基于時間序列方法對1952-2014年我國gdp模型建立及預測

1、統(tǒng)計調(diào)查與數(shù)學建模論文目 錄摘要-2 一 引言-2二 時間序列分析方法-4 2.1 時間序列檢驗的預處理方法-4 2.1.1 平穩(wěn)性檢驗-4 2.1.2 白噪聲檢驗-62.2 ARIMA模型簡述-7三 基于時間序列的我國1952-2014年GDP建模與預測-93.1 平穩(wěn)性檢驗-93.2 白噪聲檢驗-123.3 模型的定階-133.4模型的檢驗及擬合-133.5 預測及分析-15四 確定性分析：趨勢分析法-16五 20152019年的預測結(jié)果及結(jié)論-19參考文獻-21附錄A-22附錄B-23基于時間序列的我國1952-2014年GDP建模與預測摘要本文通過對我國19522012年GDP（國內(nèi)生

2、產(chǎn)總值）的時間序列進行建模分析，分別利用ARIMA模型和趨勢分析法建模，將2013及2014年的數(shù)據(jù)作為測試對象，來區(qū)別出最優(yōu)模型。得出最優(yōu)為MA(1)模型，對未來五年的GDP進行了預測，預測的誤差較小。關(guān)鍵詞： GDP,時間序列,ARIMA模型,GDP預測一 引言國內(nèi)生產(chǎn)總值（Gross Domestic Product，簡稱GDP)是指在一定時期內(nèi)（一個季度或一年），一個國家或地區(qū)的經(jīng)濟中所生產(chǎn)出的全部最終產(chǎn)品和勞務的價值，常被公認為衡量國家經(jīng)濟狀況的最佳指標。它不但可反映一個國家的經(jīng)濟表現(xiàn)，還可以反映一國的國力與財富。2012年1月，國家統(tǒng)計局公布2011年重要經(jīng)濟數(shù)據(jù)，其中GDP增長9

3、.2% ，基本符合預期。2014年中國GDP首破60萬億，同比增7.4%創(chuàng)1990年以來新低。指標GDP的意義：（一）國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP是核算體系中一個重要的綜合性統(tǒng)計指標，也是中國新國民經(jīng)濟核算體系中的核 心指標。它反映一國（或地區(qū)）的經(jīng)濟實力和市場規(guī)模。一個國家或地區(qū)的經(jīng)濟究竟處于增長抑或衰退階段，從這個數(shù)字的變化便可以觀察到。一般而言，GDP公布的形式不外乎兩種，以總額和百分比率為計算單位。當GDP的增長數(shù)字處于正數(shù)時，即顯示該地區(qū)經(jīng)濟處于擴張階段；反之，如果處于負數(shù)，即表示該地區(qū)的經(jīng)濟進入衰退時期了。國內(nèi)生產(chǎn)總值是指一定時間內(nèi)所生產(chǎn)的商品與勞務的總量乘國內(nèi)生產(chǎn)總值以“貨幣價格”或“市價

4、”而得到的數(shù)字，即名義國內(nèi)生產(chǎn)總值，而名義國內(nèi)生產(chǎn)總值增長率等于實際國內(nèi)生產(chǎn)總值增長率與通貨膨脹率之和。因此，即使總產(chǎn)量沒有增加，僅價格水平上升，名義國內(nèi)生產(chǎn)總值仍然是會上升的。在價格上漲的情況下，國內(nèi)生產(chǎn)總值的上升只是一種假象，有實質(zhì)性影響的還是實際國內(nèi)生產(chǎn)總值變化率，所以使用國內(nèi)生產(chǎn)總值這個指標時，還必須通過GDP縮減指數(shù)，對名義國內(nèi)生產(chǎn)總值做出調(diào)整，從而精確地反映產(chǎn)出的實際變動。因此，一個季度GDP縮減指數(shù)的增加，便足以表明當季的通貨膨脹狀況。如果GDP縮減指數(shù)大幅度地增加，便會對經(jīng)濟產(chǎn)生負面影響，同時也是貨幣供給緊縮、利率上升、進而外匯匯率上升的先兆。（二）國內(nèi)生產(chǎn)總值是反映常住單位生

5、產(chǎn)活動成果的指標。常住單位是指在一國經(jīng)濟領(lǐng)土內(nèi)具有經(jīng)濟利益中心的經(jīng)濟單位。經(jīng)濟領(lǐng)土是指由一國政府控制或擁有的地理領(lǐng)土，也就是在本國的地理范圍基礎(chǔ)上，還應包括該國駐外使領(lǐng)館、科研站和援助機構(gòu)等，并相應地扣除外國駐本國的上述機構(gòu)（國際機構(gòu)不屬于任何國家的常住單位，但其雇員則屬于所在國家的常住居民）。經(jīng)濟利益中心是指某一單位或個人在一國經(jīng)濟領(lǐng)土內(nèi)擁有一定活動場所，從事一定的生產(chǎn)和消費活動，并持續(xù)經(jīng)營或居住一年以上的單位或個人，一個機構(gòu)或個人只能有一個經(jīng)濟利益中心。一般就機構(gòu)（單位）而言，不論其資產(chǎn)和管理歸屬哪個國家控制，只要符合上述標準，該機構(gòu)在所在國就具有了經(jīng)濟利益中心。就個人而言，不論其國籍屬于

6、哪個國家，只要符合上述標準，該居民在所在國就具有經(jīng)濟利益中心。因為常住單位的概念嚴格地規(guī)定了一個國家的經(jīng)濟主體范圍，所以其對于確定國內(nèi)生產(chǎn)總值的計算口徑，明確國內(nèi)與國外的核算界限以及各種交易量的范圍都具有重要意義。二 時間序列分析方法2.1 時間序列檢驗的預處理方法2.1.1 平穩(wěn)性檢驗平穩(wěn)性是某些時間序列具有的一種統(tǒng)計特征。對于平穩(wěn)的序列我們就可以運用已知的時間序列模型對其進行分析預測。因此對數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性檢驗是時間序列分析法的關(guān)鍵步驟。對序列的平穩(wěn)性有兩種檢驗方法，一種是根據(jù)時序圖和自相關(guān)圖顯示的特征做出判斷的圖檢驗方法；一種是構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量進行假設檢驗的方法。通常我們都選用圖檢驗方法檢驗

7、序列平穩(wěn)性并用單位根統(tǒng)計檢驗法加以輔助。(1) 自相關(guān)圖法自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的定義：構(gòu)成時間序列的每個序列值，之間的簡單相關(guān)關(guān)系稱為自相關(guān)。自相關(guān)程度由自相關(guān)系數(shù)度量，表示時間序列中相隔期的觀測值之間的相關(guān)程度。 (2-1)其中，是樣本量，為滯后期，代表樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值。自相系數(shù)的取值范圍是并且越小，自相關(guān)程度越高。偏自相關(guān)是指對于時間序列，在給定的條件下，與之間的條件相關(guān)關(guān)系。其相關(guān)程度用偏自相關(guān)系數(shù)度量，有。 (2-2)其中是滯后期的自相關(guān)系數(shù)。如果序列的自相關(guān)系數(shù)很快地(滯后階數(shù)大于2或3時)趨于0，即落入隨機區(qū)間，時間序列是平穩(wěn)的，反之時間序列是非平穩(wěn)。若有更多的自相關(guān)系數(shù)落

8、在隨機區(qū)間以外，即與零有顯著不同，時間序列就是不平穩(wěn)的。自相關(guān)圖僅僅是從圖中直觀的判斷，我們還需要理論的判斷來支撐。(2) 單位根檢驗法時間序列的平穩(wěn)性還可以通過單位根檢驗來判斷，單位根檢驗目前常用的兩種方法是DF和ADF。DF檢驗法是Dickey和Fuller在70年代和80年代的一系列文章中建立的。其基本思想是：一階回歸模型中，時，序列是平穩(wěn)的。若，則序列是非平穩(wěn)的，存在單位根，通過檢驗是否可能為1，判斷序列是否平穩(wěn)序列。（i）DF檢驗:序列有如下三種形式：不包含常數(shù)項和線性時間趨勢項 (2-3)包含常數(shù)項 (2-4)包含常數(shù)項和線性時間趨勢項 (2-5)其中，。檢驗假設為： 序列存在單位

9、根的零假設下，對參數(shù)估計值進行顯著性檢驗的t統(tǒng)計量不服從常規(guī)的t分布，DF(Diekey&Fuller)于1979年給出了檢驗用的模擬的臨界值，故稱檢驗稱為DF檢驗。一般地，如果序列在0均值上下波動，則應該選擇不包含常數(shù)和時間趨勢項地檢驗方程，即(2-3)式；如果序列具有非0均值，但沒有時間趨勢，可選擇(2-4)作為檢驗方程；序列隨時間變化有上升或下降趨勢，應采用(2-5)的形式。(ii) ADF檢驗:在DF檢驗中，對于(2-3)式，常常因為序列存在高階滯后相關(guān)而破壞了隨機擾動項是白噪聲的假設，ADF檢驗對此做了改進。它假定序列服從AR(P)過程。檢驗分程為 (2-6)式中的參數(shù)視具體

10、情況而定，一般選擇能保證是白噪聲的最小的值。與DF檢驗一樣，ADF檢驗也可以有包含常數(shù)項和同時含有常數(shù)和線性時間趨勢項兩形，只需在(2-6)式右邊加上或與。2.1.2 白噪聲檢驗如果時間序列Xt滿足如下性質(zhì)：（i） 任取tT，有EXt=;（ii） 任取t,sT,有t,s=2,t=s0,ts稱序列Xt為純隨機序列，也稱為白噪聲（white noise）序列，簡記為XtWN（，2）。由白噪聲序列的性質(zhì)知，白噪聲序列的各項之間沒有相關(guān)關(guān)系，這種“沒有記憶”的序列就是純隨機序列，序列在進行完全無序的隨機波動。一旦某個隨機事件呈現(xiàn)出純隨機波動的特征，就認為該隨機事件沒有 包含任何值得提取的有用信息，我們

11、就該終止分析了。如果序列值之間呈現(xiàn)出某種顯著的相關(guān)關(guān)系：（k)0,k0就說明該序列不是純隨機序列，該序列間隔k期的序列值之間存在著一定程度的相互影響關(guān)系，這種關(guān)系統(tǒng)計上稱為相關(guān)信息。我們分析的目的就是要想方設法把這種相關(guān)信息從觀察值序列中提取出來。一旦觀察值序列中蘊含的相關(guān)信息充分提取出來了，那么剩下的殘差序列就應該呈現(xiàn)出純隨機的性質(zhì)。2.2ARIMA模型簡述全稱為自回歸積分滑動平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,簡記ARIMA)，ARIMA（p，d，q）稱為差分自回歸移動平均模型，AR是自回歸， p為自回歸項； MA為移動平

12、均，q為移動平均項數(shù)，d為時間序列成為平穩(wěn)時所做的差分次數(shù)。所謂ARIMA模型，是指將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列，然后將因變量僅對它的滯后值以及隨機誤差項的現(xiàn)值和滯后值進行回歸所建立的模型。ARIMA模型根據(jù)原序列是否平穩(wěn)以及回歸中所含部分的不同，包括移動平均過程（MA）、自回歸過程（AR）、自回歸移動平均過程（ARMA）以及ARIMA過程?；舅枷胧牵簩㈩A測對象隨時間推移而形成的數(shù)據(jù)序列視為一個隨機序列，用一定的數(shù)學模型來近似描述這個序列。這個模型一旦被識別后就可以從時間序列的過去值及現(xiàn)在值來預測未來值。ARIMA模型預測的基本程序：（I）根據(jù)時間序列的散點圖、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)

13、圖以ADF單位根檢驗其方差、趨勢及其季節(jié)性變化規(guī)律，對序列的平穩(wěn)性進行識別。一般來講，經(jīng)濟運行的時間序列都不是平穩(wěn)序列。（II）對非平穩(wěn)序列進行平穩(wěn)化處理。如果數(shù)據(jù)序列是非平穩(wěn)的，并存在一定的增長或下降趨勢，則需要對數(shù)據(jù)進行差分處理，如果數(shù)據(jù)存在異方差，則需對數(shù)據(jù)進行技術(shù)處理，直到處理后的數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)值和偏相關(guān)函數(shù)值無顯著地異于零。（III）根據(jù)時間序列模型的識別規(guī)則，建立相應的模型。表一 ARMA模型定階的基本原則模型定階AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相關(guān)系數(shù)（ACF）拖尾q階截尾拖尾偏相關(guān)系數(shù)（PACF）p階截尾拖尾拖尾（IV）進行參數(shù)估計，檢驗是否具有統(tǒng)計意義。（V）進行假

14、設檢驗，診斷殘差序列是否為白噪聲。（VI）利用已通過檢驗的模型進行預測分析。ARMA模型識別估計模型中未知參數(shù)的值模型檢驗模型優(yōu)化預測序列將來的走勢YNY獲得觀察值序列平穩(wěn)性檢驗差分運算白噪聲檢 驗擬合ARMA模型分析結(jié)束NY三 我國19522012年GDP建模及預測建模流程圖：N3.1 平穩(wěn)性檢驗由圖一可得我國1952-2012年GDP時序圖，其有明顯呈指數(shù)攀升，顯然也是不平穩(wěn)的。為了建立模型以及后期預測更加準確，對數(shù)據(jù)進行自然對數(shù)化（取Ln值）。從圖二可看出gdplog呈線性趨勢遞增，顯然不平穩(wěn)。圖一 我國1952-2012年GDP時序圖圖二 我國1952-2012年gdplog時序圖圖三

15、 取對數(shù)化后一階差分時序圖圖三為對自然對數(shù)化的數(shù)據(jù)進行的一階差分，來消除序列中的隨機趨勢項或常數(shù)項，使得數(shù)據(jù)更加簡單分析。通過時序圖和后續(xù)的自相關(guān)系數(shù)圖，偏自相關(guān)系數(shù)圖以及白噪聲檢驗，選擇進行二階差分。圖四便是二階差分后的時序圖，其基本上在零值附近波動，再有圖五的自相關(guān)系數(shù)圖知，在一階延遲時期后，自相關(guān)系數(shù)均處于二倍標準差范圍內(nèi)，而圖六的偏自相關(guān)圖除了1-3階和6階，之后的延遲階數(shù)也處于二倍標準差范圍內(nèi)，暫且猜測二階差分后是平穩(wěn)的，當然還需要進行單位根檢驗。圖四 二階差分后的時序圖圖五 二階差分后的自相關(guān)系數(shù)圖圖六 二階差分后的偏自相關(guān)圖由圖七的ADF檢驗的Pr<Tau知，二階差分后序列

16、平穩(wěn)。圖七 ADF檢驗圖3.2 白噪聲檢驗通過圖八的白噪聲檢驗結(jié)果，延遲階數(shù)為6階和12階，卡方檢驗統(tǒng)計量的P值均小于0.05，可以斷定序列值之間蘊含著相關(guān)關(guān)系，為非白噪聲序列。圖八 白噪聲檢驗結(jié)果圖3.3 模型的定階通過圖五自相關(guān)圖和圖六偏自相關(guān)圖，對模型進行定階，首先通過命令MINIC實現(xiàn)，由圖九的最小信息量結(jié)果知，BIC信息量最小的為BIC（1,3），所以暫且認為ARIMA（1,2,3）為最優(yōu)模型。圖九 最小信息量輸出結(jié)果之后對模型進行檢驗發(fā)現(xiàn)，估計參數(shù)不顯著，也為通過殘差自相關(guān)檢驗也未通過，之后進行了多個模型的測試，如表一：模型檢驗結(jié)果AICSBCARMA（1,3）參數(shù)估計均不顯著，殘

17、差自相關(guān)檢驗通過-120.044-111.667ARMA（1,2）參數(shù)估計均不顯著，殘差自相關(guān)檢驗通過-121.656-115.373ARMA（1,1）參數(shù)MA（1,1）顯著，AR（1,1）不顯著，殘差自相關(guān)檢驗通過-123.373-119.184最終選擇了MA（1）模型。3.4 模型的檢驗及擬合由圖十的消除常數(shù)項后的參數(shù)估計結(jié)果知參數(shù)顯著（<0.0001）.圖十 消除常數(shù)項后的參數(shù)估計結(jié)果圖十一中延遲各階的LB統(tǒng)計量的P值均大于（=0.05），所以該擬合模型成立。圖十一 estimate命令輸出的殘差自相關(guān)檢驗結(jié)果擬合模型的具體形式為：最后得擬合模型口徑為：2Lngdp=t-0.854

18、24t-1.圖十二是擬合的difgdplog的實際值，預測值以及95%的置信區(qū)間，由圖知，擬合效果很好，隨著預測時期變長，預測誤差越來越大，預測區(qū)間呈現(xiàn)為喇叭形。藍色線為95%的置信區(qū)間，紅線為預測值，星號表示實際值。而圖十三為擬合的gdplog序列預測圖，顏色表達同圖十二。圖十二 我國19522012年difgdplog序列預測圖圖十三 我國19522012年gdplog序列預測圖3.5 預測及分析通過軟件可得出gdplog的預測值，再進行數(shù)據(jù)還原可得20151019年的GDP預測值如下表：年份GDP預測值（單位：百萬元）Gdplog預測值201571,228,24518.081432201

19、679,717,52418.194015201789,165,07618.306597201899,852,03518.4191802019111,752,81718.531762四 確定性分析：趨勢擬合法根據(jù)我們做出的gdplog時序圖可以看到，序列長期趨勢呈現(xiàn)出線性特征。我們可以采用趨勢擬合法，對序列進行預測，再與上述的MA(1)模型預測分析進行比較，選擇出較為優(yōu)秀的預測或模型。通過sas的forecast過程，主要程序如下：proc forecast data=sasuser.kcsjreg method=stepar trend=2 lead=7 out=out outfull out

20、est=est;其中“method=stepar”是指定先使用多項式擬合趨勢，擬合好后，再對殘差序列進行自回歸擬合，然后通過逐步回歸的方法，篩選合適的延遲階數(shù)，得到最優(yōu)AR模型。而trend=2是指序列有線性趨勢。圖十三顯示的在擬合部分，每個時間變量下輸出兩個信息：觀察值和預測值；在預測部分，每個時間變量下輸出5個信息：觀察值、預測值、殘差、95%置信上下限。預測時期標示變量顯示為0時，表明這是觀察期；顯示為1,2,3時，則分別表示這是第1,2,3期的預測信息。圖十三 Forecast過程out命令輸出數(shù)據(jù)集圖而圖十四顯示的是預測過程中的相關(guān)參數(shù)及擬合效果，包括序列的基本信息、關(guān)于預測模型的參

21、數(shù)估計信息及擬合優(yōu)度統(tǒng)計量信息。由圖中CONSTANT為線性模型的常數(shù)估計值；LINEAR為線性模型的斜率；AR01AR13為殘差自回歸的參數(shù)估計值，判斷殘差序列為AR(2)模型。又由REQUARE，R2值為0.9973008，說明模型擬合很好。圖十五是做出的預測模型效果圖，紅色線為擬合線，綠色為95%置信區(qū)間，星號代表實際值。也能說明擬合效果很好。圖十四 Forecast過程outest命令輸出數(shù)據(jù)集圖示圖十五 預測效果圖五 20152019年的預測結(jié)果及結(jié)論ARIMA模型在2013及2014年的預測值、實際值及相對誤差：實際值（單位：百萬元）預測值（單位：百萬元）相對誤差201356,88

22、4,50057,148,4600.46%201463,646,30062,888,6341.19%逐步回歸法在2013及2014年的預測值、實際值及相對誤差：實際值（單位：百萬元）預測值（單位：百萬元）相對誤差201356,884,50056,094,2091.39%201463,646,30060,356,4005.17%可見后者的相對誤差較大，所以我們最終采用MA(1)模型來預測我國20152019年GDP，如下表：年份GDP預測值（單位：百萬元）Gdplog預測值201571,228,24518.081432201679,717,52418.194015201789,165,07618.

23、306597201899,852,03518.4191802019111,752,81718.531762國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP是核算體系中一個重要的綜合性統(tǒng)計指標，也是中國新國民經(jīng)濟核算體系中的核心指標。它反映一國（或地區(qū)）的經(jīng)濟實力和市場規(guī)模。一個國家或地區(qū)的經(jīng)濟究竟處于增長抑或衰退階段，從這個數(shù)字的變化便可以觀察到。從表中看出預計今年GDP會達到71.2282萬億，2014年中國GDP首破60萬億，同比增7.4%創(chuàng)1990年以來新低，從國家中國社會科學院2014年度創(chuàng)新工程重大科研成果經(jīng)濟藍皮書：2015年中國經(jīng)濟形勢分析與預測預計2015年中國GDP增長7. 0%左右，主要基于以下考慮：外

24、需難以顯著提升，消費總體平穩(wěn)，投資因制造業(yè)產(chǎn)能過剩及創(chuàng)新技術(shù)相對不足、房地產(chǎn)庫存較高、基礎(chǔ)設施投融資體制制約等因素而難以長期維持高速增長，且投資回報率在不斷降低。改革開放以來，我國投資效果系數(shù)(即單位投資產(chǎn)生的GDP增加額)已經(jīng)顯著下降，19811996年年均為0.53，19972011年年均為0.26，20122014年年均僅為0.11。當前，投資對于穩(wěn)增長仍起關(guān)鍵作用，但對經(jīng)濟增長的拉動效應在減弱。參考文獻1王燕著.應用時間序列分析（第三版）M.北京:中國人民大學出版社，20122王成璋，尤梅芳等譯.時間序列分析-預測與控制M.北京:機械工業(yè)出版社，20113李正輝，李庭輝.時間序列分析實

25、驗M.北京:中國統(tǒng)計出版社，20104劉薇，基于時間序列模型的吉林省GDP預測分析D.東北師范大學，2008附錄A 程序主要代碼data sasuser.kcsj; input time gdp gdplog; difgdplog=dif(dif(gdplog); cards; ; run; proc print data=sasuser.kcsj; run; proc gplot data=sasuser.kcsj; plot gdplog*time; symbol c=black v=star i=join; run; proc arima data=sasuser.kcsj; ident

26、ify var=difgdplog(1,1) stationarity=(adf=3); run; proc arima data=sasuser.kcsj; identify var=difgdplog(1,1) minic p=(0:6) q=(0:6); run; proc arima data=sasuser.kcsj; identify var=difgdplog(1,1); estimate q=1 noint; forecast lead=5 id=time out=results; run; proc gplot data=results; plot difgdplog*tim

27、e=1 forecast*time=2 l95*time=3 u95*time=3/overlay; symbol1 c=black i=none v=star; symbol2 c=red i=join v=none; symbol3 c=blue i=join v=none; run; proc forecast data=sasuser.kcsjreg method=stepar trend=2 lead=7 out=out outfull outest=est; id time; var gdplog; run; proc gplot data=out; plot gdplog*time=_type_; symbol1 i=none v=star c=black; symbol2 i=join v=none