推薦基本函數(shù)公式與高階導數(shù)

1、1一、基本導數(shù)公式一、基本導數(shù)公式二、高階導數(shù)二、高階導數(shù)第三節(jié)第三節(jié)基本函數(shù)公式與高階導數(shù)基本函數(shù)公式與高階導數(shù)2一、基本函數(shù)公式一、基本函數(shù)公式基本初等函數(shù)公式(1)0();cc為常數(shù)2(7)(tan )sec;x x(5)(sin )cos ;x x11(4)(log |),(ln |);lnaxxxax(3)()ln (0,1);(e )exxxxa aa aa1(2)();aax ax(6)(cos )sin ;x x 321(11)(arcsin );1x x21(13)(arctan );1x x(9)(sec )sectan ;x xx(10)(csc )csccot ;x x

2、x 21(12)(arccos );1x x 21(14)(arccot ).1x x 2(8)(cot )csc;x x 4基本求導法則()線性法則: 為常數(shù);(), ,aubv aubv a b();uv uvuv2( ),0;uuvuvvvv ( ) ( ) ( );f u xf u x u x 其中 表示復合函數(shù)fu(x)對x求導, 表示函數(shù)f(u)對u求導,然后代入u=u(x). ( )f u x( ) ( )( )|u u xf u xf u()鏈式法則:()商法則:()積法則:5()反函數(shù)法則: 其中y=f(x)為 的反函數(shù).1( ),( )0,( )f x y y( )xy63

3、333dd( ) ( ) ddyf xyf xxx二、高階導數(shù)二、高階導數(shù) 一般地,如果函數(shù)y=f(x)的導函數(shù) 在點x處可導,則稱導函數(shù) 在點x的導數(shù)為函數(shù)f(x)的二階導數(shù),記為( )f x( )f x2222dd( ) ( ) ddyf xyf xxx或或或 類似的,定義y=f(x)的二階導數(shù) 的導數(shù)為三階導數(shù),記為( )f x或或或7 如果函數(shù)y=f(x)的n1階導數(shù)存在且可導,則稱y的n1階導數(shù)的導數(shù)為y=f(x)的n階導數(shù),記為( )( )dd( ) ( ) ddnnnnnnyf xyfxxx或或或 二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).如果函數(shù)y=f(x)的n階導數(shù)存在,則稱y=f

4、(x)為n階導數(shù).n階導數(shù)(n=1,2,)在點x0處的值記為00( )( )00d()d| | () ddnnnnx xx xnnf xyyfxxx或或或8例例3.16 設y=(asin x+bcos x)ex,其中a,b為常數(shù).試證:220yyy證證 因為( cossin )e( sincos )exxyaxbxaxbx()sin()cos exabxabx()cos()sin e()sin ()cos exxyabxabxabxabx2( cossin )exaxbx所以9222( cossin )e 2()sin()cos e 2( sincos )exxxyyyaxbxabxabxax

5、bx=2 cossin()sin ()cossincos e0 xaxbxabxabxaxbx10例例3.17 求下列函數(shù)的n階導數(shù):(1)y=ax (a0,a1); (2)y=sin x;(3)y=ln(1+x).解解 (1)lnxyaa一般地,有y(n)=(ax)(n)=ax(lna)n, n=1,2,特別地,a=e時,有(ex)(n)=ex,n=1,2,2(ln )xyaa23(ln )ln(ln )xxyaaaaa11(2)(sin )yx cossin()2xxcos()2yxsin(2)2x sin()22x一般地,有( )( )(sin )nnyxsin(),1,2,2nxn12一般地,有( )( )ln(1)nnyx其中,按規(guī)定 0！=