論文淺談行列式的幾種基本求法

1、淺談行列式的幾個基本求法于龍摘 要：在高等代數(shù)中求解行列式是一項非常重要的內(nèi)容，計算行列式并無固定的方法其實，同一個行列式可以有多種不同的方法進行計算，本文就介紹幾種基本方法針對所給行列式的結構特點算出其解。關鍵詞：高等代數(shù) 行列式 矩陣 基本方法 在高等代數(shù)中行列式是我們學習比較靠前的章節(jié)，行列式也是后面學習的重要基礎，行列式學習的好壞會影響后面我們學習的程度，由于同學們基礎比較薄弱，遂本文我們將介紹一些常用的方法。方法1 將行列式化成上（下）三角形法行列式的計算靈活多變，需要有較強的技巧。當然，任何一個n階行列式都可以由它的定義去計算其值。但由定義可知，n階行列式的展開式有n!項，計算量很

2、大，一般情況下不用此法，但如果行列式中有許多零元素，可考慮此法。值的注意的是：在應用定義法求非零元素乘積項時，不一定從第1行開始，哪行非零元素最少就從哪行開始。接下來要介紹計算行列式的兩種最基本方法化三角形法和按行（列）展開法。我們已經(jīng)知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形如，的行列式的結果如果利用行列式的性質(zhì)可把給定的行列式化為以上這些形式，則不難求出所給行列式的值為了敘述簡便，仍用記號表示互換行列式的第i行（列）與第j行（列）；用表示將行列式第j行（列）的k倍加到第i行（列）；用表示將第i行（列）乘以非零的數(shù)c例1 計算行列式解 這是一個階數(shù)不高的數(shù)值行列式，通常將它化為上（下）三角行

3、列式來計算方法 2 按行（列）展開法（降階法）設為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有或其中，為中的元素的代數(shù)余子式當一個行列式的某一行（列）的元素有比較多0時，若沒有0元素可將行列式化成含多0元素行列式，可利用行列式的依行（列）展開定理將它化為較低階的行列式來計算。 例2 計算20階行列式分析這個行列式中沒有一個零元素，若直接應用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進行20！*201次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應元素僅差1，因此，可按下述方法

4、計算：解：以上就是計算行列式最基本的兩種方法，接下來介紹的一些方法，不管是哪種，都要與行列式的性質(zhì)和基本方法結合起來。方法3 拆項法拆項法是將給定的行列式的某一行（列）的元素都寫成同樣多的和，然后利用性質(zhì)6將它表成一些比較容易計算的行列式的和由行列式的性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個數(shù)之和，則該行列式可拆成兩個行列式的和，這兩個行列式的某行（列）分別以這兩數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對應行（列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時較容易求得行列式的值。 例3 計算n（n2）階行列式解 將按第一列拆成兩個行列式的和，即再將上式等號右端的第一個行列式第i列（

5、，3，n）減去第一列的i倍；第二個行列式提出第一列的公因子，則可得到當n3時，當時，方法4 遞推法 應用行列式的性質(zhì)，把一個n階行列式表示為具有相同結構的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關系式，這種關系式稱為遞推關系式。根據(jù)遞推關系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。注意用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結構如果沒有的話，即很難找出遞推關系式，從而不能使用此方法。例4要證如下行列式等式：（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）分析此行列式的特點是：除主對角線及其上

6、下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式1。從行列式的左上方往右下方看，即知dn-1與dn具有相同的結構。因此可考慮利用遞推關系式計算。證明：dn按第1列展開，再將展開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有：這是由dn-1 和dn-2表示dn的遞推關系式。若由上面的遞推關系式從n階逐階往低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：或現(xiàn)可反復用低階代替高階，有：同樣有：因此當時由（1）（2）式可解得：，證畢。方法5 加邊法（升階法）有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進行計算，這種計算行列

7、式的方法稱為加邊法或升階法。當然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計算。要根據(jù)需要和原行列式的特點選取所加的行和列。加法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為n-1個元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是：特殊情況取 或 當然加法不是隨便加一行一列就可以了。那么加法在何時才能應用呢？關鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子。如下題：例5 計算n 階行列式：分析 我們先把主對角線的數(shù)都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2, xn相乘，第二行為x2與x1,x2, xn相乘，第n行為xn與 x1,x2, xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相

8、同的因子x1,x2, xn，從而就可考慮此法。解：注意 在家一定要記住，加邊法最在的特點就是要找出每行或每列相同的因子，那么升階之后，就可利用行列式的性質(zhì)把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達到了簡化計算的效果。方法6 數(shù)學歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。（數(shù)學歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說了）例6.證明：證：當時，有：結論顯然成立。現(xiàn)假定結論對小于等于時成立。即有：將按第1列展開，得： 故當對時，等式也成

9、立。得證。接下來介紹一些特殊的行列式計算方法，但卻很實用。方法7 析因法如果行列式d中有一些元素是變數(shù)x（或某個參變數(shù)）的多項式，那么可以將行列式d當作一個多項式f(x)，然后對行列式施行某些變換，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)與這些因式的乘積g(x)只相差一個常數(shù)因子c，根據(jù)多項式相等的定義，比較f(x)與g(x)的某一項的系數(shù)，求出c值，便可求得d=cg(x) 。那在什么情況下才能用呢？要看行列式中的兩行（其中含變數(shù)x），若x等于某一數(shù)a1時，使得兩行相同，根據(jù)行列式的性質(zhì)，可使得d=0。那么x a1便是一個一次因式，再找其他的互異數(shù)使得d=0，即得到與d階數(shù)相同的互素一次因式

10、，那么便可用此法。例7.蘭州大學2004招收攻讀碩士研究生考試工試題第四大題第（1）小題。需求如下行列式的值。分析 根據(jù)該行列式的特點，當時，有。但大家認真看一下，該行列式dn+1是一個n+1次多項式，而這時我們只找出了n個一次因式,那么能否用析因法呢？我們再仔細看一下，每行的元素的和數(shù)都是一樣的，為：，那么我們從第2列開始到第n+1列都加到第1列，現(xiàn)提出公因式，這樣行列式的次數(shù)就降了一次。從而再考慮析因法。解：令：顯然當：時，。又為n次多項式。又中的最高次項為，系數(shù)為1，c=1因此得：點評 該題顯然用析因法是最簡便，但大家不要一味地只找使它等于0的數(shù)，而該最多只能有n個數(shù)使它等于0，而行列式

11、又是n+1階是一個n+1次多項式，從而我們想到的就是得用行列式的性質(zhì)把行列式的次數(shù)降低一次，使得原n+1次多項式變?yōu)橐粋€一次多項式和一個n次多項式的乘積。進而便可求得其值。凡事要懂得變通，一道題不可能用一種方法就可以馬上解得。在析因法中，對于一個n次多項式，當你最多只能找出r個使其行列式為零時，就要把它化為一個nr次多項式與一個r次多項式的乘積。但一般找出的使其行列式為零的個數(shù)與行列式的次數(shù)差太多時，不用本法。以上7種方法對于一般的行列式習題基本上都能化解，這些方法對于初學行列式的同學會有所幫助，而且一個題目有時候要由多種解法并用，或一個題可由多種方法獨自解出，這就需看大家的靈活應用程度，能否找出一個最簡便的方法解出其值。 參考文獻：1、 李