7.2 一元非線性回歸與相關(guān)

1、 在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中, 當(dāng)當(dāng) x 的取值范圍較廣泛時的取值范圍較廣泛時, x與與y的關(guān)系并非都是直線的關(guān)系并非都是直線, 散點(diǎn)圖往往呈現(xiàn)非線散點(diǎn)圖往往呈現(xiàn)非線性關(guān)系性關(guān)系, 如施肥量如施肥量 x 和產(chǎn)量和產(chǎn)量 y, 光照強(qiáng)度光照強(qiáng)度 x 和光合和光合作用作用 y, 藥劑濃度藥劑濃度x 和害蟲死亡率和害蟲死亡率y 等等, 就呈現(xiàn)出就呈現(xiàn)出曲線關(guān)系。非線性的形式是多種多樣的曲線關(guān)系。非線性的形式是多種多樣的*, 本節(jié)本節(jié)只討論生物學(xué)常遇到的非線性回歸問題。只討論生物學(xué)常遇到的非線性回歸問題。* * 注注: : 一個恰當(dāng)?shù)姆蔷€性回歸模型一個恰當(dāng)?shù)姆蔷€性回歸模型, ,需經(jīng)過多次配合檢驗(yàn)需經(jīng)過多次

2、配合檢驗(yàn), ,并要借助并要借助 于一定的專業(yè)知識才能確定。于一定的專業(yè)知識才能確定。7.28對冪函數(shù)直化的主要手段是兩邊取常用對數(shù)。對冪函數(shù)直化的主要手段是兩邊取常用對數(shù)。(或或自然對數(shù)自然對數(shù)), 取常用對數(shù)如下：取常用對數(shù)如下：1. 冪函數(shù)直化冪函數(shù)直化7.2.1 可化為直線的非線性回歸可化為直線的非線性回歸圖圖7.5 冪函數(shù)冪函數(shù)-1-1by = a x0b1b1 b=1y由對數(shù)性質(zhì)得由對數(shù)性質(zhì)得0b blgaxlgaxlgylgyblgxblgxlgalgalgylgyb ba ax xy y 這種類型的回歸方程一般只確定兩個參數(shù)。這種類型的回歸方程一般只確定兩個參數(shù)。7.29冪函數(shù)式

3、為冪函數(shù)式為:(見圖見圖7.5)然后再轉(zhuǎn)換然后再轉(zhuǎn)換 a, 即：即：lg a = a回歸方程回歸方程 - -1l lg gx xx x, ,l lg ga aa a, ,l lg gy yy y令令:可得冪函數(shù)的直化回歸方程為可得冪函數(shù)的直化回歸方程為x xb ba ay yb baxaxy y 例例7.7 已測得云杉平均胸徑已測得云杉平均胸徑x(cm)與平均樹高與平均樹高 y(m)的資料的資料, ,試配合冪函數(shù)的回歸方程試配合冪函數(shù)的回歸方程 ;再試配合二次拋物線方程再試配合二次拋物線方程* 。b baxaxy y7.302 2c cx xb bx xa ay y* * 注注: : 一元二次

4、拋物線方程的配合過程見本章一元二次拋物線方程的配合過程見本章7.2.2所述。所述。所以可得曲線所以可得曲線 x y lg(x) lg(y) 1 15 13.9 1.176 1.143 2 20 17.1 1.301 1.233 3 25 20.0 1.398 1.301 4 30 22.1 1.477 1.344 5 35 24.0 1.544 1.380 6 40 25.6 1.602 1.408 7 45 27.0 1.653 1.431 8 50 28.3 1.699 1.452 9 55 29.4 1.740 1.46810 60 30.2 1.778 1.48011 65 31.4

5、1.813 1.497表表7.4 云杉平均胸徑與平均樹高數(shù)據(jù)云杉平均胸徑與平均樹高數(shù)據(jù)圖圖7.6 云杉胸徑樹高散點(diǎn)圖云杉胸徑樹高散點(diǎn)圖7.3115 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 3028 26 24 22 20 18 1614 .xy 對表對表7.4 x,y 畫出散點(diǎn)圖畫出散點(diǎn)圖初步判定為冪函數(shù)初步判定為冪函數(shù), 分分別對別對 x, y 取常用對數(shù)得取常用對數(shù)得表表7.4 第第4, 5列列 解：解：利用計算器統(tǒng)計功能按下面步驟計算利用計算器統(tǒng)計功能按下面步驟計算0 0. .5 54 45 59 90 0. .4 41 18 87 72 20 0. .2 22 28

6、 85 57 71 1. .5 56 62 21 11 12 27 7. .5 57 71 1. .3 37 75 51 1. .5 56 62 21 11 12 23 3. .8 87 71 1x xn nx xy yx xn n- -y yx xb b0 0. .5 52 23 32 21 1. .5 56 62 20 0. .5 54 45 59 95 51 1. .3 37 76 6x xb by ya a2 22 22 21 1. .5 56 62 2x x2 27 7. .2 25 57 7, ,x x1 17 7. .1 18 81 1, ,x x2 22 23 3. .8 87

7、 71 1y yx x1 1. .3 37 76 6, ,y y2 20 0. .9 95 55 5, ,y y1 15 5. .1 13 37 7, ,y y2 2得直化后的回歸方程得直化后的回歸方程: :x x0 0. .5 54 45 59 90 0. .5 52 23 32 2y y 7.32所以可得冪函數(shù)的回歸方程所以可得冪函數(shù)的回歸方程 對曲線相關(guān)的研究只研究其相關(guān)指數(shù)。曲線相對曲線相關(guān)的研究只研究其相關(guān)指數(shù)。曲線相關(guān)指數(shù)可定義為關(guān)指數(shù)可定義為3 3. .3 33 35 58 80 0. .5 52 23 32 2l lg ga al lg ga a1 11 1對對a進(jìn)行反對數(shù)轉(zhuǎn)換

8、得進(jìn)行反對數(shù)轉(zhuǎn)換得0 0. .5 54 45 59 9x x3 3. .3 33 35 58 8y yy yy yy yy yy yy yy yy y2 2L LQ Q1 1L LQ QL LL LU Ur r7.33 計算例計算例7.7相關(guān)相關(guān)指數(shù)（見表指數(shù)（見表7.5）15 13.9 14.63 - -0.73 0.5320 17.1 17.12 - -0.02 0.00 25 20.0 19.33 0.67 0.4530 22.1 21.36 0.74 0.5535 24.0 23.23 0.77 0.59 40 25.6 24.99 0.61 0.3745 27.0 26.65 0.3

9、5 0.1250 28.3 28.23 0.07 0.0055 29.4 29.73 - -0.33 0.1160 30.2 31.18 - -0.98 0.96 65 31.4 32.57 - -1.17 1.37 xi yi yi (yi - - yi) (yi - - yi) 2 440 269 Q =5.06表表7.5 剩余平方和剩余平方和Q Q的計算過程的計算過程 注注: : 對曲線回歸的檢驗(yàn)較復(fù)雜對曲線回歸的檢驗(yàn)較復(fù)雜, ,主要是主要是Q的值較難求。的值較難求。3 31 19 9. .3 36 67 7y yy yL L1 11 11 1i i2 2i iy yy y) )( (5

10、 5. .0 06 6y yy yQ Q1 11 11 1i i2 2i ii i) )( (0 0. .9 98 83 31 19 9. .3 36 67 75 5. .0 06 61 1r r2 27.34(1) 曲線關(guān)系檢驗(yàn)曲線關(guān)系檢驗(yàn)表表7.7 曲線回歸的方差分析表曲線回歸的方差分析表差異來源差異來源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 均方比均方比 F0.01 回回 歸歸 314.307 1 314.307 559.27* 10.6 剩剩 余余 5.06 9 0.562 總總 和和 319.367 10Lyy =319.367 , Q = 5.06 U = 319.367 - -

11、5.06=314.3077.35 對回歸關(guān)系的檢驗(yàn)對回歸關(guān)系的檢驗(yàn): : (2) 直化關(guān)系檢驗(yàn)直化關(guān)系檢驗(yàn)表表7.6 直化后的回歸方差分析表直化后的回歸方差分析表差異來源差異來源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 均方比均方比 F0.01 回回 歸歸 0.12478 1 0.12478 367 * 10.6 剩剩 余余 0.00308 9 0.00034 總總 和和 0.12786 10, ,0 0. .1 12 27 78 86 6L Ly yy y0 0. .2 27 74 46 64 40 0. .1 12 24 47 78 80 0. .1 12 27 78 86 6Q Q0 0.

12、 .1 12 24 47 78 80 0. .2 22 28 85 57 70 0. .5 54 45 59 9b bL LU Uy yx x7.36注：注：兩種檢驗(yàn)效果是一樣的，如果曲線回歸不能直化那么就只能用兩種檢驗(yàn)效果是一樣的，如果曲線回歸不能直化那么就只能用 曲線方法檢驗(yàn)了。曲線方法檢驗(yàn)了。2. 指數(shù)函數(shù)直化指數(shù)函數(shù)直化指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) , 兩邊取兩邊取自然對數(shù)自然對數(shù)可得可得(注意注意: 這里這里 x 變量并未轉(zhuǎn)換）變量并未轉(zhuǎn)換）令令:b0圖圖7.7 指數(shù)函數(shù)圖示指數(shù)函數(shù)圖示x y2 22 2x xn nx xy yx xn n- -y yx xb bx xb by ya ab bx

13、 xl ln na al ln ny yb bx xa ae ey yb bx x1 1a ae ey y, ,a al ln na ab bx xa ay yl ln na a, ,a al ln ny y, ,y y則直化方程為則直化方程為:7.37 例例7.8 在栽培試驗(yàn)中在栽培試驗(yàn)中, 測得某夏季綠肥播種測得某夏季綠肥播種15天后天后,每每5天天 x為一期的生長量為一期的生長量y(kg), 所得數(shù)據(jù)所得數(shù)據(jù)如下如下, 試對該資料進(jìn)行回歸與相關(guān)分析。根據(jù)試對該資料進(jìn)行回歸與相關(guān)分析。根據(jù)散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖7.8選擇指數(shù)函數(shù)選擇指數(shù)函數(shù)模型模型 y = ae 來研究。來研究。bx圖圖7.8 綠肥

14、綠肥5 5天一期生長量曲線天一期生長量曲線兩邊取自然對數(shù)兩邊取自然對數(shù):b bx xl ln na al ln ny y直化方程直化方程:b bx xa ay y153045500100200400300.7.38表表7.8 綠肥綠肥5 5天一期生長量數(shù)據(jù)天一期生長量數(shù)據(jù) x y y= lny x y1 15 58 4.060 60.902 20 67 4.205 84.103 25 79 4.369 109.23 4 30 140 4.941 148.235 35 200 5.298 185.436 40 320 5.768 230.727 45 480 6.173 277.78 210 1

15、344 34.814 1096.367.393 30 0 x x7 70 00 00 0, ,x x2 21 10 0, ,x x2 24 4. .9 97 73 38 8y y1 17 77 7. .1 11 1, ,y y3 34 4. .8 81 14 4, ,y y2 20 0. .0 07 74 41 13 30 07 7- -7 70 00 00 04 4. .9 97 73 38 83 30 07 71 1. .9 96 6. .3 39 9x xn nx xy yx xn ny yx xb b2 2. .7 75 50 08 83 30 00 0. .0 07 74 41 14

16、 4. .9 97 73 38 8x xb by ya a2 22 22 2- -回歸方程的配合回歸方程的配合:直化后的回歸方程直化后的回歸方程:0 0. .0 07 74 41 1x x2 2. .7 75 50 08 8y y 1 10 09 96 6. .3 39 9y yx x7.40取反對數(shù)得取反對數(shù)得:轉(zhuǎn)曲線回歸方程：轉(zhuǎn)曲線回歸方程：表表7.9 剩余平方和剩余平方和Q的計算過程的計算過程 xi yi yi (yi - - yi) (yi- - yi ) 15 58 47.43 10.57 111.72 20 67 68.77 - -1.77 3.13 25 79 99.81 - -

17、20.81 433.06 30 140 144.58 - -4.58 20.98 35 200 209.41 - -9.41 88.55 40 320 303.32 16.68 278.22 45 480 439.35 40.65 1652.42210 1344 2588.08相關(guān)指數(shù)計算：相關(guān)指數(shù)計算：21 15 5. .6 65 55 52 22 2. .7 75 50 08 8l ln n1 10 0. .0 07 74 41 1x x1 15 5. .6 65 55 52 2e ey y148446148446L Lyyyy2 25 58 88 8. .0 08 8Q Q0 0. .9

18、 98 81 14 48 84 44 46 62 25 58 88 8. .0 08 81 1r r2 27.413. 雙曲線函數(shù)直化雙曲線函數(shù)直化a 0，b0(c)(b)x xbxbxa ay yyyxxx x1 1a ab by ybxa 0，b0b00b(a).y令令: x x1 1x x可直化為下式可直化為下式x xa ab by y7.42相關(guān)指數(shù)的意義和直線回歸決定系的意義是一相關(guān)指數(shù)的意義和直線回歸決定系的意義是一樣的。這里不能用原始數(shù)據(jù)求直線相關(guān)系數(shù)樣的。這里不能用原始數(shù)據(jù)求直線相關(guān)系數(shù)r, r 只能用于直線只能用于直線, 不能用于曲線。不能用于曲線。可得：可得：回歸方城配合回

19、歸方城配合:2 22 2x xn nx xy yx xn n- -y yx xa ax xa ay yb bx xa ab by y對相關(guān)指數(shù)的說明對相關(guān)指數(shù)的說明:7.43 例例7.9 研究研究“岱字岱字”棉自播至齊苗（以棉自播至齊苗（以80%出出苗為準(zhǔn)）的天數(shù)（苗為準(zhǔn)）的天數(shù)（x）與日平均土溫）與日平均土溫(y)的關(guān)系的關(guān)系, 得得下表下表7.10, 試作回歸分析。試作回歸分析。表表7.10 “岱字岱字”棉至齊苗棉至齊苗 天數(shù)與土溫的關(guān)系天數(shù)與土溫的關(guān)系xy3330272421183.0034.005.008.0015.0yx4 8 12 16 40 30 20 10 0.圖圖7.10 “

20、岱字棉岱字棉”至齊苗至齊苗 天數(shù)土溫的關(guān)系圖天數(shù)土溫的關(guān)系圖7.44323 34 4. .5 55 53 37 7y yx x0 0. .2 20 07 73 3, ,x x0 0. .3 30 08 80 0 x x1 1. .2 24 43 36 6, ,x x2 22 25 5. .5 5y y4 40 05 59 9, ,y y1 15 53 3, ,y y2 2表表7.11 “岱字岱字”棉至齊苗天數(shù)與棉至齊苗天數(shù)與 土溫的關(guān)系數(shù)據(jù)變換土溫的關(guān)系數(shù)據(jù)變換xyx= 1/x3330272421183.0034.005.008.0015.00.33330.27270.25000.20000.

21、12500.066610.99898.18106.75004.80002.62501.1988xy所選模型：所選模型：x xbxbxa ay y23x xa ab by y 直化式如下直化式如下7.45xy22 0.1111 0.0744 0.0625 0.0400 0.0156 0.0044 1089 900 725 576 441 324153 1.2436 34.5537 0.308 4059直化回歸方程：直化回歸方程：曲線回歸方程：曲線回歸方程：相關(guān)指數(shù)：相關(guān)指數(shù)：1 13 3. .7 77 77 70 0. .2 20 07 73 35 56 6. .5 55 52 25 5. .5

22、 5x xa ay yb b56.5556.550.20730.20736 60.3080.30825.525.50.20730.20736 634.553734.5537x xn nx xy yx xn ny yx xa a2 22 22 2- - - -x x5 56 6. .5 55 51 13 3. .7 77 77 7y y x x13.777x13.777x56.5556.55y y7.460 0. .9 98 81 11 15 57 73 3. .0 05 51 1L LQ Q1 1r ry yy y2 2注注: : 本例還可用本例還可用 y=a+bx 轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換, 其中其中 y=

23、 xy , 其結(jié)果相同。其結(jié)果相同。 在農(nóng)業(yè)試驗(yàn)中經(jīng)常遇到一些曲線回歸配合問在農(nóng)業(yè)試驗(yàn)中經(jīng)常遇到一些曲線回歸配合問題題, 現(xiàn)列出幾種常用的可直化的函數(shù)模型現(xiàn)列出幾種常用的可直化的函數(shù)模型*b bx xa a1 1y ybxbxaxeaxey y2 2bxbxaeaey yb bx xa ae ey yb bx xa ax xy y如如: :密度與有效穗密度與有效穗數(shù)間的關(guān)系。數(shù)間的關(guān)系。如如: :毛細(xì)管水的上升毛細(xì)管水的上升高度與時間的關(guān)系。高度與時間的關(guān)系。如如: :葉綠素與透葉綠素與透光度間的關(guān)系。光度間的關(guān)系。如如: :棉纖維長分布棉纖維長分布與次數(shù)間關(guān)系。與次數(shù)間關(guān)系。如如: :大豆密

24、度與青莢大豆密度與青莢產(chǎn)量間關(guān)系。產(chǎn)量間關(guān)系。* * 注：注：農(nóng)業(yè)試驗(yàn)統(tǒng)計農(nóng)業(yè)試驗(yàn)統(tǒng)計莫惠棟莫惠棟 編著編著 上?？萍汲霭嫔缟虾？萍汲霭嫔?1984b baxaxy y如如: :洋蔥鱗莖的直徑洋蔥鱗莖的直徑與重量間的關(guān)系。與重量間的關(guān)系。7.474. S 形曲線直化形曲線直化 在生物界中在生物界中, 反應(yīng)生物的累積發(fā)生量反應(yīng)生物的累積發(fā)生量(率率)y與與時間、濃度、藥品用量時間、濃度、藥品用量 x 等關(guān)系時等關(guān)系時, 可以用可以用 S 形形曲線來刻畫。如曲線來刻畫。如: 動植物的累積發(fā)病率、累積死動植物的累積發(fā)病率、累積死亡率、累積發(fā)生進(jìn)度、繁殖過程與時間、濃度亡率、累積發(fā)生進(jìn)度、繁殖過程與時

25、間、濃度與藥品用量的關(guān)系等。與藥品用量的關(guān)系等。圖圖7.11 對稱的對稱的S S形曲線形曲線圖圖7.12 不對稱的不對稱的S S形曲線形曲線時間時間 濃度濃度 用量用量累累積積率率yx時間時間 濃度濃度 用量用量x累累積積率率y7.48 (1) 對稱的對稱的S 形曲線形曲線: 一些作物的日生長量或一些作物的日生長量或發(fā)生量等往往為正態(tài)或近似正態(tài)分布發(fā)生量等往往為正態(tài)或近似正態(tài)分布(下圖左下圖左), 其累積量其累積量(率率) y%與時間與時間 x 則呈對稱的則呈對稱的S 形曲線形曲線(下圖右下圖右)。xy日日發(fā)發(fā)生生量量日日生生長長量量日期日期圖圖7.13 正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線圖圖7.14

26、對稱對稱 s 形曲線形曲線xy%日期日期累累積積率率累累積積量量7.49 可將資料中的累積率可將資料中的累積率y%視為正態(tài)分布的分視為正態(tài)分布的分布函數(shù)布函數(shù)(u)=PUu, 若將若將y% 轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布的u值值, 則則u與時間與時間 x 就成為直線關(guān)系了就成為直線關(guān)系了, 但是但是u變量變量的取值有時為正或?yàn)樨?fù)計算起來很不方便的取值有時為正或?yàn)樨?fù)計算起來很不方便, 可采可采用用 P = u+ +5 來解決。則來解決。則 P =a+ +bx 。P 稱概率單位稱概率單位值值(不要和概率符號不要和概率符號P 相混淆相混淆), 在一些統(tǒng)計書中在一些統(tǒng)計書中可查到百分率與概率單位換算表

27、可查到百分率與概率單位換算表。7.50對稱的對稱的S 形曲線直化過程：形曲線直化過程： 例例7.10 研究某地越冬代棉花紅鈴蟲的化蛹研究某地越冬代棉花紅鈴蟲的化蛹進(jìn)度進(jìn)度 y%與時間與時間 x 的關(guān)系的關(guān)系, 試進(jìn)行回歸分析。試進(jìn)行回歸分析。 解解: 首先將觀察日期首先將觀察日期轉(zhuǎn)換為以轉(zhuǎn)換為以5月月31日為日為0的數(shù)的數(shù)值值(x), 化蛹進(jìn)度化蛹進(jìn)度 y%與與 x 成成 S 形曲線形曲線, 再將再將 y%查查表轉(zhuǎn)換為概率單位值表轉(zhuǎn)換為概率單位值P, 而而P與與x即為直線了。即為直線了。 7.517.522 27 7. .5 5x x9 96 62 25 5, ,x x2 27 75 5, ,

28、x x2 22 27 74 4. .8 84 4P P5 50 0. .8 89 99 98 8, ,P P2 21 15 57 74 4. .7 74 42 2x xP P5 5. .0 08 89 99 98 8, ,P P0 0. .0 08 84 48 82 20 06 62 2. .5 51 17 74 4. .8 88 87 75 50 0. .0 08 84 48 8x x2 2. .7 75 56 6P P2 2. .7 75 56 62 27 7. .5 50 0. .0 08 84 48 87 72 25 5. .0 08 89 99 98 8x xb bP Pa a2 2

29、2 22 22 27 7. .5 51 10 09 96 62 25 55 5. .0 08 89 99 98 82 27 7. .5 51 10 01 15 57 74 4. .7 74 42 2x xn nx xP Px xn nP Px xb b- - - -7.53例如例如: 測報測報 7月月2日時即日時即 x=32, 代入回歸方程代入回歸方程得得P =5.4719 , 查表得查表得P對應(yīng)的累積率為對應(yīng)的累積率為68.15%P概概率率單單位位值值P=2.756 + 0.0848x 1020304050 x. .73456日期日期圖圖7.16 概率單位與日期直線關(guān)系圖概率單位與日期直線關(guān)

30、系圖可計算直線回歸的相關(guān)系數(shù)可計算直線回歸的相關(guān)系數(shù)P PP Px xx xx xP PL LL LL Lr r1 14 4. .9 96 65 52 20 06 62 2. .5 51 17 74 4. .9 99 97 75 50 0. .9 99 96 67.54 (2) 不對稱的不對稱的 S 形曲線形曲線: 生物生長量或發(fā)生生物生長量或發(fā)生量量 y 與時間與時間 x 的曲線并不都是正態(tài)的曲線并不都是正態(tài)(圖圖7.17), 其累積率也呈現(xiàn)出不對稱的其累積率也呈現(xiàn)出不對稱的 S 形曲線形曲線(圖圖7.18), xyxy%發(fā)發(fā)生生量量日期日期日期日期生生長長量量圖圖7.18 不對稱不對稱S

31、S形曲線形曲線圖圖7.17 偏態(tài)曲線偏態(tài)曲線累積率累積率7.55 例例7.11 用氯氰菊酯對菜粉蝶五齡幼蟲進(jìn)行觸用氯氰菊酯對菜粉蝶五齡幼蟲進(jìn)行觸殺毒力測定殺毒力測定(LD50), 累積死亡率累積死亡率y%與單位體重藥與單位體重藥量量 x ( / /L)之間的圖形呈不對稱的之間的圖形呈不對稱的 S 形曲線形曲線(見下見下圖圖7.19), 試對其直化后進(jìn)行回歸分析。試對其直化后進(jìn)行回歸分析。g如果將累積率如果將累積率 y% 轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成 P, 則則P 和時間和時間 x 的關(guān)的關(guān)系仍然是曲線系仍然是曲線, 達(dá)不到直化的目的達(dá)不到直化的目的, 前面的方法前面的方法不能直接搬用不能直接搬用, 但是只要將

32、但是只要將 x 取對數(shù)轉(zhuǎn)換取對數(shù)轉(zhuǎn)換 (lg x), 則則P與與 lgx 就為直線了就為直線了, P = a + + blgx 。7.56 解解: 將累積更正死亡率查百分率與概率單位將累積更正死亡率查百分率與概率單位值轉(zhuǎn)換表得概率單位值值轉(zhuǎn)換表得概率單位值P, 再將單位體重藥量再將單位體重藥量 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為換為lgx 建立直化回歸方程建立直化回歸方程 0.007999 19.8 0.01559 32.2 0.0376 57.8 0.0684 81.7 0.131 92.3 x(g/ /L) 死亡率死亡率y% 表表7.13 菜粉蝶五齡幼蟲毒殺力測定菜粉蝶五齡幼蟲毒殺力測定12345圖圖7.19 氯氰

33、菊酯觸殺菜氯氰菊酯觸殺菜 粉蝶毒力測定圖粉蝶毒力測定圖單位體重藥量單位體重藥量y%累累積積死死亡亡率率.10000.040.120.08806040200.16x7.57l lg gx xa aP P 0.007999 - -2.097 19.8 4.1512 0.01559 - -1.807 32.2 4.5379 0.0376 - -1.425 57.8 5.1968 0.0684 - -1.165 81.7 5.9040 0.131 - -0.883 92.3 6.4255 - -7.377 26.2154 平均平均 - -1.4754 5.2431 x( / /L) x= = lgx

34、g表表7.14 菜粉蝶五齡幼蟲毒殺力測定數(shù)據(jù)菜粉蝶五齡幼蟲毒殺力測定數(shù)據(jù)123457.581 1. .4 47 75 54 4x x1 11 1. .8 83 30 02 2, ,x x7 7. .3 37 77 7, ,x x2 25 5. .2 24 43 31 1P P1 14 40 0. .9 97 76 6, ,P P2 26 6. .2 21 15 54 4, ,P P2 23 36 6. .8 86 62 24 4P Px x0 0. .9 94 46 62 21 1. .4 47 75 54 45 51 11 1. .8 83 30 02 2x xn nx xL L2 22 2

35、2 2x xx x) )( (3 3. .5 52 25 55 55 5. .2 24 43 31 15 51 14 40 0. .9 97 76 60 0P Pn nP PL L2 22 22 2P PP P) )( (5 5. .2 24 43 31 11 1. .4 47 75 54 45 53 36 6. .8 86 62 24 4P Px xn nP Px xL LP Px x) )( (- -1 1. .8 81 15 59 95 57.59即即: lgx概率單位值概率單位值 P- -0.8- -1.6- -2.0- -2.4.76543- -1.4圖圖7.20 直線回歸方程直線回

36、歸方程 8 8. .0 07 74 46 61 1. .4 47 75 54 41 1. .9 91 19 91 15 5. .2 24 43 31 1x xb bP Pa a) )( (0 0. .9 94 46 62 21 1. .8 81 15 59 95 5L LL Lb bx xx xP Px x 直線回歸方程直線回歸方程x x1.91911.91918.07468.0746P P1 1. .9 91 19 91 1l lg gx x8 8. .0 07 74 46 6P P1 1. .9 91 19 91 1l lg gx x8 8. .0 07 74 46 6P P7.601 0

37、.007999 - -2.097 19.8 4.1512 4.050 17.1 7.292 0.01559 - -1.807 32.2 4.5379 4.607 34.7 6.253 0.0376 - -1.425 57.8 5.1968 5.339 63.3 30.34 0.0684 - -1.165 81.7 5.9040 5.839 80.9 0.645 0.131 - -0.883 92.3 6.4255 6.379 91.6 0.49 - -7.377 26.215 44.92 平平 均均 - -1.475 5.2431 x( / /L) x=lgx y% Pg表表7.15 菜粉蝶五

38、齡幼蟲毒殺力測定預(yù)測及相關(guān)指數(shù)計算表菜粉蝶五齡幼蟲毒殺力測定預(yù)測及相關(guān)指數(shù)計算表Py%(yi yi)2ii7.61預(yù)測預(yù)測 x = 0.04( / /L)時時, 菜粉蝶五齡幼蟲死亡率菜粉蝶五齡幼蟲死亡率?概率單位值概率單位值 P = 8.0746 + + 1.9191lg 0.04 = 5.392, 將概率單位值轉(zhuǎn)換為百分率將概率單位值轉(zhuǎn)換為百分率: 5.392 轉(zhuǎn)換為百分率轉(zhuǎn)換為百分率65.25% , (查附表查附表) 相關(guān)指數(shù)：相關(guān)指數(shù)：r = 0.987.62 5. Logistic 生長曲線生長曲線( (S 形曲線形曲線) ) 動植物的生長或繁殖動植物的生長或繁殖, 假定在無限空間、無

39、假定在無限空間、無限營養(yǎng)來源等無約束條件下進(jìn)行限營養(yǎng)來源等無約束條件下進(jìn)行, 則其生長或繁則其生長或繁殖量與時間的關(guān)系開始時為指數(shù)函數(shù)殖量與時間的關(guān)系開始時為指數(shù)函數(shù): 這種關(guān)系通常只能在一開始的一段時間內(nèi)成立這種關(guān)系通常只能在一開始的一段時間內(nèi)成立, 但實(shí)際上由于環(huán)境條件的惡化、營養(yǎng)的不足、衰但實(shí)際上由于環(huán)境條件的惡化、營養(yǎng)的不足、衰老的加快、繁殖的減慢、死亡的增多等約束條件老的加快、繁殖的減慢、死亡的增多等約束條件伴隨而來伴隨而來, 不能保持穩(wěn)定不能保持穩(wěn)定, 它們將改變這這種關(guān)它們將改變這這種關(guān)系而呈現(xiàn)出系而呈現(xiàn)出 Logistic 曲線形式。曲線形式。7.63x xe ey y 稱上式

40、為自然生長方程。其中稱上式為自然生長方程。其中: y是生長量是生長量, 繁繁殖量殖量(或累積率或累積率), K 是時間無限時是時間無限時 y 的極限量的極限量(率率), x 為演變時間。該曲線與前兩種為演變時間。該曲線與前兩種 s 形曲線有所不同形曲線有所不同, 它沒有正態(tài)分布或近似正態(tài)分布假定它沒有正態(tài)分布或近似正態(tài)分布假定, 所以具有更所以具有更廣泛的適應(yīng)性。廣泛的適應(yīng)性。(1) Logistic 函數(shù)表達(dá)式函數(shù)表達(dá)式或或b bx xa ae e1 1K Ky ybxbxa ae e1 1K Ky y7.64 (2) Logistic 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)1. 當(dāng)當(dāng)x = 0 時可算得起始

41、量時可算得起始量2. 當(dāng)當(dāng) x =- - ln(1/ /a)/ /b, y = K/ /2 時為拐點(diǎn)時為拐點(diǎn), 即即變化率從逐增過度到逐減的分界點(diǎn)。變化率從逐增過度到逐減的分界點(diǎn)。3. 當(dāng)當(dāng) x 在在0 , - - ln(1/ /a)/ /b 區(qū)區(qū)間時變化率逐增間時變化率逐增; 在在 - -ln(1/ /a)/ /b , 變化率變化率逐減。見圖逐減。見圖7.22xy 時間時間累累積積量量累累積積率率 % %Kk2x = - - ln(1/ /a)/ /b0圖圖7.22 Logistic曲線曲線.7.65a a1 1K Ka ae e1 1K Ky yb bx x拐點(diǎn)拐點(diǎn)未知參數(shù)的確定：未知參數(shù)

42、的確定：如果如果 y 是累積率則極限值是累積率則極限值 則則K=100。如果如果 y 是生長量或繁殖量是生長量或繁殖量, 其極限其極限 值值 K 可由按下式近似求得可由按下式近似求得在實(shí)際應(yīng)用時在實(shí)際應(yīng)用時 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), 是數(shù)據(jù)中是數(shù)據(jù)中的三對觀察值的三對觀察值, x1, x2, x3 是等間距的量是等間距的量, 間距不間距不應(yīng)太小應(yīng)太小, 間距小了算出的間距小了算出的K值誤差較大。值誤差較大。3 31 12 22 23 32 21 13 31 12 22 2y yy yy yy yy y2 2y yy yy yy yK K) )( (7.66 (

43、3) Logistic 生長曲線直化過程生長曲線直化過程將函數(shù)將函數(shù) 變形得變形得等式兩邊同除以等式兩邊同除以 y 并取自然對數(shù)得并取自然對數(shù)得b bx xb bx xy ya ae ey yK Ka ae e1 1y yK K) )( (b bx xl ln na ay yy yK Kl ln na ae ey yy yK Kb bx x) )( (,令：令：l ln na aa a, ,y yy yK Kl ln ny y) )( (則有則有: 再求解直線回歸系數(shù)再求解直線回歸系數(shù)：a,- - b b bx xa ay y7.67b bx xa ae e1 1K Ky y 再對再對 a取反

44、自然對數(shù)得曲線回歸系數(shù)取反自然對數(shù)得曲線回歸系數(shù) a , 可得方程式可得方程式 。 注意注意: 如果對如果對式直化則有式直化則有 (對回對回歸系數(shù)歸系數(shù)a 不再取反對數(shù)不再取反對數(shù))。即。即: , 式的式的 a 是不是不同的同的, ,這里必須指出用同一資料所配合的這里必須指出用同一資料所配合的 曲線曲線方程方程 和和 是等價的。是等價的。b bx xa ay y注注: : Logistic 曲線方程是由比利時數(shù)學(xué)家曲線方程是由比利時數(shù)學(xué)家P.F.Verhulst t于于1838 年導(dǎo)出年導(dǎo)出, ,但長期湮沒但長期湮沒, ,至至20世紀(jì)世紀(jì)20年代才又被統(tǒng)計學(xué)家年代才又被統(tǒng)計學(xué)家R.Pearl

45、和和L.J.Reed重新發(fā)現(xiàn)。該方程在動植物的飼養(yǎng)、栽培、資源、重新發(fā)現(xiàn)。該方程在動植物的飼養(yǎng)、栽培、資源、 生態(tài)、環(huán)境保護(hù)等方面的模擬研究中已有較廣泛的應(yīng)用。生態(tài)、環(huán)境保護(hù)等方面的模擬研究中已有較廣泛的應(yīng)用。7.68 例例7.13 試以生長曲線描述例試以生長曲線描述例7.10越冬代棉紅越冬代棉紅鈴蟲化蛹進(jìn)度和時間的關(guān)系。利用鈴蟲化蛹進(jìn)度和時間的關(guān)系。利用 Logistic 函數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)的數(shù)學(xué)性質(zhì), 求出拐點(diǎn)并解釋其實(shí)際意義。求出拐點(diǎn)并解釋其實(shí)際意義。 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?y 變量是化蛹進(jìn)度為百分?jǐn)?shù)變量是化蛹進(jìn)度為百分?jǐn)?shù)(%), 所所以當(dāng)發(fā)生時間以當(dāng)發(fā)生時間 x 無限時無限時y 的極限值的

46、極限值 K = =100 分析計算過程：分析計算過程：3 36 69 9. .9 94 47 75 5y yx x2 27 7. .5 5, ,x x9 96 62 25 5, ,x x2 27 75 5, ,x x2 20 0. .1 17 72 23 3y y5 50 0. .9 91 10 02 2, ,y y1 1. .7 72 22 29 9, ,y y2 2- - -7.69表表7.17 棉紅鈴蟲化蛹進(jìn)度和時間表棉紅鈴蟲化蛹進(jìn)度和時間表x(天天) y% 100 - -yy ln( )100 - -yy 5 3.5 27.571 3.316810 6.4 14.625 2.68271

47、5 14.6 5.8493 1.766320 31.4 2.1847 0.781525 45.6 1.1930 0.176530 60.4 0.6556 - -0.422235 75.2 0.3298 - -1.109340 90.2 0.1068 - -2.219645 95.4 0.0482 - -3.032050 97.5 0.0256 - -3.6636iiii7.70反對數(shù)求反對數(shù)求 a 可得可得:4 4. .1 12 28 85 56 63 32 27 7. .5 50 0. .1 15 56 63 39 95 50 0. .1 17 72 23 3a a) )( (0 0. .1

48、 15 56 63 39 95 52 27 7. .5 51 10 09 96 62 25 50 0. .1 17 72 23 32 27 7. .5 51 10 03 36 69 9. .9 94 47 75 5b b2 2) )( (- -0 0. .1 15 56 63 39 95 5x x6 62 2. .0 08 88 86 64 4e e1 11 10 00 0y y6 62 2. .0 08 88 86 64 4l ln n4 4. .1 12 28 85 56 63 3a a得曲線回歸方程得曲線回歸方程:或或7.710 0. .1 15 56 63 39 95 5x x4 4.

49、 .1 12 28 85 56 63 3e e1 11 10 00 0y y當(dāng)當(dāng) x = 0 時化蛹進(jìn)度時化蛹進(jìn)度 y% = =1.58%, 當(dāng)當(dāng) x = =- -ln(1/ /62.08864)/ /0.156395 = 26.4為拐點(diǎn)為拐點(diǎn), 見圖見圖7.23。說明在說明在6月月27日時化蛹日時化蛹進(jìn)度達(dá)進(jìn)度達(dá) y% = 50%, 6月月27日前化蛹進(jìn)度是日前化蛹進(jìn)度是逐增的逐增的, 6月月27日以后日以后化蛹進(jìn)度就逐漸減慢?；歼M(jìn)度就逐漸減慢。 圖圖7.23 棉紅鈴蟲化蛹進(jìn)度棉紅鈴蟲化蛹進(jìn)度xy%化化蛹蛹進(jìn)進(jìn)度度日期日期10 20 3040 5025507510050%100%6月月27

50、日日. . 07.72 測定某種肉用雞在良好飼養(yǎng)條件下測定某種肉用雞在良好飼養(yǎng)條件下的生長過程的生長過程, 每兩周測定一次每兩周測定一次, 得數(shù)據(jù)如下得數(shù)據(jù)如下, 試試以以 Logistic方程描述之。方程描述之。(x 周次周次, y 重量重量kg)先求先求極限生長量極限生長量K值：由資料可選等間距值：由資料可選等間距 x 對應(yīng)的對應(yīng)的 y 值為值為 2 2. .8 8y y2 2. .2 2, ,y y0 0. .3 3, ,y y3 32 21 12 2. .8 82 27 72 2. .8 80 0. .3 32 2. .2 22 2. .8 82 2. .2 20 0. .3 32 2

51、2 2. .8 80 0. .3 32 2. .2 2K K2 22 2) )( (7.73解：解：由下式可求得由下式可求得K值值表表7.18 肉用雞周次體重肉用雞周次體重( (ykgkg) )數(shù)據(jù)表數(shù)據(jù)表2.827- -yy ln( )2.827- -yy 1 2 0.30 8.4233 2.1310 4.2620 2 4 0.86 2.2872 0.8273 3.3092 3 6 1.73 0.6341 - -0.4556 - -2.7336 4 8 2.20 0.2850 - -1.2553 - -10.0424 5 10 2.47 0.1445 - -1.9345 - -19.345

52、6 12 2.67 0.0588 - -2.8336 - -34.0032 7 14 2.80 0.0096 - -4.6460 - -65.0224 56 - -8.1667 - -123.597平均平均 8 - -1.1667 周次周次x 重量重量 yiiiiiy yx x7.74配合回歸方程：配合回歸方程：8 8x x5 56 60 0, ,x x5 56 6, ,x x2 21 1. .1 16 66 67 7y y4 40 0. .3 36 65 58 8, ,y y8 8. .1 16 66 67 7, ,y y2 2- - -0 0. .5 52 20 02 28 87 75 5

53、6 60 01 1. .1 16 66 67 78 87 71 12 23 3. .5 59 97 7x xn nx xy yx xn ny yx xb b2 22 22 2- - -) )( (- - - -1 12 23 3. .5 59 97 7y yx x2 2. .9 99 94 49 98 80 0. .5 52 20 02 21 1. .1 16 66 67 7x xb by ya a) )( (- -7.75 當(dāng)當(dāng): 周周 (為拐點(diǎn)為拐點(diǎn) ) 是生長過程的速率由快轉(zhuǎn)慢的界點(diǎn)是生長過程的速率由快轉(zhuǎn)慢的界點(diǎn), 當(dāng)當(dāng) x5.761 19 9. .9 98 82 2. .9 99 94

54、 49 9l ln na a1 10 0. .5 52 20 02 2x x2 2. .9 99 94 49 90 0. .5 52 20 02 2x xe e1 12 2. .8 82 27 7y y, ,1 19 9. .9 98 8e e1 12 2. .8 82 27 7y y或或5 5. .7 76 60 0. .5 52 20 02 21 1/ /1 19 9. .9 98 8l ln nx x) )( (周時速率逐增周時速率逐增, x5.76時速率逐減。時速率逐減。x拐點(diǎn)時拐點(diǎn)時, 可用指數(shù)函數(shù)描述可用指數(shù)函數(shù)描述, x拐點(diǎn)時拐點(diǎn)時, 則需用則需用 Logistic 方程才能描述

55、全過程。方程才能描述全過程。7.76一元二次拋物線回歸一元二次拋物線回歸(一元二次多項(xiàng)式回歸一元二次多項(xiàng)式回歸) 樣本回歸方程樣本回歸方程:1. 一元二次拋物線回歸的配合一元二次拋物線回歸的配合數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：上式不能直接用取對數(shù)的方進(jìn)行直化上式不能直接用取對數(shù)的方進(jìn)行直化, ,只能用解只能用解方程的方程的方法求解回歸系數(shù)方法求解回歸系數(shù) a, b, c 。i i2 2i i2 2i i1 10 0i ix xx xy y2 2c cx xb bx xa ay y7.77圖圖7.24 拋物線回歸方程與圖形拋物線回歸方程與圖形y =a+bx+cx2yx 在研究動植物發(fā)育速度與溫度間的關(guān)系、肥

56、在研究動植物發(fā)育速度與溫度間的關(guān)系、肥料或飼料與產(chǎn)量或重量的關(guān)系有時可用拋物線回料或飼料與產(chǎn)量或重量的關(guān)系有時可用拋物線回歸來描述。如：苜蓿盲蝽卵不同溫度與卵的發(fā)育歸來描述。如：苜蓿盲蝽卵不同溫度與卵的發(fā)育速度間的關(guān)系就為拋物線。速度間的關(guān)系就為拋物線。2. 二次拋物線方程系數(shù)的最小二乘估計：二次拋物線方程系數(shù)的最小二乘估計： 令令: 求函數(shù)求函數(shù) (因?yàn)橐驗(yàn)镼是二次函數(shù)是二次函數(shù), 所以一定有極值且有所以一定有極值且有極小極小2 2i ii iy yy yQ Q) )( (m mi in nQ Q7.78值值), 對函數(shù)對函數(shù)Q(a,b,c)分別求一階偏導(dǎo)分別求一階偏導(dǎo), 令其為令其為0：0

57、 0c cx xb bx xa ay yc cb b, ,a a, ,Q Q2 22 2i ii ii i ) )( ( ) )( (即即:0 0 x xc cx xb bx xa ay y2 2d d( (c c) )d d( (Q Q) )0 0 x xc cx xb bx xa ay y2 2d d( (b b) )d d( (Q Q) )0 01 1) )c cx xb bx xa ay y2 2d d( (a a) )d d( (Q Q) )2 2i i2 2i ii ii ii i2 2i ii ii i2 2i ii ii i) ) )( ( () ) )( ( () )( (

58、(7.79三元一次正規(guī)方程組三元一次正規(guī)方程組y yx xc cx xb bn na a2 2x xy yx xc cx xb bx xa a3 32 2y yx xx xc cx xb bx xa a2 24 43 32 2對上面正規(guī)方程組求解對上面正規(guī)方程組求解 a, b, c (行列式解法行列式解法)將方程兩邊各同除以將方程兩邊各同除以2, 進(jìn)行整理之進(jìn)行整理之, 可得下面可得下面7.804 4i i3 3i i2 2i i3 3i i2 2i ii ii i2 2i ii ii i4 4i i3 3i i2 2i i3 3i i2 2i ii i2 2i ii ix xx xx xx

59、xx xy yx xx xx xy ya a, ,x xx xx xx xx xx xx xx xn ni i2 2i i3 3i i2 2i ii ii i2 2i ii ii ii ii i4 4i ii i2 2i i2 2i i3 3i ii ii ii i2 2i ii iy yx xx xx xy yx xx xy yx xy yx xn nc c, ,x xy yx xx xx xy yx xx xx xy yn nb bc cc c, ,b bb b, ,a aa a得：得：2 2c cx xb bx xa ay y回歸方程回歸方程:7.81 對苜蓿盲蝽卵進(jìn)行研究對苜蓿盲蝽卵進(jìn)

60、行研究, 發(fā)現(xiàn)不同溫發(fā)現(xiàn)不同溫度度x與卵的發(fā)育速度與卵的發(fā)育速度 y 呈二次曲線型呈二次曲線型, 見表見表7.19 圖圖7.25 試對其進(jìn)行回歸分析。試對其進(jìn)行回歸分析。 解：解：盲蝽象卵的發(fā)育速度盲蝽象卵的發(fā)育速度 y 是按照發(fā)育天是按照發(fā)育天數(shù)的倒數(shù)乘以數(shù)的倒數(shù)乘以100轉(zhuǎn)換來的。轉(zhuǎn)換來的。圖圖7.25 苜蓿盲蝽卵溫度苜蓿盲蝽卵溫度與發(fā)育速度關(guān)系圖與發(fā)育速度關(guān)系圖 發(fā)育速度發(fā)育速度y溫度溫度 x.16481215 20 25 30 35 40表表7.19 苜蓿盲蝽卵溫度與苜蓿盲蝽卵溫度與 發(fā)育速度關(guān)系發(fā)育速度關(guān)系 溫溫 度度 x 發(fā)育速度發(fā)育速度 y 15 3.85 20 7.58 25