*b=c*c&&a>b) n=n+1; f=1; fprintf('%d+%d+%d=%dn',a,b,c,l) if(f