數(shù)學(xué)建模城市空氣質(zhì)量評估及預(yù)測

1、城市空氣質(zhì)量評估及預(yù)測摘 要: 本文對我國十個城市的空氣質(zhì)量進(jìn)行了深入的研究，利用統(tǒng)計學(xué)等相關(guān)原理，結(jié)合我國現(xiàn)行的“創(chuàng)模”和“城考”體系中的環(huán)境空氣質(zhì)量指標(biāo)，就城市空氣污染程度，空氣質(zhì)量的預(yù)測和影響因素等問題建立出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。利用層次分析法和Perron-Frobenions等相關(guān)原理建立數(shù)學(xué)模型對中國十大城市的空氣污染嚴(yán)重程度給出分析并排名。運(yùn)用GM（1,1）灰色預(yù)測模型，結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)運(yùn)用excel軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，對成都市2010年11月份的空氣質(zhì)量狀況進(jìn)行預(yù)測。使用優(yōu)勢分析原理分析空氣中可吸入顆粒、二氧化硫、二氧化氮等因素對空氣質(zhì)量的影響程度。關(guān)鍵詞：空氣質(zhì)量，層次分析，判斷矩陣，相

2、對權(quán)重，排名，灰色預(yù)測，優(yōu)勢分析，可吸入顆粒，二氧化硫，二氧化氮一、問題的提出1.1背景介紹隨著中國經(jīng)濟(jì)的進(jìn)一步發(fā)展，環(huán)境問題已是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一，而環(huán)境問題最突出的就是空氣污染。 “十一五”“創(chuàng)模”考核指標(biāo)“空氣污染指數(shù)”要求：API指數(shù)100的天數(shù)超過全年天數(shù)85%?！俺强肌币罁?jù)API指數(shù)100的天數(shù)占全年天數(shù)的比例來確定空氣質(zhì)量得分。“API指數(shù)100的天數(shù)”，通常又被稱為空氣質(zhì)量達(dá)到二級以上的天數(shù)。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，對中國空氣質(zhì)量做出分析和預(yù)測是一個重要問題，同時通過對影響空氣質(zhì)量因素的分析，以正確做好環(huán)境保護(hù)措施也極為重要。本文主要針對以下幾個問題進(jìn)行相關(guān)分

3、析：（1）利用已知的數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型通過分析給出十個城市空氣污染嚴(yán)重程度的科學(xué)排名。（2）建立模型對成都市11月的空氣質(zhì)量狀況進(jìn)行預(yù)測。（3）收集必要的數(shù)據(jù)，建立模型分析影響城市空氣污染程度的主要因素是什么。二、基本假設(shè)1）表格中已有的數(shù)據(jù)具有權(quán)威性，值得相信，具有使用價值。2） 空氣質(zhì)量相同等級的污染程度相同。3） 假設(shè)該市各種影響空氣質(zhì)量的軟因素（如工業(yè)發(fā)展，人口數(shù)量）保持平穩(wěn)變化。4） 不考慮突發(fā)事件即人為因素（如工業(yè)事故）造成的空氣質(zhì)量突變。5） 假設(shè)各種因素對環(huán)境的影響最終主要表現(xiàn)在可吸入顆粒、二氧化硫、二氧化氮上，不考慮其他隨機(jī)因素的影響。三、問題的分析31第一問所涉及的問題是一

4、個具有一般性的，又有代表性的排序問題，鑒于每個城市的空氣質(zhì)量狀況等級的權(quán)重有所不同，我們利用層次分析法對題中所測得城市空氣質(zhì)量狀況進(jìn)行排序，首先建立層次分析結(jié)構(gòu)： 最上層為目標(biāo)層（O）：各城市空氣質(zhì)量污染程度。 中間層為準(zhǔn)則層（P）：空氣質(zhì)量狀況等級。共7個等級，依次為最底層為對象層(C)：為排序?qū)ο蟆?由各層次之間的關(guān)系，C與P關(guān)聯(lián)，且P與O相關(guān)聯(lián)。3.2第二問涉及對系統(tǒng)行為特征的發(fā)展變化規(guī)律進(jìn)行估計預(yù)測，故可以運(yùn)用GM模型對其進(jìn)行灰色預(yù)測，從掌握的歷史數(shù)據(jù)可以看出，每年11月的空氣質(zhì)量級別分布較為相似，全月的平均值較好的反應(yīng)了相關(guān)指標(biāo)的變化規(guī)律，這樣我們可以將預(yù)測評估分為兩個部分：1） 利

5、用灰色理論建立GM（1,1）模型，由2005-2009年11月份空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值預(yù)測2010年的平均值。2） 通過歷史數(shù)據(jù)計算每天指標(biāo)值與全月總值的關(guān)系，從而可以預(yù)測出正常情況下2010年11月份每天的指標(biāo)值，即空氣質(zhì)量指數(shù)。3.3第三問是要分析影響空氣質(zhì)量的因素，本文主要考慮計入空氣污染指數(shù)的三個指標(biāo)。通過計算可吸入顆粒、二氧化硫、二氧化氮的關(guān)聯(lián)度，分析得知哪個因素對空氣質(zhì)量影響較大，哪個因素對空氣質(zhì)量影響較小。四、模型的建立及求解4.1運(yùn)用層次分析法，將研究目標(biāo)（O），空氣質(zhì)量狀況（P）和對象（C）相應(yīng)的分為目標(biāo)層，中間層，最底層。層次關(guān)系圖如下：優(yōu)良好輕微污染輕度污染中度污染中度重污

6、染重度污染城市空氣污染嚴(yán)重程度的排名成都杭州北京上海廣州拉薩烏魯木齊鄭州武漢西安按照層次分析法的步驟，構(gòu)造城市排名模型：1） 建立層次結(jié)構(gòu)圖（如上圖）；2） 構(gòu)造比較矩陣A，比較7個空氣質(zhì)量狀況P對目標(biāo)層（O）的影響程度，即確定它在O中所占得比重。對任意兩個和，用表示和對O的影響程度之比，按19的比例標(biāo)度來度量,由此可得到兩兩成對比較矩陣，>0 , , =1 比例標(biāo)度的確定：取19的9個等級，而取的倒數(shù)。比例標(biāo)度值標(biāo)度 含義 1與的影響相同 3與的影響稍強(qiáng) 5與的影響強(qiáng) 7與的影響明顯的強(qiáng) 9與的影響絕對的強(qiáng) 2,4,6,8與的影響之比在上述兩個相鄰等級之間1/2,.1/9與的影響之比為

7、上面的互反數(shù)3)確定相對權(quán)重由兩兩成對比較的判斷矩陣。結(jié)合Perron-Frobenions定理，得非負(fù)矩陣存在正的最大模特征值，對應(yīng)著正的特征向量。用“和法”求出矩陣的最大特征根和最大特征向。再將所求的特征向量單位化后得到的就是空氣質(zhì)量狀況P對目標(biāo)O相對影響性的權(quán)重，記為。 O P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7P1P2P3P4P5P6P7 1 4 5 6 7 8 91/4 1 4 5 6 7 8 1/5 1/4 1 3 4 5 7 1/6 1/5 1/3 1 3 4 6 1/7 1/6 1/4 1/3 1 3 5 1/81/7 1/5 1/4 1/3 1 4 1/ 1/8 1/7 1

8、/6 1/5 1/4 10.40750.24360.13750.09180.06020.03890.0206和法求矩陣的最大特征根和最大特征向a 將A的每一列向量歸一化得 , 矩陣如下：0.5011 0.6797 0.4575 0.3810 0.3248 0.2832 0.22500.1253 0.1699 0.3660 0.3175 0.2784 0.2478 0.20000.1002 0.0425 0.0915 0.1905 0.1856 0.1770 0.17500.0835 0.0339 0.0305 0.0635 0.1392 0.1416 0.15000.0716 0.0283 0

9、.0229 0.0212 0.0464 0.1062 0.12500.0626 0.0243 0.0183 0.0159 0.0155 0.0354 0.10000.0557 0.0212 0.0131 0.0106 0.0093 0.0089 0.0250b 對按行求和得：0.40750.24360.1375=0.0918 0.0602 0.03890.0206c 將歸一化得，=即為特征向量。d 表示的第個分量。結(jié)果如下3.5382 2.1734= 1.13480.71410.44370.2776 0.1530由此得出：一致性檢驗(yàn)：（1） 一致性指標(biāo)：得=0.13（2） 隨機(jī)一致性指標(biāo)： 如

10、圖表：隨機(jī)一致性指標(biāo)n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51(3) 一致性比率，得到A的不一致程度在容許范圍內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量。4）對象層C對準(zhǔn)則層P的比重可通過已給出各城市的空氣質(zhì)量狀況結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識列出如下表的比重關(guān)系: 全國十大城市空氣質(zhì)量等級比重列表空氣質(zhì)量 等級比重（）城市 優(yōu) 良好輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重污染 成都175.90736.1671.6613.033.2600 杭州182.12731.7972.856.62006.62 北京132.45678

11、.81149.0129.86.6203.31 上海440.4516.5633.116.62003.31 廣州334.44639.0726.490000拉薩697.07289.99.770003.2烏魯木齊68.4719.87149.8442.356.519.773.26鄭州52.98821.1989.429.83.3103.31武漢172.64674.27143.323.26006.51西安46.36817.88115.8916.56003.315）層次總排序，即C層對目標(biāo)O的總排序。方法是將PC所得出的城市空氣狀況比重作為列向量構(gòu)成7×7矩陣，和由P對目標(biāo)O的權(quán)量構(gòu)成的7×

12、;1矩陣做乘法，結(jié)果即是10個城市的空氣污染嚴(yán)重程度的權(quán)重向量，那么數(shù)值較小的數(shù)所對應(yīng)的城市空氣污染程度就比較嚴(yán)重。比重（）城市0.40750.24360.13750.09180.06020.03890.0206目標(biāo)OP1P2P3P4P5P6P7 成都175.90736.1671.6613.033.2600262.25 杭州182.12731.7972.856.62006.62263.24 北京132.45678.81149.0129.86.6203.31348.61 上海440.4516.5633.116.62003.31310.53 廣州334.44639.0726.490000295.6

13、0 拉薩697.07289.99.770003.26356.09烏魯木 齊68.4719.87149.8442.356.519.773.26228.56 鄭州52.98821.1989.429.83.3103.31236.93 武漢172.64674.27143.323.26006.51254.74西安46.36817.88115.8916.56003.31235.65通過以上模型的求解，得到10個城市空氣質(zhì)量污染程度的綜合排名：（由重到輕）名次12345678910城市烏魯木齊西安鄭州武漢成都杭州廣州上海北京拉薩權(quán)重228.56235.65236.93257.74262.25263.2429

14、5.60310.53348.61356.09那么這個模型的結(jié)論從另一個側(cè)面反映了所給的原始數(shù)據(jù)所代表的實(shí)際情況。結(jié)論顯示烏魯木齊的空氣污染程度在10個城市里最嚴(yán)重，由于烏魯木齊有大量的石油開采基地有大量污染物體產(chǎn)生，以及連續(xù)出現(xiàn)靜風(fēng)天氣和烏魯木齊上空的逆溫層阻礙了污染物的擴(kuò)散，使其越積越多，導(dǎo)致空氣污染隨之加重。4.2對成都市2010年11月份空氣質(zhì)量指數(shù)建立灰色預(yù)測模型GM（1,1）以下數(shù)據(jù)為2005-2009年11月份每天的空氣質(zhì)量指數(shù)：年份123456789102009719489951291291501501881992008485176572643676986822007597088

15、9810098987891912006647810997149891001151201002005818179110879399107149129年份111213141516171819202009145365764952545578286200875767144495456837055200776689313010811559785295200612514713083516255786969200598997452594755516358年份2122232425262728293020099280909813299146466398200863556274727067101961022007

16、84819684927575107119872006647765373449646955492005668467789310010010012599由已知數(shù)據(jù)，對2005-2009年十一月份的空氣指數(shù)記為矩陣A=，計算每年的年平均值，記為:（1）并要求級比.，對作一次累加，則：， （2）記 取的加權(quán)平均值則為確定參數(shù)，記： （3）于是GM（1,1）的白化微分方程模型為其中是發(fā)展灰度，是內(nèi)生控制灰度。由于取為灰導(dǎo)數(shù)，為背景值，則可得出相應(yīng)的灰微分方程：運(yùn)用最小二乘法可求： （4）其中為，為；于是方程有響應(yīng)（特解），則。（5）則由上式可得到2010年11月份空氣指數(shù)的平均值，則預(yù)測2010年11月

17、份的空氣指數(shù)總值為，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，則可以統(tǒng)計出2010年11月份每天的空氣指數(shù)占整月總值的比例，即： （6）則于是可得2010年11月每天的空氣指數(shù)值為。模型求解：由數(shù)據(jù)表，結(jié)合（1），（2）兩式計算可得月平均值，一次累加值分別為：注：由于空氣指數(shù)均為整數(shù)，故求均值時進(jìn)位取整。顯然的所有級比都在可容區(qū)域內(nèi)，經(jīng)檢驗(yàn)，在這里參數(shù)合適，則由（3）可得：則所得對應(yīng)灰微分方程為：運(yùn)用最小二乘法公式（4）可求得：由式（5）可得2010年11月份空氣質(zhì)量指數(shù)平均值為，則月總指數(shù)值：，由式（6）得到每天的比例為： ；故2010年11月1-30天的空氣質(zhì)量指數(shù)預(yù)測值為：列為下表：2010年11月（天）12345

18、6789101112131415空氣質(zhì)量指數(shù)5361727580748485104998570706159161718192021222324252627282930空氣質(zhì)量指數(shù)494457555960626261696474697571模型檢測：通過上述所建模型我們對2005-2009年10月空氣質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行預(yù)測，將預(yù)測值與實(shí)際統(tǒng)計值進(jìn)行比較，如下表所示：號數(shù)12345678910111213141516實(shí)際值423767858962697211663444463737883預(yù)測值60347369677765619067545677858897號數(shù) 171819202122232425262

19、728293031實(shí)際值 95100829911397888753353645558171預(yù)測值 988868828981829267564564787775并由此數(shù)據(jù)表格作出相應(yīng)曲線：從上圖可以較為直觀地看出，通過所建模型計算預(yù)測出所得的預(yù)測值在較大程度上與實(shí)際值吻合，故所建模型是正確可行的。4.3建立空氣質(zhì)量影響因素模型：灰色系統(tǒng)理論中的關(guān)聯(lián)分析法是一種因素比較分析法，是以數(shù)據(jù)間差值大小作為關(guān)聯(lián)程度的衡量尺度，通過求解關(guān)聯(lián)度來確定各指標(biāo)對目標(biāo)值的影響度。(1) 絕對關(guān)聯(lián)度：設(shè)序列與長度相同，則稱(2)(3) 為與的絕對灰色關(guān)聯(lián)度，簡稱絕對關(guān)聯(lián)度。(4) 其中，。(2)相對關(guān)聯(lián)度：設(shè)序列與長

20、度相同，且初值皆不等于零，與分別為，的初值像，則稱與的灰色絕對關(guān)聯(lián)度為與的灰色相對關(guān)聯(lián)度，簡稱為相對關(guān)聯(lián)度，記為。其中(3)綜合關(guān)聯(lián)度：設(shè)序列與長度相同，且初值皆不等于零，和分別為與的灰色絕對關(guān)聯(lián)度和灰色相對關(guān)聯(lián)度，則稱為與的灰色綜合關(guān)聯(lián)度，簡稱綜合關(guān)聯(lián)度。綜合關(guān)聯(lián)度較為全面地表征序列之間聯(lián)系是否緊密的一個數(shù)量指標(biāo)。以下是2003-2006年成都市空氣質(zhì)量指標(biāo)的數(shù)據(jù)：（數(shù)據(jù)來源：國家統(tǒng)計局） 年份數(shù)量2003200420052006X0(空氣二級以上天數(shù)占全年比重)85.4884.66 80.27 82.47X1（PM10） 0.118 0.115 0.125 0.123X2（SO2） 0.0

21、52 0.067 0.077 0.065X3（NO2） 0.046 0.048 0.052 0.049模型求解：絕對關(guān)聯(lián)度：令 =；0,1,2,3則=(0,-0.82,-5.21,-3.01)=(0,-0,003,0.007,0.005)=(0,0.015,0.025,0.013)=(0,0.002,0.006,0.003)=；0,1,2,3=7.535 =0.0065 =0.0465 =0.0095=；1,2,3=7.5415 =7.5815 =7.5445；0,1,2,3=0.531089 =0.530935 =0.531077相對關(guān)聯(lián)度：由；0,1,2,3得=(1,0.990407,0.

22、939050,0.964787)=(1,0.974576,1.059322,1.042373)=(1,1.288462,1.480769,1.250000)=(1,1.043478,1.130435,1.065217)的始點(diǎn)零化像為： =；0,1,2,3從而=（0，-0.009593，-0.060950，-0.035213）=（0，-0.025424，0.059322,0.042373）=（0,0.288462,0.480769,0.250000）=（0,0.043478,0.130435,0.065217）=；0,1,2,3=0.0529365 =0.0127115 =0.644231 =0.1413045=；1,2,3=0.065648 =0.6971675 =0.194241 ；0,1,2,3=0.941971 =0.708826 =0.860105綜合關(guān)聯(lián)度：取=0.5；0,1,2,3=0.736530 =0.695591 =0.6198805結(jié)果分析：由得為最優(yōu)因素，次之，最劣。也就是說，可吸入顆粒對空氣質(zhì)量的影響最大，二氧化硫?qū)諝赓|(zhì)量的影響僅次于可吸入顆粒，二氧化氮較之二者對空氣質(zhì)量的影響最小。六、模型的評價與推廣6.1模型一對十大城市空氣質(zhì)量狀況采用層次分析方法解決問題的基本思想與人們對一個對多層次，多因素復(fù)雜的決策問題的思維過程