第7講相交線與平行線教師版

1、第七講相交線與平行線中考要求板塊考試要求a級要求b級要求c級要求相交線1、 了解補角、余角、對頂角，知道等角（同角）的余角相等、等角（同角）的補交相等、對頂角相等2、 了解垂線、垂線段等概念，了解垂線段最短的性質，理解點到直線的距離的意義3、 了解線段垂直平分線及其性質4、 知道過一點有且僅有一條直線垂直于已知直線1、 會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線2、 會用線段垂直平分線的性質解決簡單問題平行線及其判定了解平行線的概念，理解同一平面內兩條直線的位置關系，掌握平行公里及推論，會畫平行線1、 掌握平行公里及推論，掌握平行線的三種判定方法2、 運用平行線的判定方法解決實際問題初步了解推理

2、論證的方法，逐步培養(yǎng)邏輯推理能力平行線性質知道過直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線理解兩條平行線之間距離的意義，會度量兩條平行線之間的距離1、 會用三角尺或直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線2、 掌握平行線的性質，會判斷兩條直線是否平行知識點睛相交直線的概念及性質如果直線與直線只有一個公共點，則稱直線與直線相交，為交點，其中一條是另一條的相交線相交線的性質：兩直線相交只有一個交點 鄰補角的概念：兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做互為鄰補角.如圖中，和，和，和，和互為鄰補角.互為鄰補角的兩個角一定互補，但兩個角互補不一定是互為鄰補角。對頂角的概念及性質：

3、（1）對頂角的概念：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角. 我們也可以說，兩條直線相交成四個角，其中有公共頂點而沒有公共邊的兩個角叫做對頂角.如圖中，和，和是對頂角.（2）對頂角的性質：對頂角相等。垂線的概念及性質：（1）垂線的概念：垂直是相交的一種特殊情況，兩條直線互相垂直，其中一條叫另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足. 如圖所示，可以記作“于”（2）垂線的性質：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直；連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡單說成：垂線段最短.同位角、內錯角、同旁內角的概念：同位角：兩條直線被第三條直線所截，位置相同的一對角(兩

4、個角分別在兩條直線的相同一側，并且在第三條直線的同旁)叫做同位角如圖所示，1與5，2與6，3與7，4與8都是同位角.內錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條直線之間，并且位置交錯，(即分別在第三條直線的兩旁)，這樣的一對角 叫做內錯角，如圖中，3與5，4與6都是內錯角同旁內角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內角，如圖中，3與6，4與5都是同旁內角.平行線的概念：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作。平行線的性質：平行線之間的距離處處相等.兩條直線的位置關系在同一平面內，兩條直線的位置關系只有兩

5、種：相交；平行。因此當我們得知在同一平面內兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）注意：判斷同一平面內兩直線的位置關系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：有且只有一個公共點，兩直線相交；無公共點，則兩直線平行；兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（因為兩點確定一條直線）平行線的畫法：平行線的畫法是幾何畫圖的基本技能之一，在以后的學習中，會經(jīng)常遇到畫平行線的問題方法為：一“落”（三角板的一邊落在已知直線上），二“靠”（用直尺緊靠三角板的另一邊），三“移”（沿直尺移動三角板，直至落在已知直線上的三角板的一邊經(jīng)過已知點），四“畫”（沿三角板過已知點的邊

6、畫直線）平行公理平行線的存在性與惟一性經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行平行線的判定兩直線平行的判定方法方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 簡稱：同位角相等，兩直線平行方法二兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行 簡稱：內錯角相等，兩直線平行方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行 簡稱：同旁內角互補，兩直線平行方法四 垂直于同一條直線的兩條直線互相平行方法五 （平行線公理推論）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相

7、平行方法六 （平行線定義）在同一平面內，不相交的兩條直線平行平行線的性質：性質一：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等簡稱：兩條直線平行，同位角相等性質二：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等簡稱：兩條直線平行，內錯角相等性質三：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補簡稱：兩條直線平行，同旁內角互補兩條平行線間的距離：同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度叫做這兩條平行線的距離。平行線間的距離處處相等重、難點重難點：1. 了解垂線段最短的性質，體會點到直線距離的意義2. 熟練掌握鄰補角的概念，會利用鄰補角及余角求角度3. 能用相交線的知識解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡單的實際

8、問題4. 利用同位角，內錯角，同旁內角判定兩條直線的位置關系5. 運用這些判定解決實際問題例題精講一、 相交線概念及性質【例1】 判斷正誤： 三條直線兩兩相交有三個交點（） 兩條直線相交不可能有兩個交點（） 在同一平面內的三條直線的交點個數(shù)可能為，（） 同一平面內的條直線兩兩相交，其中無三線共點，則可得個交點（） 同一平面內的條直線經(jīng)過同一點可得個角（平角除外）（）【解析】 因為“兩兩相交”包含三條直線交于一點的情況 假設兩條直線有兩個交點，這說明經(jīng)過兩點的直線有兩條，這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”相矛盾，所以兩條直線相交只能有一個交點，不可能有兩個 因為如下圖三直線的位置關系如下： 【例2

9、】 平面內兩兩相交的條直線，其交點個數(shù)最多為幾個？【解析】 很容易得到最少的交點個數(shù)是個；對于最多的情況，不妨從簡單情況入手，畫圖探索規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，平面內條直線兩兩相交最多有：個交點，那么平面內兩兩相交的6條直線最多有15個交點. 條直線最多可將平面分成幾部分？ 仍可以從簡單情況入手，畫圖探索規(guī)律，(圖可用上圖)：1條直線最多可將平面分成2部分；1條直線最多可將平面分成4部分；1條直線最多可將平面分成7部分；1條直線最多可將平面分成10部分；發(fā)現(xiàn)規(guī)律，條直線最多可將平面分成：部分.二、對頂角鄰補角【例3】 下列圖中和是對頂角的有（ ） a1對 b0對c2對d3對 下列四個圖中，與成鄰補角

10、的是（ ） a bc d【解析】 b； c對頂角的識別：有公共頂點；兩邊均互為反向延長線鄰補角的識別：有公共頂點；有一公共邊；另一邊互為反向延長線【例4】 已知：如圖1，直線、交于點，且，求的度數(shù) 如圖2，、交于點，求的對頂角和鄰補角的度數(shù) 如圖3，直線、交于，平分，求的度數(shù) 【解析】 由對頂角相等可知，又，故從而由、互為鄰補角可知， 由對頂角相等可知，故由、互為鄰補角可知，由對頂角相等可知，的對頂角 由、互為鄰補角可知，又，故，由對頂角相等可知，又平分，故，從而可知，【鞏固】 如圖所示,與相交所成的四個角中,的鄰補角是_,的對頂角是_.若,則_,_,=_.【解析】 考察鄰補角和對頂角的定義2

11、和4，3，155°，25°，155°【鞏固】 如圖所示,直線相交于點,若,則=_,_.【解析】 1+2180°，1-270° 255°bod1125°答案：125°，55°【鞏固】 如圖所示,直線與相交于點,求的度數(shù). 【解析】 由題意，aoc:aod2:3，aoc+aod 180°aoc72bodaoc 72°【鞏固】 如圖所示，直線a、b、c兩兩相交,，求的度數(shù). 【解析】 123，265°1265°36532.5°4332.5°【例5】 如

12、圖所示，兩條直線相交，有 對對頂角，三條直線相交于同一點，有 對頂角；四條直線相交于同一點，有 對對頂角，條直線相交于同一點有 對對頂角【解析】 兩，六，十二，掌握探索方法，在探索過程中適時進行類比、歸納、概括這是一道探索規(guī)律題，要注意觀察尋找變化的特征直線、相交，有兩對對頂角；直線分別與、又各組成兩對對頂角，所以、相交于同一點，有對對頂角；直線分別與、各組成兩對對頂角，所以、相交于同一點有對對頂角；、相交于同一點，有對對頂角【鞏固】 （1）為平面上一點，過在這個平面上引2005條不同的直線則可形成_ 對以為頂點的對頂角.【解析】 （1）設過o的n條直線可形成對對頂角，n=2時，n=3時，n=

13、4時， 【鞏固】 三條直線兩兩相交于同一點時，對頂角有對，交于不同三點時，對頂角有對，則與的關系（   ）    a.        b.       c.      d.【解析】 a三條直線兩兩相交于同一點時，對頂角有6對，交于不同三點時，對頂角有6對,所以m=n 【例6】 過點任意作7條直線，求證：以為頂點的角中，必有一個小于.【解析】 如圖，點把7條直線分成14條射線，記為，.相鄰

14、兩射線組成14個角，記為，.其和為一個周角：.若結論不成立，則，.相加，得.這一矛盾說明，在，中，必有一個角小于.【鞏固】 三條不同的直線相交于同一點，其中某兩條直線相交得到的一對對頂角是600在以為頂點的六條射線上各取一不同于的點，按順時針方向依次記為則和中至少有兩個角是( ) (a)600 (b)1200 (c)銳角 (d)鈍角【解析】 如下圖所示，畫出兩條直線在點o處交成600對頂角后，第三條過點0的直線要么過600角內部，要么過1200的內部(即600角的外部)無論下圖中(a)，(b)哪種情況，都至少有兩個角是銳角故選(c)【例7】 （1）下列四個命題：如果兩個角是對頂角，則這兩個角相

15、等如果兩個角相等，則這兩個角是對頂角如果兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等如果兩個角不相等，則這兩個角不是對頂角其中正確的命題有 ( ) (a)1個 (b)2個 (c)3個 (d)4個（2）下列說法中正確的有（ ）一個角的鄰補角只有一個；一個角的補角必大于這個角；若兩角互補，則這兩個角一定是一個銳角、一個鈍角；互余的兩個角一定都是銳角。(a)0個 (b)1個 (c)2個 (d)3個【解析】 (1)b;(2)b; 一個角有兩個鄰補角，所以是錯的；一個角的補角可能大于、小于或是等于這個角，所以是錯的；兩個直角互補，所以是錯的；是正確的三、垂線【例8】 下列說法中正確的是（ ）點到直線的距離是點到直

16、線所作的垂線;兩個角相等,這兩個角是對頂角;兩個對頂角互補,則構成這兩個角的兩條直線互相垂直;連接直線外一點到直線上所有點的線段中垂線段最短.a. b. c. d. 【解析】 c【鞏固】 為直線外一點,點為上的三點,且,那么下列說法錯誤的是（ ）a.三條線段中，最短b.線段叫做點到直線的的距離c.是點到的垂線段d.線段的長是點到的距離【解析】 結合圖象，a、b、c是正確的，只有d是錯誤的【例9】 如圖1，在直角三有形中，于，比較線段、的大小 如圖2，點處是一座小屋，是一條公路，一人在處，此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？此人要到公路，怎么走最近？理由是什么？ 【解析】 （1）由可知，故（垂

17、線段最短）又，故（垂線段 最短）故（2）走線段，因為兩點之間線段最短；如圖3，過點作，垂足為，走線段，因為垂線段最短.【鞏固】 如圖1，已知，垂足為，則點到直線的距離為線段 的長；線段的長為點 到直線 的距離 如圖2，直線與相交于，求和的度數(shù) 【解析】 ， （垂直定義）（對頂角相等），（垂直定義）【點評】 初學的同學做此題很容易做錯，有一種線段太多不易判斷的感覺，實際上在看圖時，只要把一相關的線暫時隱藏，問題就可以解決例如：觀察點到直線的距離時，眼中只有點與，然后自己畫出其垂線段，再看所畫線段與誰重合 本題綜合運用了兩角互余、對頂角相等等性質由已知條件和觀察圖形，可知與互余，與互余，和的對頂角

18、，利用這些關系可解此題【鞏固】 如下圖所示，在一個面積為1843200平方米的正方形貨場中有一條長為1600米的直線鐵路.現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車停放在點，如果卡車的速度是每分鐘96米，請說明11分鐘內能否將這車貨物運到鐵路線旁？ 【解析】 因為卡車的速度是固定不變的卡車11分鐘內能否將貨物運到鐵路線旁，關鍵是能否在鐵路線ae上找到一點，使這點到d點的距離不大于11分鐘卡車所行駛的路程由“直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短”，想到過點d作ae的垂線，然后再比較垂線段的長度與卡車11分鐘能行駛的路程的大小，得出結論【詳解】 如下圖所示，汽車由d點到直線鐵路段ae的最短距離是由d向a

19、e引的垂線dh連結de卡車行1152米，需要1152÷96=12(分鐘)>(11分鐘)所以 在11分鐘內不能將這車貨物由d點運到鐵路線旁四、同位角、內錯角、同旁內角【例10】 如圖1，與是兩條直線 與 被第三條直線 所截構成的 角與是兩條直線 與 被第三條直線 所截構成的 角與是兩條直線 與 被第三條直線 所截構成的 角與是兩條直線 與 被第三條直線 所截構成的 角與是兩條直線 與 被第三條直線 所截構成的 角 如圖2，找出圖中用數(shù)字標出的角中的同位角、內錯角和同旁內角【解析】 與是兩條直線與被第三條直線所截構成的同位角與是兩條直線與被第三條直線所截構成的同位角與是兩條直線與被

20、第三條直線所截構成的內錯角與是兩條直線與被第三條直線所截構成的內錯角與是兩條直線與被第三條直線所截構成的同旁內角 同位角有：與、與、與；內錯角有：與、與、與、與；同旁內角有：與、與、與、與【點評】 從較復雜的圖形中分解出有關角的直線，因此可以得到與是由直線，被第三條直線所截構成的同位角，如圖，類似可知其他情況 三線八角的判定技巧：兩條直線被第三條直線所截，所形成的三線八角中，究其實質，可簡單概括為“、”型“”型是找同位角的方法，即：如圖，和就是一對同位角，現(xiàn)改變“”的方向，如圖等，各個圖中與依然是同位角“”型是找內錯角的方法，如圖，和就是一對內錯角，改變“”的方向后，各個圖中和還是內錯角，如等

21、“”型是找同旁內角的方法，如圖，和就是一對同旁內角，改變“”的方向后，如等，各個圖中，和還是同旁內角【鞏固】 下列圖中1和2是同位角的是（ ）a.、 b.、 c.、 d.、【解析】 d判斷什么是同位角，圖（1）、（2）、(5)中的1和2是同位角【鞏固】 用數(shù)碼標出圖中與是同位角的所有角【解析】 的同位角有，【點評】 的兩條邊所在的直線是，若把看成是第三條直線，則有：1）截直線及，得的同位角為；2）截直線及，得的同位角為；3）截直線及，得的同位角為；若把看成第三條直線，則有4）截直線，及，得的同位角為；5）截直線及，得的同位角為；6）截直線及得的同位角為【鞏固】 找出下面各圖形中用數(shù)字表示的各角

22、中，哪些是同位角，內錯角？哪些是同旁內角？ 【解析】 圖中，與是直線、被直線所截形成的同位角；與是直線、被直線所形成的內錯角；與是直線、被直線所截形成的同旁內角.圖中，與是直線、被直線所截形成的內錯角；圖中，與是直線、被直線所截形成的同位角.【鞏固】 找出圖中所有的同位角、內錯角和同旁內角，并指出它們分別是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的【解析】 與是直線、被直線所截形成的同位角；與是直線、被直線所截形成的內錯角；與是直線、被直線所截形成的同旁內角；與是直線、被直線所截形成的同旁內角； 與是直線、被直線所截形成的同旁內角；【例11】 (1)如圖，圖中與1 成同位角的個數(shù)是（ ）a.2 b.3

23、c.4 d.5【解析】 b(2)下圖有 對內錯角【解析】 做此類型題：第一、要找三種關系角（同位角、內錯角、同旁內角）關鍵在于尋找線段；第二、不同的線段找出來的三種關系角是不會重復；第三、在線段很多的時候，要找出相同特點的線段的條數(shù)，只需算出一條線段的關系角的對數(shù)，故該特點的線段的關系角為在本題中，線段、，每條線段都有對內錯角；線段、，每條線段都只有對內錯角；線段、，每條線段都只有對內錯角；線段、，每條線段都有對內錯角；故總的內錯角為：(3) 如下圖，平行直線、與相交直線、相交，圖中的同旁內角共有 對.【解析】 圖中有條線段，所以有對同旁內角【鞏固】 若平面上有條直線兩兩相交且無三線共點，則共

24、有同旁內角 對.【解析】 每條直線都與另條直線相交，有個交點 ，每兩個交點決定一條線段，共有條線段，而每條線段兩側各有一對同旁內角，共有條線段，總共有對同旁內角.【鞏固】 兩條平行直線被第三條直線所截，有幾對同位角，幾對內錯角，幾對同旁內角. 三條平行直線呢?四條、五條呢? 你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律.【解析】 兩條平行直線被第三條直線所截，有對同位角，對內錯角，對同旁內角. 當有條平行線時，有對同位角，對內錯角，對同旁內角；當有條平行線時，有對同位角，對內錯角，對同旁內角；當有條平行線時，有對同位角，對內錯角，對同旁內角. 當條線彼此平行時，被直線所截，即，則共有(，)、(，)、(，)、(,)；(，)

25、、(，)、(，)、共對平行線，每對平行線被所截，產(chǎn)生對同位角，對內錯角，對同旁內角，則共有對同位角，對內錯角，對同旁內角.五、平行線判定【例12】 學習了平行線后，小敏想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，她是通過折一張半透明的紙得到的如圖2：圖2從圖中可知，小敏畫平行線的依據(jù)有( )兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；同位角相等，兩直角平行；內錯角相等，兩直線平行；abcd【解析】 由折紙方法可知，直線，都和直線互相垂直所以，理由是或故選c【例13】 下列說法中，不正確的是（ ）a.如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行b.過直線外一點，有且只有一條

26、直線和這條直線相交 c.同一平面內的兩條不相交直線平行d.過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行【解析】 b本題主要考察兩直線平行的識別.根據(jù)平行公理及其推論可知a、d正確；同一平面內的兩條直線的位置關系只有相交和平行兩種，c正確；過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，而有無數(shù)條直線與這條直線相交，b不正確.【例14】 如圖1：已知，求證： 證明：（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）又（ ） （ ）（ ）（ ）（ ） 根據(jù)圖2在（ ）內填注理由：（已知）（ ）（已知）（ ）（已知）（ ） 如圖3，（已知），（已知）又 （ ） （ ）（ ）【解析】 已知：，；內錯角相等，兩直線平行；兩直

27、線平行，內錯角相等；已知；等量代換；，；同位角相等，兩直線平行 同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行 2；3；對頂角相等；1；等量代換；內錯角相等，兩直線平行【例15】 請你分析下面的題目，從中總結規(guī)律，填寫在空格上，并選擇一道題目具體書寫證明.如圖，已知：，直線分別交，于，分別平分，.求證：.從本題我能得到的結論是： .如圖，已知：，直線分別交，于，分別平分， .求證：.從本題我能得到的結論是： .如圖，已知：，直線分別交，于，分別平分， ，相交與點.求證：.從本題我能得到的結論是： .如圖，已知：，相交于，平分，平分.求證：，三點共線.從本題我能得到的結

28、論是： .【解析】 證明：，又，分別平分，從本題我能得到的結論是： 兩直線平行，同位角的角平分線平行. 證明：，又，分別平分，從本題我能得到的結論是： 兩直線平行，內錯角的角平分線平行. 證明：，又，分別平分，從本題我能得到的結論是： 兩直線平行，同旁內角的角平分線垂直. 證明：，相交于，平分，平分，即，三點共線 從本題我能得到的結論是： 對頂角的平分線，在一條直線上. 要證明三點共線 ，我們可以通過證明這三點所成的角為.【鞏固】 如圖1，直線及上兩點、，如圖1，分別過、畫的垂線，你發(fā)現(xiàn)這兩條直線的位置關系是怎樣的？ 如圖2，分別能得出哪兩條直線平行？(3)如圖3，直線、被所截，那么與平行嗎？

29、為什么？ 圖3【解析】 如圖，（同位角相等，兩直線平行）這個結論以后可以當作一個定理來用垂直于同一直線的兩直線平行 （已知），（內錯角相等，兩直線平行）（已知），（內錯角相等，兩直線平行）（已知），（內錯角相等，兩直線平行）（已知），（內錯角相等，兩直線平行）(3) ，（已知），（同旁內角互補，兩直線平行）【例16】 一學員在廣場上練習駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是( )a.第一次向左拐，第二次向右拐b.第一次向右拐，第二次向左拐c.第一次向右拐，第二次向右拐d.第一次向左拐，第二次向左拐【解析】 選擇a，注意區(qū)分拐角是與前進方向所成的角，本題考察了同

30、位角相等，兩直線平行.教師可將此題的后三個選項拓展，讓學生求出兩次拐角后與原方向的夾角.【例17】 在同一平面內有，97條直線，如果，那么與的位置關系是 .【解析】 尋找規(guī)律，；，4個一循環(huán)，所以六、平行線性質【例18】 下列圖形中，由，能得到的是（ ）a b c d【解析】 b【例19】 如圖1，則的度數(shù)是 如圖2，直線與直線，相交若，則的度數(shù)是 如圖3，直線，則的度數(shù)為（ ）abcd【解析】 ；c【鞏固】 （1）如圖3，已知直線，求的度數(shù)【解析】 （1），（已知），（兩直線平行，同旁內角互補）（對頂角相等）（已知），（三角形內角和）（2）如下圖所示，已知：，求證：；已知：，求證： 【解析】

31、 （2）（已知），（兩直線平行，內錯角相等）（已知），（等量減等量差相等）（內錯角相等，兩直線平行）（已知），（兩直線平行，內錯角相等）又（已知），（兩直線平行，內錯角相等）（等量減等量差相等）【例20】 已知，如圖2，四邊形中，平分，求的度數(shù)已知：如圖3，于，于，平分請找出與相等的角 圖2 圖3【解析】 （1）（已知），（兩直線平行，內錯角相等）平分（已知），（已知），（兩直線平行，同旁內角互補）故（2） 平分（已知），（角平分線的定義），（已知），（垂直于同一直線的兩直線平行）（兩直線平行，同位角相等），（等量代換）與相等的角有和【例21】 如左下圖，已知：，求證：如右下圖，已知，求證：

32、【解析】 (法1)：如圖所示，過點作，過點作，則，則，又因為，所以，即(法2)：如圖所示，延長，相交于點， ，如果延長，相交于點，如右圖，也可用同樣的方法證明(法3)：如右圖所示，連接點， 如右圖所示，分別過點，做和的平行線，易得：即有：【鞏固】 證明：三角形三個內角的和等于【解析】 平角為1800，若能用平行線的性質，將三角形三個內角集中到同一個頂點，并得到一個平角，問題即可解決證法1 : 如左下圖所示，過abc的頂點a作直線/bc，則 所以b+bac+c=1800 (等量代換)即三角形三個內角的和等于1800 證法2 : 如右上圖所示，延長bc，過c作ceab，則 1=a(兩直線平行，內錯

33、角相等)， 2=b(兩直線平行，同位角相等)又因為bca+1+2=1800， 所以 bca+a+b=1800'，即三角形三個內角的和等于1800【鞏固】 如右圖所示，已知，平分，平分.求證： 【解析】 過點e作ef/ab，如下圖所示，因為 ab/cd ，故ef/cd，于是abe= bef，cde=fed ，從而bed=bef+fed=abe+cde ，又be，de 平分abc，adc ，所以abe=abc，cde=adc，因此bed=（abc+ adc），因 ab/cd，故 abc=c ， adc=a， 于是bed= （a+ c）， 即e=（a+c）【鞏固】 已知：如圖所示，則_ 【解

34、析】 如上右圖所示，過點e作ab的平行線ef，則1+23+4180°，1110°，2120° 3+4360°-110°-120°130°180°-130°50°【鞏固】 如下圖，求的度數(shù) 【解析】 如圖，過點作，又，【鞏固】 (初二第屆希望杯試)如圖，直線，則的大小是 . 【解析】 過點，作，的平行線，那么，在中,又， 【例22】 如下圖所示，已知，分別探討下面四個圖形中與，的關系.【解析】 過做、的平行線，即可得如下結論： ； ； ； .【鞏固】 如圖，已知，探索、，、之間的關系.如圖，已知，

35、探索、，、之間的關系.如圖，已知，探索、之間的關系.【解析】 ；(向右凸出的角的和向左凸出的角的和，,均為銳角)；注意和第問的區(qū)別；.總結方法思想,巧作平行線.【鞏固】 如下圖所示，兩直線平行，則l+2+3+4+5+6=( )(a)630° (b)720° (c)800° (d)900°【解析】 d，分別過點做的平行線，再求各個角度的和.【鞏固】 （第12屆希望杯）如圖所示，證明：【解析】 證法l ： 因為abed，所以(兩直線平行，同旁內角互補)過c作cfab(如圖)由 abed，得 cfed(平行于同一條直線的兩條直線平行)因為cfab，有b=1(兩

36、直線平行，內錯角相等) 又cfed，有2=d，(兩直線平行，內錯角相等)所以 (周角定義)所以 (等量代換)證法2： 由abed，得(兩直線平行，同旁內角互補)過c作cfab(如圖)由abed，得cfed.(平行于同一條直線的兩條直線平行)因為 cfab，所以(兩直線平行，同旁內角互補)，又 cfed，所以(兩直線平行，同旁內角互補)所以所以(等量代換)【鞏固】 如圖所示，若abcd，則角、的關系為 ( )a+=360° b.-+=180° c+=180° d.+-=180° 【解析】 加輔助線：角的頂點為e，作ef/ab.家庭作業(yè)【習題1】 互不重合的三條直線的交點個數(shù)是（）a.可能是個、1個或個 b. 可能是個、2個或個 c.可能是個、1個或2個 d. 可能是個、1個、個或個【解析】 d 互不重合的三條直線的交點個數(shù)可能是個、1個、個或個【習題2】 下列說法中正確的有（ ）一個角的鄰補角只有一個；一個角的補角必大于這個角；若兩角互補，則這兩個角一定是一個銳角、一個鈍角；互余的兩個角一定都是銳角。a.0個 b.1個 c.2個 d.3個【解析】 b 一個角有兩個鄰補角，所以是錯的；一個角的補角可能大于、小于或是等于這個角，所以是錯的；兩個直角互補，所以是錯的；是正確的【習題3】 下列說法正確的是（