2-3隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo).

1、i、 和、差、積、商的求導(dǎo)法則ii、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)iii、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則iv、 初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)2.設(shè)/(x) = (x-a(x),其中卩(兀)在 x=a 處連續(xù), 在求 fa)時(shí)，下列做法是否正確？因廠(x)X0(x)+(X 一 o)0(x)故 fa) =(p(a)正確解法：廣=lim=limI)於)x-a x-a XT。x a=lim(p(x) =(p(a)x3設(shè) f =x(x -1 )(x - 2)(x - 99),求廣(0).解：方法 1 利用導(dǎo)數(shù)定義.八 0)=吧/(x)-/(0)x-0= lim(x-l)(x-2)-(x-99) = -99! xfO方法 2 利用求導(dǎo)公式.fx

2、) = (xy. (x - lXx - 2). -(x - 99)+ x(x_lXx_2)(x_99)Y. p0) = -99!e請閱讀p98例13, |P 101例17, 19,20sin2x例 18：設(shè)函數(shù)/(x)二* x，求 A(x)0,x = 0解：當(dāng) X H 0 時(shí)，宀、zsin2x、(2sin xcosx)x sin2xf M = () =2xsin 2x sin2x當(dāng)繹 QU 伽寸,若用導(dǎo)數(shù)極限定理/+(0) = .=/(%) = 2-1 = 1f /)悝.詁尸 n 希也用影三 XAXTO人y - arcsin /x -F f(arcrg-),求y，X11丄11y僅-丁X 2+2

3、f(u)f(u)(-)Jl-X 2. . I X-di)2 Jx-x，x +1第二章隱站裂牝彖赦方程求導(dǎo)相果變化率一、 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、 相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程 F(x,y) = O 可確定 y 是 x 的函數(shù)則稱此 函數(shù)為隱函數(shù).由 y 二 fw 表示的函數(shù)，稱為顯函數(shù).例如x_八 =0可確定顯函數(shù)7 = 3 1二X y5-ly- x - 3x7=0 可確定 y 是 x 的函數(shù)， 但此隱函數(shù)不能顯化.隱函數(shù)求導(dǎo)方法：F(X,JM) = 0*兩邊對 x 求導(dǎo)尸(比刃二 0(含導(dǎo)數(shù) y的方程) dx例 1 求由方程卩-+刃=0 所確定的隱函數(shù)解得字=：

4、V，由原方程知 x =O,J=O, dx x+e所求切線方程為，一； = -（“一；）即 x + y-3 = U法線方程為 T = T即 y“書上例 2 自己看y 的導(dǎo)數(shù)字，字dx dx解方程兩邊舷求導(dǎo),練習(xí)：（2008 2009期期中）求翳對數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)才,尸嚴(yán)”（x + 4ye方法：先在方程兩邊取對數(shù)，然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo) 方法求出導(dǎo)數(shù).對數(shù)求導(dǎo)法 適用范圍：多個(gè)函數(shù)相乘和壽指函如（X）心的情形設(shè) y=y （x） 由方程 exy+y3-5x-0 所確定2例 3 設(shè) y = x“（x0）,求 y解 等式兩邊取對數(shù)得 In j =sinx -Inx上式兩邊對 x 求導(dǎo)得jcosxlnx +

5、 sinx-yx= j(cosxlnx+sinx) xMX(x + 1) X X 1_p.,例 4 設(shè)*(“4)訂求八解等式兩邊取對數(shù)得lnj = ln(x + l)+ ln(x -1) - 21n(x + 4) - x 3上式兩邊對X求導(dǎo)得=- +y x +1 3( x - 1) x + 4匕辱1丄+_(x + 4)2exx + 1 3(x-l) x + 4xs,nx(cosxlnx +S，11Remark:1)對幕指函數(shù) y = zzv可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo):ny = vnuIFn tw vv = v lnz/ + ywy = “ ( vrlnz/ 4-)注意： y =lnu v + vw11

6、z 按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按離函數(shù)求導(dǎo)公式三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).例如消去參數(shù)若參數(shù)方程確定 y 與 x 間的函數(shù)關(guān)系,問題：消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?在方程 F中,設(shè)函數(shù) r = 0具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù) T =0(x), :.y =i/4(Pl(x)再設(shè)函數(shù) x =(p(t).y =肖(/)都可導(dǎo)、且(/)工 0.由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dy；dx dt dx dt dx mf(t)L、卩-=-dtdx dxdt例 5 求擺線嚴(yán)廠皿)在心軌的切線方程.y =a(l cosf)dy如 w 當(dāng) F時(shí),x=a(:-1), y=a所求切線方程為= x-a(-

7、l)即 y=x+a(2-)asint _ sin/a-acosr I cost n sin-21-cos-2例 6.求心形線 p = l+sin 0 在點(diǎn) 0 =彳處的法線方程解利用直角坐標(biāo)與極朋標(biāo)的關(guān)系，有：x = p cos = （1 + si n 0） cos 0y = psin = （1 +sin0）sin0dy _ （I + sin。）sin。 _ sin20 +cos。dx （l+sin）cos0 cos 26?-si nO 當(dāng)&諾時(shí)：x=L+週,尸迺+（字=-】32424 辦所以：法線方程為 +丄+44例 7 不計(jì)空氣阻力，初速度吟發(fā)射角 a 發(fā)射炮彈,x = vor c

8、os a運(yùn)動方程為1y = v(/sma-g/-求炮彈在時(shí)刻%的運(yùn)動方向;(2)炮彈在時(shí)刻 r的速度大小解(1)在/。時(shí)刻的運(yùn)動方向即切線方向,可由斜率來反映dy( (W詁丁Posina-=-= dx (v0/ cosafv0cosavosina-g/ov0cosa找出相關(guān)變量的關(guān)系式對/求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式 !在人時(shí)刻炮彈的速度為、#；+#；=xv（；-2vo/osina + g 7；三、相關(guān)變化率x = x(Z), y = y(t)為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系相關(guān)變化率問題解法：北之間也有聯(lián)系禰為相關(guān)變化率(2)炮彈在人附刻沿 x*軸方向的分速度為=:叫sina-g求出未知的相關(guān)變化率例

9、& KlOm 的梯了斜靠在墻上，順墻卜滑。 L1 知 X 梯子的上端離地|fi|6m 時(shí)，梯子上端沿 墻面卜滑的速率為 2m/s,問此時(shí)梯 F 卜端滑 動的速率是多少？解；設(shè)時(shí)刻，梯子卜端離墻向 x,上端離地 Ihiy, 因梯子的長度為 10m 故：x2+ y2= 100 關(guān)于 f 求導(dǎo)，得到相關(guān)變化率： c dx r dy八clxy dvdt dtdtx dt當(dāng) y mb = 8,學(xué)“2,代入得半二dtdt即梯 f 下端以 1.5 加舶速率向右滑行例 8氣球從離開觀察員 500 m 處離地面鉛直上升, 其速率為 14()m/min ,當(dāng)氣球高度為 500 m 時(shí),觀察員 視線的仰角增

10、加率是多少？解：設(shè)氣球上升 f 分后其高度為爪仰角為 a,則tana =500 兩邊對 f 求導(dǎo)sec2a. =丄叢P c5(X)sec2cr = I + tan2adr 50() d/已知 “ =140m min , h = 5()()m 時(shí)，tana = 1,sec2a = 2, dt空=-140 =0.14 (rad/min)dt 2 500練習(xí):設(shè)于表的分針長10mm,時(shí)針長6mm,兩針尖之間的距離長為/，問，當(dāng)2點(diǎn)時(shí)，/關(guān)于時(shí)間的變化率是多少？練習(xí):y(x)=xx求導(dǎo)數(shù)解：兩邊収對數(shù)得In y = x - In x=x In x In xx x1 In x-f- x一xy = xe-xv(ln2x-F lnxd)x內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則 直接對方程兩邊求導(dǎo)yy= X)lnx + x2. 對數(shù)求導(dǎo)法：適用于彖指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)4