2013年高中數(shù)學(xué)解題思路大全：均值不等式求最值策略.

1、均值不等式求最值策略陳本平 陳同量 米新生應(yīng)用平均值不等式求最值時，要把握平均值不等式成立的三個條件 忽略了任何一個條件，就會導(dǎo)致 解題失敗，若出現(xiàn)問題，又怎樣另辟 求最值呢？本文提出一些思路。5x :4所以4x -5：0故5-4x 0所以4y二4x _14x 54=4 -(5 -4x)5 4x一4-2(5-4x)544x=02.拆添配湊，變動為定，使之適合“二定”條件，過第二關(guān)利用均值不等式求最值，變形構(gòu)造出“定值”是難點(diǎn)，其方法如下:(1) 變形法例2.求函數(shù)2的最小值。x+2“一 廠y -一2(x R)lx2+1解：因?yàn)閤三R所以x21 -10“一正二定三相等”蹊徑，尋求新方法來1.調(diào)整

2、符號,化負(fù)為正，使之適合“一正”條件，過第一關(guān)例1.已知x匚，求函數(shù)5 443時，x =4ymax= 02y = (x1)1x21,x211一x21_2二2x21當(dāng)且僅當(dāng)即X=時，ymin=2min(2)配湊法例3.已知x 3，求函數(shù)8的最小值。y = 2x -x3解:因?yàn)閤 3則有2x - 6、0,0 x -3所以y=2x82x686x3x 3當(dāng)且僅當(dāng)x3) x83 2(x 3)，即X=5時，y.=14-33.分離常數(shù)(1)拆項(xiàng)法例4.當(dāng)時,x2-3x 1的最小值。x 1解:因?yàn)閤 -1所以所以2_ (x 1) -5(x 1)5x0 v人土甲乙A8 t7+ J- X）t7f乙+P =（X小）

3、（X乙）辻皿曲+ /： A 0XjX一YMW$IWB（乙）（辛雖）L# x擋吿今乙=XBA乙乙 乙間笛咖J Tdg，川+x）x 1+ + x =gx+異x- 卜乙=x /9- - U+x）：s“ x9- （1+ x）=9所以11y =(a )(b)a b1ba二ababab1-(ab )2ab=(.ab)2Vab-3255.“三關(guān)”難過，前進(jìn)受阻，應(yīng)另辟蹊徑(1)利用代數(shù)、三角換元例9.若a，b為正實(shí)數(shù)，且ab=1，求11的最小值。y=(1+_)(1 + )a b解：因?yàn)閍，b 0，且a b =1所以可設(shè)-2 2a =sin-：,b = cos5(0, 一)則11y = (12)(12)sin

4、 a cos a2 2 2 2sin - cos、丄sin - cos =(1豈一)(1竺長j)sin acosa22=(2 cot：)(2 tan :)2 2=4 2(tan二“ cot：) 1-54 tan2：cot2：= 9當(dāng)且僅當(dāng)tan2： cot?：，即2二時取等號，這時tan口= 1, o = a = b4a+b=1，所以y.=9in=(4 - ab-3. ab)1，滿足2(2)引入?yún)?shù)，巧渡難關(guān)A2：x + 2y聖所以Pmin=16(3)利用函數(shù)單調(diào)性例11.求2的最小值。x +5 / -2(x R)Jx2+44一2易知1f()：在扎w2, +辺)上單調(diào)遞增，所以乙=2時,fmin()二例10.已知x，9+y，求P=X+y的最小值。=1解：設(shè) 0,由已知有(x_1) =0所以二x y：(x-1)欲取等號，當(dāng)且僅當(dāng)9時，=16，此