2021年1月高三上期末東城數(shù)學(xué)試題

1、學(xué)習(xí)是一件很有總思的事東城區(qū)2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測咼三數(shù)學(xué) 2021. 1本試卷共4頁，150分，考試時(shí)長120分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)朿后,將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題 共40分)一、單項(xiàng)選擇題:認(rèn)真審題，仔細(xì)想一想，然后選出唯一正確答案。共10小題，每小題4分，共40分。(1) 已知集合A = xlx-l0, B = 02,則B =(D) 1,2(A) 0(B) 1(C) 2(2) 已知均是公差為d的等差數(shù)列，S”為其前“項(xiàng)和若5=3創(chuàng)+3,則d =(A) 一2(B) 一1(C)1(D)222(3) 下列函數(shù)中，既是奇函

2、數(shù), 又在區(qū)間(OJ)上單調(diào)遞增的是(A) y = 2"(C) y = - X(D) y = Siiiv(4)將正方體去掉一個(gè)四棱錐,得到的幾何體如圖所示，該幾何體的側(cè)(左)視圖為(5)與圓+(y-l)2=5相切于點(diǎn)(2,2)的直線的斜率為(A) -2(B)-(D)2學(xué)習(xí)是一件很有總思的事(6)函數(shù)/（） = 2sn（x + ）（> OJ 1<的部分圖象如圖所示，則/（） =(C)T(D) 3（7）設(shè), 是兩個(gè)不共線向量,則“a與的夾角為銳角“是“丄（a-b）-的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（8）十二生肖，又叫

3、屬相，依次為鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲、乙、丙三名同學(xué)從中各選一個(gè)，甲沒有選擇馬，乙、丙二人恰有一人選擇羊，則不同的選法有 （A） 242 種（B） 220 種（C） 200 種（D）Ilo 種（9）已知拋物線r =2px（p>0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2,過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且AF=3FB,則點(diǎn)人到$軸的距離為（A） 5（B） 4（C） 3（D） 2（10）某公園門票單價(jià)30元，相關(guān)優(yōu)惠政策如下： 10人（含）以上團(tuán)體購票9折優(yōu)惠： 50人（含）以上團(tuán)體購票8折優(yōu)惠： 100人（含）以上團(tuán)體購票7折優(yōu)惠： 購票總額每

4、滿500元減100元（單張票價(jià)不優(yōu)惠）.現(xiàn)購買47張門票，合理地設(shè)訃購票方案，則門票費(fèi)用最少為（A） 1090 元（B）Il71 元（C）1200 元（D） 1210 元第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（H）復(fù)數(shù)=.i（12）函數(shù)/（x） = +lnA-的定義域是.（13）已知sin° = -g, °Gj,害卜貝IJCOS=, cos2 =.2 2（14）已知雙曲線M:二-二= 1（g>0">0）, AABC為等邊三角形.若點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)RC在雙曲線M上，且Cr Iy雙曲線M的實(shí)軸為AABC的中位線，則雙曲線M

5、的離心率為.(15) 已知函數(shù)f(x) = 2【岫+3【切,xw0,2其中卜表示不超過X的最大整數(shù).例如：1=1,O.5=O,-O.5=-L f)=: 若f(x)>x + a對任意0.2都成立，則實(shí)數(shù)“的取值范圉是三. 解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明演算步驟或證明過程。(16) (本小題13分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PZ)丄平而ABCD，PD = 4,底而ABa)是邊長為2的正方形，E, F分別為PB, PC的中點(diǎn).(I )求證：平面ADE丄平面PC£>；(II) 求直線BF與平而磁所成角的正弦值.(17) (本小題13分)已知函數(shù)(X) = Sin

6、(X-)I ?(X) = Cosx,再從條件、條件2這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求 O(I ) /(X)的最小正周期：(Ii) f()在區(qū)間o,±的最大值.條件:fW = g() h()條件:f(x) = g(x) + h(x).注：如果選擇條件和條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.6（18）（本小題14分）為了解果園某種水果產(chǎn)量情況，隨機(jī)抽取IOO個(gè)水果測量質(zhì)量，樣本數(shù)據(jù)分組為100, 150）, 150, 200）, 200, 250）, 250, 300）, 300, 350）, 350, 400（單位：克）, 其頻率分布直方圖如圖所示：（I）用分層抽樣的方法從樣本里質(zhì)量為250

7、, 300）,300, 350）的水果中抽取6個(gè)，求質(zhì)量在250, 300）的水果數(shù)量;（II）從（I ）中得到的6個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，記X為質(zhì)量在300, 350）的水果數(shù)量，求X的分布列及數(shù) 學(xué)期望：質(zhì)量加（單位：克）w<200200w<300心300等級規(guī)格二等一等特等價(jià)格（元/個(gè)）4710（III）果園現(xiàn)有該種水果約20 000個(gè), 級規(guī)格及銷售價(jià)格如下表所示，試估汁果園該種水果的銷售收入（19 ）（本小題15分）廣 V*1已知橢圓Cr + r = l(>b>0)過點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),且離心率為丄.( o2（I）求橢圓C的方程：（1【）設(shè)直線/與橢

8、圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)且與X軸交于點(diǎn)G（E,G不重合），£7丄X軸，垂足為7I7½l IGAl 求證：而T面(20)(本小題15分)已知函數(shù)/(x) = l-? e(I) 若曲線y = 在點(diǎn)(1,/(1)處的切線平行于直線y=,求該切線方程(II) 若 = l,求證：當(dāng) X>O 時(shí)，f(x) > 0 .(III) 若/a)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的值.(21)(本小題15分)給定正整數(shù) m t(mt)9 若數(shù)列 A: ae t2>> %滿足：Ui e 0 1 ； ai = Ui I Ul +a2 + + at =Hit 則稱數(shù) 列A具有性質(zhì)E(t, i

9、n).對于兩個(gè)數(shù)列 B:bp b29f m>, CClf c2v, C十定義數(shù)列 8 + C的項(xiàng)為:S + Cp b2 +c2>t bn +c>.(I) 設(shè)數(shù)列A具有性質(zhì)£(4,2) I數(shù)列B的通項(xiàng)公式為bn = H I求數(shù)列 + B的前四項(xiàng)和；(II) 設(shè)數(shù)列 Af(N*)具有性質(zhì) E(4, m)l 數(shù)列 B0,優(yōu),，,滿足：bl = 1, =2, =3, =4b.=bj+4(jeK).若存在一組數(shù)列4, A2,., 4使得A+A2+ + 4+B為常數(shù)列，求出加所有可能的值；(In)設(shè)數(shù)列4(沱M)具有性質(zhì)£(/, r 1)(常數(shù)2),數(shù)列B滿足：bl=

10、,化=2, b,=t I且bj=b計(jì)(jwN、若存在一組數(shù)列4,街，4,使得A+為常數(shù)列，求的最小值(只需寫出結(jié)論)學(xué)習(xí)是一件很有意思的爭2021.1東城區(qū)2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測高三數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)(I) D(2) C(3) D(4) B(5) A(6) A(7) B(8) C(9) C(10) B二' 填空題(共5小題，每小題5分，共25分)(II) 4-3i(12)+)(13)-73L/9（14） 24（3"(15)-一 00,_2兀2 一3演算步驟或證明過程。三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫

11、出文字說明,（16）（共 13 分）解：(I )因?yàn)镻D丄平而ABCD,所以PD丄AD.因?yàn)榈锥鳤BCD是正方形，所以AD丄CZZ因?yàn)?PDCD = D, 所以AD丄平而PCD.又因?yàn)锳DU平WiADE,所以平而ADE丄平而PCD(II) 因?yàn)镻D丄平而ABCD, 所以PD丄AD PD丄CD.因?yàn)榈锥鳤BCD是正方形，所以AD丄CD. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-XyZ.因?yàn)镻D = 4,底而ABCD為邊長為2的正方形,7學(xué)習(xí)是一件很有總思的事則 Sin = COS V BFJn >阿4_4書IBFllml >9 × >/515所以直線財(cái)與平而初E所成角的正弦值為誓.

12、13分(17) (本小題13分)解:選擇條件：f(x) = g(x)h(x)(I ) f(y) = Sin(X - ) COS X6= (SinX-ICOSX)COSX= SinXCoSX-Icox2 2V? 1 . c 1 l + cos2xsn2x2 2 2 2Sin 2x-COS 2x -444所以.f (X)的最小正周期是兀(Il)因?yàn)?x0,¾,厶兀 / c J5 所以 一7<2x-7 丁.OO O所以P(0,0,4), A(2,0,0), 3(2,2,0), C(0,2,0),D(0,0,0), E(1J,2), F(O丄2).麗= (2,0,0), DE = (1

13、,1,2), BF = (-2,-1,2) 設(shè)平面ADE法向量/” = (x, y, Z),(/ DA = 0, Z (2x = 0,由一可得in DE = 0, ÷ y + 2乙=° 令Z = -I,則X = O,y = 2, 所以加=(0,2,-1).設(shè)直線BF與平而ADE所成角為 14所以sin(2x-) 1.當(dāng)2x- = -,即X = Z時(shí)，fCr)有最大值丄.13分選擇條件：f(x) = g(x) + hM.(4SinX-I-)÷sSinA-÷lcosx2 2 =Sin(X+ ).所以/(X)的最小正周期是27分 (II)因?yàn)?xe0,

14、0;,厶所以-sin(x + )l.13分當(dāng)兀+嚴(yán)=,即 = £時(shí)J(X)有最大值1623(18) (共 14 分)解:(I )質(zhì)量在250, 300), 300, 350)的該種水果的頻率分別為O oO8×50=0.4, 0.004x50=0.2,其比為 2： 1.所以按分層抽樣從質(zhì)量在250, 300), 300, 350)的這種水果中隨機(jī)抽取6個(gè), 質(zhì)量在250. 300)的該種水果有4個(gè).(II)由(I)可知，6個(gè)水果中有2個(gè)的質(zhì)300, 350). 所以X的所有可能取值為0 1, 2.所以X的分布列為10分(In)由頻率分布直方圖可知，質(zhì)量在100, 150),

15、150, 200), 200, 250), 250, 300), 300, 350), 350, 400的該種水果的頻率分別為 0.1, 0.1, 0.15, 04 0.2, 0.05.所以估計(jì)20 000個(gè)水果中，二等品有20000x(0.1+0.1>4 000個(gè)：一等品有 20 OOOx(0.15÷0.4)=ll OOO 個(gè)； 特等品有 20 OOO×(O.2+O.O5)=5 OOO 個(gè). 果園該種水果的銷售收入為4 000×4+ll 000×7+5 000×10=143 OoO(元).14分(19) (共 15 分) = 2,解：(

16、I )依題意，得- = ia 2解得/=4萬=3.所以橢圓C的方程為手+卜y c /?：, 由 V2V2÷-= IU3(H)由題設(shè)知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為:ykxm(0).消去 y ,整理得(3+4k2 )x2 + SkmX + (4m2 -12) = 0.依題意，有厶=64k2m2 -16(3 + 4k2)(m2 -3) = 0 ,解得m2=3 + 4k2.設(shè)GM),%)，則Lb=熬4kInAb因?yàn)镋TlX軸，所以T(一,0).InI 4kIrel 12-(-)1InI 一4£ + 2m I I In - 2k II Im + 4k Ilm + 2kl又因?yàn)橐?/p>

17、一二一IGBI15分(20) (本小題15分)【解析】(I)因?yàn)閒(x) = d2),所以f(i) = -3 = ,故CI = Yee所以/(l) = l- = 2,所以，所求切線方程為y-2 = x-l,即y = x+l.C4分(II) 當(dāng) = l時(shí)，/(X) = I-, f(x) = V(V2),e'e當(dāng) XW(0,2)時(shí)，/() < 0:當(dāng) xe(2,÷oo)時(shí)，f(x)>0.所以/(X)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,÷oo)單調(diào)遞增.4 所以，/(x)的極小值/(2) = 1- >0,故 x>0, f(x)> 0.13 分ax2

18、(III) 對于函數(shù)/U) = l-?e(i) 當(dāng)a0時(shí)，/()>0, /(x)沒有零點(diǎn)；(ii) 當(dāng)>0時(shí)，/(X) = v( V2).e當(dāng)XW(YQ,0)時(shí)，/() > 0 ,所以F(X)在(8,0)單調(diào)遞增；當(dāng)x(0,2)時(shí),f(x) < 0.所以f()在(0,2)單調(diào)遞減：當(dāng)xe(2,-z>)時(shí)，f(x)>0,所以/(X)在(>,0)單調(diào)遞增：所以/(0) = 1是/U)的極大值，/=1 一 *是f(x)的極小值.e'所以/Cr)在(YO,0)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)由于/(2) = 1- e(D若/(2)>0,即d< J,于在(0,2)沒有零點(diǎn); 若/(2) = 0,即d = £l, /V)在(0,2)只有一個(gè)零點(diǎn): 若/(2) < 0,即fl>-,由于/(0) = 1,所以/在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn), 由(II)知，當(dāng)x&g