2021屆三省高三上學(xué)期百校大聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試卷

1、2021年三省高三上學(xué)期百校大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試卷學(xué)校:姓名：班級：考號：一、單選題1設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足上=1-匚則復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)等于（）A. 1-iB. -l-iC. 1+iD. -1+i2. 設(shè)集= （x2x x2 > 0, N = xy =則M Cl N等于（）A（一 1,0B-1,0 C0,1）D0,1兀43. 已知xw（,0）, tanx = -,則sin（x + 7r）等于（）2 33 344A. 一 B 一一 C 一一 D55554. 從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)訃如下，則這100個成績的平均數(shù)為分數(shù)12345人數(shù)2010401020A. 3 B. 2

2、.5C. 3.5 D. 2.755. 已知雙曲線C:二-匚=1（“>0上>0）的漸近線方程為y = ±-x.且其右焦點為 cr lr4（5,0） t則雙曲線C的方程為（）916169346. 將函數(shù)/（x） = J5sin彳-cos弓的圖象向右平移二個單位長度得到函數(shù)y = g（x） 的圖象，則函數(shù)y = g（x）在下列區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A.B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件7設(shè)“是自然對數(shù)的底，d>0且dHl，/?>0且貝log。2>log/,廣是 0<a<b<r的（）A.充分不必要條件C.充分必要條件8某幾何體的三視圖如

3、圖所示，則該幾何體的體積是（）A. 2 B 1 C 04 4A. 2龍 + 一B. 4兀 + 一C. 4/F+4D. 2兀+4339. 下邊程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章中的“秦九韶算法 求多項式的值執(zhí)行程序框圖，若輸入 = 1，a± = 1, a2 = 0, a3 = 一1,則輸岀“的值D-110. 如圖，在三棱柱ABC-AC.中，底而為正三角形，側(cè)棱垂直底而.43 = 4, M=6-若E, F分別是棱BBi，cq上的點，且BE = BE , Cf =扣6,則異面 直線AE與4F所成角的余弦值為（）A.V2611. 如圖，橢圓的中心在坐標原點,焦點在X軸上,禺 4

4、為橢圓頂點,E為右焦點，延長d竹與仏色交于點幾 若abpa2為鈍角，則該橢圓離心率的取值范用是C.(。,孚12. 設(shè)函數(shù)./V)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f(x),對于任意的實數(shù)x ,都有/=4疋一 f(_x), 當(dāng) *(YO,0)時，fx) +1 <4x f(m 4-1) < / (-/») + 4zn 4- 2 ,則實數(shù)川的取值 范圍是()1 )3 )A.B.,+S.2 JL 2丿c. -1,+co)D一2,+00)二、填空題(2 y > 0,13. 設(shè)變量r y滿足約束條件咒一 3y + 2S0,則目標函數(shù)z = %+2 y的最大值為(4% 5y + 2 > 01

5、4.在矩形 ABCD 中，ZCAB = 30 ,走而=|碼側(cè)疋麗=15. (2%- 1)( + %)6的展開式中疋的系數(shù)為 16 在AABC中，角A, B, C所對的邊分別為, b , c ,且滿足2cos2- = -sin A ,2 3sin(B-C) = 4cosBsinC 則? =三. 解答題17. 設(shè)數(shù)列是公差大于0的等差數(shù)列，Sn為數(shù)列g(shù)的前n項和，己知S3 = 9, 且2“O3 g+ 1構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列"的通項公式;（2）若數(shù)列%滿足J = 2n 6 N）設(shè)心是數(shù)列仇的前n項和，證明：幾< 6.bn18. 中國乒乓球隊備戰(zhàn)里約奧運會熱身賽暨選拔賽于2021

6、年7月14日在山東威海開賽. 種子選手M與B1.B2,B3三位非種子選手分別進行一場對抗賽，按以往多次比賽的統(tǒng)計， M獲勝的概率分別為?扌，?且各場比賽互不影響.（1）若M至少獲勝兩場的概率大于召，則M入選征戰(zhàn)里約奧運會的最終大名單，否則不 予入選，問M是否會入選最終的大爼單？（2）求M獲勝場數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19. 如圖，在三棱錐A-BCD中，AD丄平面BCD, CB = CD, AD = DB , P ,0分別在線段AB, AC上，AP = 3PB, AQ = 2QC , M是3D的中點.（1）證明：D0/平面CFM：（2）若二而角C-AB-D的大小為冬，求tanZBDC.320.

7、已知拋物線E:y2 =2px（p>0）,直線x = my + 3與E交于A，B兩點,且 oA oB = 6，英中0為坐標原點.（1）求拋物線E的方程：（2）已知點C的坐標為（-3,0）,記直線C4、CB的斜率分別為込，證明：1 I 產(chǎn)+廠一2"?為定值.1 2n XI21. 已知函數(shù) /（X）= - + - -（6/ ） In x（a > 0）x aa（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)證明：當(dāng)t/e|,2時，函數(shù)/(x)沒有零點(提示：ln2a0.69)22. 選修4：幾何證明選講如圖，點C是圓。直徑BE的延長線上一點，AC是圓0的切線，A為切點，ZACB 的平

8、分線CD與A3相交于點D,與AE相交于點F.(2)若 AB = AC,證明：AB=AE BC.23. 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平而直角坐標系xOy中，已知曲線=苗'gsa «為參數(shù))，直線/：X-'6 = 0I y = sina(1) 在曲線C上求一點P,使點P到直線2的距離最大，并求出此最大值：(2) 過點M(-1,0)且與直線!平行的直線h交C于力，3兩點，求點M到力，B兩點的距離 之積.24. 設(shè)函f(x) =1X-6ZI +12x-a I (a < 0).(I )證明：/U) + /(-i)>6：x(H)若不等式f(x)<丄的解集為非空

9、集，求d的取值范用.2參考答案1. B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則解得Z =1 + i，結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的概念即可得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)z的共輒復(fù)數(shù)等于一1一幾故選B.【點睛】本題考査了復(fù)數(shù)的運算法則、共軌復(fù)數(shù)的泄義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2. C【解析】試題分析：M = x0 <x<29 7V = x|-l<%< 1, M CN = 0,1).考點：集合的交集運算.3D【解析】兀444試題分析：因為 xe (- ,0), tan x =-, 所以 sin x = - , sin(x + ) = - sin x =-2 355考點：三角函數(shù)值.4. A【

10、解析】試題分析：設(shè)這100個成績的平均數(shù)記為b貝收=1X20+2X10+3X40+4X10+5X20100故選A.考點：平均數(shù).中位數(shù).眾數(shù).5. B【解析】b 3試題分析：由題意得-c2=a2+b2=25,所以d = 4，b = 3、所求雙曲線方程為 a 427169 考點：雙曲線方程.6. C【分析】先把 /(x)化為 f (x) = 2sin,再根據(jù)圖象變換得到y(tǒng) = g(x)的解析式，從而可求該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，故可得正確的選項.xXsin -cos 22=2 sinx 兀、2"6>故 g(x) = 2sinx n n2"T6/X7T2=2 sin= -2co

11、s 2【詳解】x令2k7T-7T<-< 2k7T.k eZ ,故4k7r-2兀5xS4k兀、k wZ ,2所以y = g(x)的減區(qū)間為4Qr2兀4Qr|,“Z , 取£ = 0,1得ug(x)的減區(qū)間為一2盜0,2兀4補 而-?一冷匸2不4訃、厶 4丿故選：C.【點睛】對于形如/(x) = dsin處+Z?cos亦的函數(shù)，我們可將其化簡為f(x) = yja2 +b2 sin(a)x +(p) 其中cosyja2 +b2bsin (p = yja2 +h2再利用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的研究方法來研究/(X)的性質(zhì).7. B【解析】 “>l,0vbvl

12、時，“l(fā)oga2>0,logb£V03 推不出-0<a<b<V 充分性不成立,Q<a<b<l. logfl2>logfe2>log&e<0,必要性成立，所以“l(fā)og“2 > log/"是 0<a<b<r的必要不充分條件，故選B.8. A【解析】由三視圖可得，該幾何體是由一個四分之一圓柱體和一個三棱錐組成的幾何體，圓柱底而圓的半徑為2,髙為2：三棱錐的底而是直角邊等于2的等腰直角三角形，高為2.所以該幾1114何體的體積為 V = -x(x22)x2 + -x(-x22)x2 = 2

13、+ y 選 A.9. B【解析】試題分析：執(zhí)行程序框圖，u = -1, n = 2： u = 0, n = 3； u = 19 n = 4因為n>3,所以輸岀"=1.考點：程序框圖.10B【解析】試題分析：以c為原點，CA為x軸，在平而ABC中過作AC的垂線為y軸，CC】為z軸,建立空間直角坐標系，在三棱柱ABC-A.B,G中，底而為正三角形，側(cè)棱垂直底而，AB=4, AA1=6,E, F分別是棱BB“ C。上的點，且BEE C.pJcC,Ai (4, 0, 6), E (2, 2>/33), F (0, 0, 4), A (4, 0, 0),AE=(2 2jL -3),

14、 af= (4 0, 4),設(shè)異而直線AiE與AF所成角所成角為&則cos& =Mm異面直線A'E與AP所成角的余弦值為眷考點：異而直線及其所成的角11. D【分析】結(jié)合題意，先計算垂直于直線仏色的方程，計算與X軸交點，建立不等式，計算e的范用， 即可.【詳解】設(shè)直線1為過且與人5垂直的直線，燈4則直線1的斜率為ab/ , 2 、而B©b),則該直線方程為y = ?x_b,所以該直線與x軸交點坐標為 .0 ,要使bk a 7 2得ZBfB.為鈍角，則說明直線在直線1上方，故滿足c< >結(jié)合ba得到0。</一。2,結(jié)合£ = 

15、3;”+0一1<0,結(jié)合0vfvl,解得aJ5-11ee 0, ,故選C.2丿【點睛】本道題考査了橢圓的基本性質(zhì)，考查了點斜式直線方程汁算方法，關(guān)鍵得岀兩直線與x軸交點的關(guān)系，建立不等式，計算亡的范圍，即可，屬于偏難的題.12. A【詳解】由/(x) = 4x2-/(-j),所以f(x)-2x2+f(-x)-2x2 =0,設(shè)g(x) = /(x)-2衛(wèi)，則g(x)+g(-x) = 0,所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù),則g'(x) = /'(x) 4xv故函數(shù)g(x)在(0,0)上為減函數(shù)，在(0,乜)為減函數(shù)，且連續(xù)，若/(一加)+4? +2,則/(/n+l)-2(/n+l)2

16、 < f(-m) + 2nr,即g(加+l)<g(?)，所以m+>-m ,即/n>-p 故選 A.138【解析】試題分析：根據(jù)約朿條件畫出可行域，當(dāng)過點(4,2)時，z = x + 2y取最大值為8. 考點：簡單的線性規(guī)劃.14. 12【解析】在矩形 ABCD 中，ZCA£> = 30» /. AC-AD = |Xc|-|ad|-cos60 =|Xc|XC| = yjAB+BC = V12 + 4 = 4 , /. AC AB = |AC| | cos 301 =12,故答案為12-15. 30【解析】試題分析：因為G + X)6的通項公式為T

17、r+i = 4>f+2r,所(2x - 1)( + X)6的展開式中含 x的奇數(shù)次方的通項為2Cx3+2r,令一5 + 2r = 3,解得r = 4從而所求的系數(shù)為2Cf = 30. 考點：二項式定理.【思路點睛】本題考査二項式立理，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，根據(jù) 14(2x-l)(+%)6的展開式的含疋的項由兩類構(gòu)成，然后求出冬類的含尤的項，再將乞個項 加起來，即可得到所求的項的系數(shù).16. 1 + 6【解析】試題分析：因為2cos2 - = sin A ,所以 l + cosA = sinA，化簡得sin(A.23332所 以 A = 又 因 為 sin(B-C)

18、= 4cosBsinC , 所 以所以 sin A = 6cosBsinCsin B cos C+cos B sin C = 6cos B sin C22 2a = 6cx , 整 理 得 2a2 +3c2 -3h2 =0 又2caa2 =b2+c2-2bc-) = b2+c2+bc ,所以 b2-2bc-5c2=0 ,兩 邊除以 c：得 2(-)2- -5 = 0,解得2 = 1 + 屁c cc考點：余弦定理.【思路點睛】因為2cos2- = sinA,化簡得sin(A-) = .所以A =.又因為23323sin(B-C) = 4cosBsinC ,所以sinA = 6cosBsinC ,

19、由正弦左理和余弦左理整理得 2a2+3c2-3b2=0.9化簡可的戻一2加一5圧=0,兩邊除以c，得(乂尸一越一5 = 0,即 c c可求得仝C17. (1) an = 2n- 1； (2)詳見解析【解析】試題分析：(1)由已知得I牯篤窈；：j ,由此能求出數(shù)列-的通項公式. 由計=2"1,得® =算=(2九1) (捫】，由此利用等差數(shù)列前n項和公式能求出 進而證明結(jié)果.試題解析：解：(1)設(shè)數(shù)列aj的公差為d,則d>0.VS3 = 9, 'a丄 + a2 + a3 = a2 = 9，即也=3又2a a3-l, a4 + l成等比數(shù)列，(2 + d)2 = 2

20、(3-d)(4 + 2d),解得d = 2, a± = 1/ an = 1 + 2(n 1) = 2n 1 由計=2f 得b = = (2n - 1) - (i)"-1(° + 3$+ + (2nl)C)i所以紹=1 (護+ 3(護+ . + (2n 一 3)(護一1 + (2n 一 1)(護 兩式相減得：1 1 . 1 9 1 , 1 于幾= 1 + 2 (諾+2怎)2 + 2(寸1一(2/1-1)£廣l + 一鏟 口 =3 亠口 , n ,1 2n 2n2 2n 】一2因為nWN*,所以& = 6-詈6.考點：1等差數(shù)列：2.錯位相減.【方法

21、點睛】針對數(shù)列g(shù) 心(其中數(shù)列仙,%分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(公比g工1), 一般采用錯位相減法求和，錯位相減的一般步驟是：1.» = aibL + a2b2 + a3b3+.+anbn.： 2.等式=如竝 + a2b2 + a3b3+.+anbn兩邊同時乘以等比數(shù)列% 的公比，得到qSn = aq + a2b2q + a3b3q+.+anbnq.®； 3.最后-，化簡即可求出 結(jié)果.18. (1)M會入選最終的大名單：(2)害12【解析】試題分析：(1) iW與比，比，內(nèi)進行對抗賽獲勝的事件分別為4, B, C, M至少獲勝兩 場的事件為D，則P(A) = p P(B)

22、= 7, P(C)=斗，由于事件力，B, C相互獨立，所以P(D)= 今S乙P(ABC) + P(ABC) + P(ABC) + P(ABC)=尋 > 召所以M會入選最終的大名單.(2) M獲勝 場數(shù)X的可能取值為 0,123,則P(X = 0) = P(ABC) = P(X = 1) = P(ABC) +P(ABC) +P(ABC) = P(X = 2) = P(ABC) + P(ABC) + P(ABC) = P(X = 3) = P(ABC)=即可列出M獲勝場數(shù)X的分布列，進而求岀結(jié)果.試題解析：解：(1)記M與巧，叭，內(nèi)進行對抗賽獲勝的事件分別為兒B, C, M至少獲勝兩場的事件

23、為D，則P3) =? P(B)=名P(C) =7由于事件兒B, C相互獨立，所以P(D)= 今S乙_ _321321321P(ABC) + P(ABC) + P(ABC) + P(ABC) = ； X X - + - X j X (1 - X (1 -) X - +由于冷>召所以M會入選最終的大名單.(2) M獲勝場數(shù)X的可能取值為023,則p(X = O)=P(C)=(l-)X(l-X(l-i)=A,P(X = 1) = P(ABC) + P(ABC) + P(ABC)3 21321321= 4X(l-)X(l-) + (l-j)X(l-)X- + (l-)X-X(l-)6=24p(x

24、 = 2)= p(>ibc)+ p(>ibc)+ p(Abc)= -x-x(i-)+ -x(i-)x- +(i-朱9分3 216P(X = 3) = P(ABC = -X-X- =k'743224所以M獲勝場數(shù)X的分布列為：X01Z3P1U6241124624數(shù)學(xué)期望為 E(X) = 0X+1 x ±+2X+3 X=|.考點：1 對立事件的概率；2離散型分布列和期望.19. (1)詳見解析；(2)【解析】 試題分析：(I)取43的中點E,則EQ PC,從而EQ/平而CPM,由中位線泄理 得DE/PM ,從而DE/平而CPM,進而平而DEQ/平而CPM ,由此能證明

25、DQ/ 平而CPM. (11)法1：推導(dǎo)出AD丄CM, BD丄CM ,從而CM丄平面ABD，進而得 到ACPM是二面角C-AB-D的平而角，由此能求出ZBDC的正切值.法2：以M為坐 標原點，MC, MD, ME所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利 用向量法能求岀乙BDC的正切值.QC，所以 EQ/PC.AF試題解析：(1)證明：取43的中點E,連接ED、EQ,則 = 2 =LLi又EQ(z平面CPM,所以EQ/平而CPM.又PM是的中位線.所以DE/PM.從而DE/平而CPM.又DEDEQ = E ,所以平而DEQ/平而CPM , 因為D0u平而DEQ.所以D0/平而CP

26、M.(2)解：由AD丄平而BCD知，AD丄CM,由 BC = C£>, BM =MD 知 BD丄CM ,故CM丄平而ABD.由(1)知DE/FM,而DE丄A3,故PM 丄 A3.所以ACPM是二而角C-AB-D的平而角，則ZCPM =-3設(shè)PM=a,則CM= 岳，又易知在RlMBD中，ZB = -,可知DW= BM =屆,4在 RlACMD 中，tanZMDC = = -=.MD y/2a 2考點：1.線而線而平行的判斷：2.二而角.【一題多解】以M為坐標原點，A/C, MD, ME所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建 立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)MC = a, MD=b,則C

27、(“,0,0), 3(0,b,0), A(0",2b), 則竄= (abO),冠=(匕21 人2b),nBC = 0,nBA = 0,設(shè)q = (x, ” z)是平而ABC的一個法向蚩:,ax + by = 0, 即彳 2by + 2bz. = 0.不難得到平而A3D的一個法向量為石= (1,0,0),所以 lcosn“2)l=b>Jb2 +2a2在她血中,tanZMDC = 4 = T-20. （1） r =x； （2）詳見解析【分析】（1）借助題設(shè)條件運用向量的數(shù)量積公式建立方程求解：（2）借助題設(shè)運用坐標之間的關(guān) 系進行推證探求.【詳解】（1）解：設(shè)4（為），3匕2，兒）

28、，聯(lián)立方程組' = 2/?'，消元得r-2/v-6/9 = 0,x = my + 3所以】+ 比=2/=-6/?.又OAOB = x$2 + yy2= 9一6卩=6 ,所以p =丄，從而r=x.2(2)因為心=x2+3 my2 + 61 6 1 6所以廠二因此于于2宀®£+佃+戸如 =2nr +12m + ) + 36(丄 + 丄)- 2m2>1>2 片站=2/ +12“遼1 + 36.HJ I?怙 _2滬.又y + y2=2pm = m, yxy2 =-6p = -3,所以丄+ 丄一2=2nr +12m x - + 36 x- 2m2 = 24

29、.kf k2239即門 + £1一 2/71為定值考點：向量的數(shù)量積公式與直線與拋物線的位置關(guān)系等有關(guān)知識的綜合運用.【點睛】易錯點晴：本題是一道考査直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合性問題.解答本題的第一問時， 直接依據(jù)題設(shè)條件建立方程組 = 2/zv，然后再依據(jù)坐標之間的關(guān)系求得拋物線的標準x = my + 3方程為v2=x.第二問的求解過程中，先借助斜率公式將兩直線C4、CB的斜率分別記為1 6 1 6環(huán) 人,并求得+廠=加+ 撚后再運用坐標之間的關(guān)系推證出& X 爲(wèi) >2君+ 土-2亦為定值.從而使得問題獲解.K K121. (1)詳見解析；(2)詳見解析【解析】試題分析：(1)因為/(x) = -x + -G/2-l)lnx,所以廠二").所以函 a xax"數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為("2,+S),單調(diào)減區(qū)間為(0,/).當(dāng)X = "2時，/(X)取得極小值f(a2). (2)由(1)可知：當(dāng)x = a2時，/(x)取得極小值，亦即最小值.又因為-<a<2,2所以-<(r < 4. iSg(x) = x+l-(x-l)lnx(-<x<4),則 g x) = - - In x ,因為gx)44x在丄,4上