初二數(shù)學(xué)特殊平行四邊形

1、特殊平行四邊形（一）初二數(shù)學(xué) 矩形：矩形： 一課內(nèi)知識的回顧：一課內(nèi)知識的回顧：1矩形的特征：矩形的特征：邊：對邊平行且相等； ab/dc , abdc，ad/bc ，adbc角：四個角相等，都等于90；abcd90對角線：對角線互相平分且相等； aoco，bodo，acbd 對稱性：既是軸對稱又是中心對稱圖形odcbaabcd2矩形的識別方法：矩形的識別方法：有三個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；有一個角是直角的平行四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形3個條件1個條件2個條件3與矩形相關(guān)的三角形：與矩形相關(guān)的三角形：注意：當(dāng)邊ab等于對角線ac一半時，矩形中

2、出現(xiàn)的三角形都是特殊的三角形（含30角的直角三角形、等邊三角形、含120角的等腰三角形）abcdoabcobcoba利用矩形對角線的特征，可以得到下面結(jié)論： 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 如圖：abc中，abc90，點o是ac的中點， 則boac21oacb二矩形知識的應(yīng)用舉例：二矩形知識的應(yīng)用舉例：例例1 在矩形abcd中，直線de是dce與dfe的對稱軸,若矩形與四邊形ecdf的周長差是4，且四邊形ecdf的周長是8，(1) 求矩形abcd的周長與面積;(2)直線fe與矩形abcd有什么關(guān)系？分析分析: 要想由條件得到圖形中e、f分別是bc、ad中點，先判斷出dce與dfe是等腰直

3、角三角形是解決問題的關(guān)鍵；矩形與四邊形ecdf的周長差實際就是af與be的和；ef垂直平分ad可發(fā)現(xiàn)直線ef是矩形的一條對稱軸feacbd213解：解：矩形abcd中，adcc90，abdc，ad bc/又dce與dfe關(guān)于直線de對稱 123，四邊形ecdf中， cdce, 周長為8，eccddffe2 dfe90adfdbcec 即afbe矩形abcd的周長四邊形ecdf的周長afbe4afbe2矩形abcd中，ad4，ab2矩形abcd周長2(adab)12矩形abcd面積adab428feacbd213例例2 已知：如圖，矩形abcd中，de平分adc交ab于e，bde15。求：boc

4、、aoe的度數(shù) 分析：由矩形的特征及條件不難發(fā)現(xiàn)oad是等邊三角形，ade是等腰直角三角形，利用這兩個特殊三角形的特征就可以使問題得以解決abcdeo解矩形abcd acbd aood adc90de平分adc bde15adoadebde451560oad為等邊，bocaod60 adao dao60又dae90 ade為等腰rt aeadoae906030 aoae1180)752aoeoae ( abcdeo例例3 已知：如圖，矩形abcd，df平分adc，beac于e，eb的延長線交df于f點請猜測：bf與ac的數(shù)量關(guān)系，并說明理由 分析分析：由于矩形abcd中，acbd，bf與ac的

5、數(shù)量關(guān)系實質(zhì)就是bf與bd的數(shù)量關(guān)系,由位置可通過角的關(guān)系得到讓我們先來分析一組圖形：abcdefo325610qbabcabchfeca21feabch分析：分析：分析bfac由位置關(guān)系可知應(yīng)通過角的關(guān)系得到。與之相關(guān)的rtabc三角形中有斜邊上高和中線，rtadc中有中線和角平分線.例例4 在矩形abcd中，ab6，bc4，e是ab上一點，ce5，dfce于f求df 分析：分析：分析：由ab、bc可求s矩形，而ec、df可以看作是dec的底和高，因為 可求，所以ec邊上的高可求。1=2decss矩fedcba解答：解答：連de 矩形abcd，且ab6，bc4 s矩形6424又ab/dc 1

6、122decss矩244.85df 1122decec dfsdfec于fec5fedcba例例5 有一塊方角形鋼板如下圖所示，請你用一條直線將其分為面積相等的兩部分（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖中直接畫出） 分析：分析：由于矩形對角線交點就是它的對稱中心，因此經(jīng)過對稱中心的任意一直線都會將矩形分成兩部分仍是關(guān)于中心對稱的圖形，所以面積相等，因此有：只要將圖形化為兩個矩形的和或差，作出經(jīng)過兩個圖形對稱中心的直線即可。 例例6 如圖，矩形abcd中，ac與bd交于點o，p是ad上任意一點，peac于e，pfbd于f，若ab3，ad4，bd5 。求：pepf的值當(dāng)點p在ad上移動時，其它條件不變，

7、pepf的值會改變嗎？opfedcbaq分析：分析：分別求pe、pf困難。由已知得矩形面積，而 可知。由于aod是等腰，聯(lián)想“等腰底邊上任意一點到兩腰距離和等于腰上的高”這一性質(zhì)，由于對角線已知，即等腰可知，由面積就可求出腰的高。問題得解。14aodss矩解：解：過d點作dqac于q 矩形abcd中，ab3，ad4 s矩3412 又ac與bd互相平分134aodss矩opfedcbaq由 在其它條件不變的情況下, 由于不論p點在ad上如何移動，它到等腰aod兩腰的距離之和永遠等于oa上的高，因此pepf的值不會改變。11112222aodsao dqao peod pfao pepf（）連op

8、 52oadqpepf acbd5 132aodsao dq125dq125pepfopfedcbaq例例7 如圖，在abc中，點o是ac上的一個動點，過點o作直線mn/bc設(shè)mn交bca的平分線于點e，交bca的外角平分線于點f（1）oe與of相等嗎？為什么？（2）當(dāng)點o運動到何處時，四邊形aecf是矩形？ 并說明你的結(jié)論？fenmocba分析與解答：分析與解答： （1）由于ce、cf分別是角平分線，因此有ecf為直角，又由于mn/bc，因此oec與ofc均為等腰，即oeoc，ofoc，故o是ef中點。 （2）由于ecf為90，只要四邊形aecf為平行四邊形，則四邊形aecf就為矩形。而（1

9、）已知o是ef中點，只需o是ac中點即可，故點o運動到ac中點時，四邊形aecf是矩形。fenmocba菱形菱形一課內(nèi)知識的回顧：一課內(nèi)知識的回顧：1菱形的特征：菱形的特征： 邊：對邊平行且四條邊相等； ab/dc , ad/bc ，abdcadbc 角：對角相等，鄰角互補； ac， b d a b 180， 對角線：對角線互相垂直平分； aoco，bodo， acbd 每條對角線平分一組對角 adbcdb, 對稱性：既是軸對稱又是中心對稱圖形bdacdacob2菱形的識別方法：菱形的識別方法： 四條邊相等的的四邊形是菱形； 對角線互相垂直平分的四邊形是菱形； 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

10、； 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形2個條件1個條件3個條件3與菱形相關(guān)的三角形：與菱形相關(guān)的三角形：注意：當(dāng)邊ab等于對角線bd時，菱形中出現(xiàn)的三角形都是特殊的三角形（含30角的直角三角形、等邊三角形、含120角的等腰三角形）bccadddoabocad利用菱形對角線的特征，可以得到菱形面積的另一種求法：如圖 l1 、l2分別是菱形的兩條對角線，有s 菱形= l1 l2 21l2l1二二 菱形知識的應(yīng)用舉例：菱形知識的應(yīng)用舉例：例例1 已知:菱形兩條對角線的差等于3.2cm，它們的比為1:2. 求:菱形的面積 例例2 已知：如圖，正amn與菱形abcd有一個公共點a，且邊長相等，m、n在bc

11、、cd上，求bad的度數(shù)分析：分析：抓住菱形和正都是軸對稱圖形且邊長相等這一特征，可得abm為等腰，利用底角與頂點及菱形相鄰兩角的數(shù)量關(guān)系可將問題得以解決。abcdmn解：解：菱形abcd及等邊amn關(guān)于ac對稱bamdan又菱形和等邊邊長相等在abm中有abam，設(shè)bam為x，則 bad2x60ad/bc 即解得x20bad2x60100180bbad1(180)2bx1180)(260 )1802xx （abcdmn例例3 已知：如圖，菱形abcd中，e是bc上一點，abae，ead2bae求證：beaf分析：分析：線段be和af在位置上沒有特殊關(guān)系，應(yīng)考慮等量代換，因此應(yīng)從角的關(guān)系入手找

12、到bf和af的中間量abcdef解答：解答：菱形abcd ad/bc eadaebabae abeaeb又ead2bae 又bd平分abc即abfebfbaeabf afbfbfebafabf2baebfebef bfbe beafabcdef例例4 已知：如圖，abc中，bac90，ag、bd分別是高線和角平分線，且交于e，fdbc于f，連ef求證：四邊形aefd為菱形abcdgef分析：分析：若要判斷四邊形aefd為菱形，可先證明四邊形aefd為平行四邊形 .由于ag是abc的高，dfbc，故ae/df，只需再尋找一個條件。abcdgef例例5 已知：如圖，分別以abc的各邊為邊，在bc邊的同側(cè)作等邊abe、等邊cbd和等邊acf，連結(jié)de、df問：當(dāng) abc滿足什么條件時，四邊形deaf為矩形、菱形fedcba分析與解答：分析與解答：從圖形中可分析出：ebd與abc是繞b點旋轉(zhuǎn)對稱的圖形，有edacaf，同理aedf，因此四邊形afde為平行四邊形 ，abc的形狀對這個四邊形有影響，當(dāng)eaf90時，afde為矩形，此時bac36090260150，即abc中bac150時，當(dāng)aeaf時afde為菱形，此時abaeafac，即a