第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述

1、第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述第第6章章 定量資料的統(tǒng)計(jì)描述定量資料的統(tǒng)計(jì)描述第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述學(xué)習(xí)目標(biāo)v掌握集中趨勢和離散趨勢描述的常用統(tǒng)計(jì)量；v掌握正態(tài)分布的特征及其作用意義；v掌握利用PROC MEANS過程進(jìn)行資料的統(tǒng)計(jì)描述；v掌握利用PROC UNIVARIATE過程進(jìn)行資料的統(tǒng)計(jì)描述。第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征v在對一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分布變化進(jìn)行深入研究之前，我們首先研究一組數(shù)據(jù)的特征。為了比較精確地描述一組統(tǒng)計(jì)資料的特征，需要使用一些統(tǒng)計(jì)指標(biāo)來描述它。一組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征通常包括以下四個(gè)方面： v集中趨勢 v離散趨勢 v偏度 v峰度 第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述集中趨勢v集中趨

2、勢，也稱作中心位置。即表示一組數(shù)據(jù)的中心位置的數(shù)據(jù)點(diǎn)是在什么地方，也就是數(shù)據(jù)集中分布的位置。v一組數(shù)據(jù)的集中趨勢通常用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等來表示。這些統(tǒng)計(jì)量均稱為平均指標(biāo)。平均指標(biāo)的特點(diǎn)是將一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)據(jù)之間的差異抽象化，用一個(gè)指標(biāo)來代表各個(gè)數(shù)據(jù)的一般水平，它反映了一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)據(jù)的代表水平、中心位置或集中趨勢。第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述均數(shù) v是算術(shù)均數(shù)的簡稱。常用表示樣本均數(shù)，表示總體均數(shù)。均數(shù)用于反映一組同質(zhì)觀察值的平均水平，適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布的數(shù)值變量資料。其計(jì)算方法有：v直接法 v加權(quán)法 第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述均數(shù)（直接法）v用于樣本含量較少時(shí)，其公式為：v式中，希臘字

3、母（讀作sigma）表示求和；X1，X2，Xn為各觀察值；n為樣本含量，即觀察值的個(gè)數(shù)。NxNXXXXNiiN121第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述均數(shù)（加權(quán)法 ）v用于頻數(shù)表資料或樣本中相同觀察值較多時(shí)，其公式為：v式中，X1，X2，Xn與f1，f2，fk分別為相同觀察值與其對應(yīng)的頻數(shù) (或頻數(shù)表資料中各組段的組中值和相應(yīng)組段的頻數(shù))。第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述幾何均數(shù) v適用于對數(shù)正態(tài)分布，即數(shù)據(jù)經(jīng)過對數(shù)變換后呈正態(tài)分布的資料；等比級數(shù)資料，即觀察值之間呈倍數(shù)或近似倍數(shù)變化的資料。如抗體滴度、平均效價(jià)等。其計(jì)算方法有：v直接法 v加權(quán)法 第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述幾何均數(shù)（直接法）v或第6章定量資料的

4、統(tǒng)計(jì)描述幾何均數(shù)（加權(quán)法）v注意：計(jì)算幾何均數(shù)時(shí)觀察值中不能有0，因0不能取對數(shù)；一組觀察值中不能同時(shí)有正值和負(fù)值。 第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述中位數(shù) v一組由小到大按順序排列的觀察值中位次居中的數(shù)值。中位數(shù)可用于描述：非正態(tài)分布資料（對數(shù)正態(tài)分布除外）；頻數(shù)分布的一端或兩端無確切數(shù)據(jù)的資料；以及總體分布不清楚的資料。在全部觀察中，小于和大于中位數(shù)的觀察值個(gè)數(shù)相等。其計(jì)算方法也包括v直接法v頻數(shù)表法第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述百分位數(shù) v用Px表示。一個(gè)百分位數(shù)Px將一組觀察值分為兩部分，理論上有X%的觀察值比它小，有（100-X）%的觀察值比它大，是一種位置指標(biāo)。中位數(shù)是一個(gè)特殊的百分位數(shù)，即M=

5、P50。百分位數(shù)的計(jì)算步驟與中位數(shù)類似，首先要確定Px所在的組段。先計(jì)算n*x%，累計(jì)頻數(shù)中大于n*x%的最小值所在的組段就是Px所在組段。 第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述離散趨勢描述 v計(jì)量資料的頻數(shù)分布有集中趨勢和離散趨勢兩個(gè)主要特征，僅僅用集中趨勢來描述數(shù)據(jù)的分布特征是不夠的，只有把兩者結(jié)合起來，才能全面地認(rèn)識事物。我們經(jīng)常碰到平均數(shù)相同的兩組數(shù)據(jù)其離散程度可以是不同的。一組數(shù)據(jù)的分布可能比較集中，差異較小，則平均數(shù)的代表性較好。另一組數(shù)據(jù)可能比較分散，變異較大，則平均數(shù)的代表性就較差。描述一組計(jì)量資料離散趨勢的常用指標(biāo)有極差、四分位數(shù)間距、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)誤和變異系數(shù)等，其中方差和標(biāo)準(zhǔn)差最

6、常用。第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述極差v 極差又稱全距，是指一組數(shù)據(jù)的觀察值中的最大值和最小值之差。用公式表示為：v 極差最大觀察值最小觀察值v 極差的計(jì)算簡單，但是它只考慮了數(shù)據(jù)中的最大值和最小值，而忽略了全部觀察值之間的差異。兩組數(shù)據(jù)的最大值和最小值可能相同，于是它們的極差相等，但是離散的程度可能相當(dāng)不一致。由此可見，極差往往不能反映一組數(shù)據(jù)的實(shí)際離散程度，極差所反映的僅僅是一組數(shù)據(jù)的最大的離散值。第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述平均差v平均差是指一組數(shù)據(jù)中的各數(shù)據(jù)對平均數(shù)的離差絕對值的平均數(shù)。一組數(shù)據(jù)中的各數(shù)據(jù)對平均數(shù)的離差有正有負(fù)，其和為零，因此平均差必須用離差的絕對值來計(jì)算。平均差愈大，表示數(shù)據(jù)

7、之間的變異程度愈大，反之則變異程度愈小。計(jì)算公式為： nxx第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述方差v平均差用絕對值來進(jìn)行度量，雖然避免了正負(fù)離差的相互抵消，但不便于運(yùn)算。一般情況下，用方差來度量一組數(shù)據(jù)的離散性。其計(jì)算公式為：xxn2第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述標(biāo)準(zhǔn)差v為了使統(tǒng)計(jì)量的單位同觀察值的單位相一致，通常將方差開平方，即得到標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差也稱為均方差。其計(jì)算公式為： xxn2第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述方差和標(biāo)準(zhǔn)差v由定義可知，方差和標(biāo)準(zhǔn)差所反映的是一組數(shù)據(jù)對其均值為代表的中心的某種偏離程度。從定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）較小的分布一定是比較集中在均值附近的，反之則是比較分散的。標(biāo)準(zhǔn)差的缺點(diǎn)是計(jì)算起來比較

8、麻煩。標(biāo)準(zhǔn)差也是根據(jù)全部數(shù)據(jù)來計(jì)算的，但是它也會受到極端值的影響。標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算要比平均差方便，因此，標(biāo)準(zhǔn)差是描述數(shù)據(jù)離散趨勢最常用的統(tǒng)計(jì)量 第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述方差和標(biāo)準(zhǔn)差v當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)很大時(shí)，我們希望通過抽樣，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，就需要計(jì)算樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。僅需要對總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式作一些調(diào)整。 Sxxn22112nxxS第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述變異系數(shù)v標(biāo)準(zhǔn)差是表示所有數(shù)據(jù)離散性大小的一個(gè)絕對值，其度量單位與原數(shù)據(jù)的度量單位相同。因此，標(biāo)準(zhǔn)差只能度量一組數(shù)據(jù)對其均值的偏離程度。但若要比較兩組數(shù)據(jù)的離散程度，用兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差直接進(jìn)行比較有時(shí)就顯得不合適了。例如，如

9、果一個(gè)總體的標(biāo)準(zhǔn)差是10，均值是100。如果另有一個(gè)總體的標(biāo)準(zhǔn)差是20，均值是2000。如果直接用標(biāo)準(zhǔn)差來進(jìn)行比較，后一總體的標(biāo)準(zhǔn)差是前一總體標(biāo)準(zhǔn)差的2倍，似乎前一總體的分布集中而后一總體的分布分散。但前一總體用標(biāo)準(zhǔn)差來衡量的各數(shù)據(jù)的差異量是其均值的1/10；后一總體用標(biāo)準(zhǔn)差來衡量的各數(shù)據(jù)差異是其均值的1/100，是微不足道的。第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述變異系數(shù)v可見用標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值大小來衡量不同總體數(shù)據(jù)的分散程度更合理。統(tǒng)計(jì)上把這一比例稱為變異系數(shù)。變異系數(shù)是一個(gè)表示標(biāo)準(zhǔn)差相對于平均數(shù)的大小的相對量，即標(biāo)準(zhǔn)差相對于均值的百分比，其計(jì)算公式如下：v離散系數(shù) 1 0 0 %第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)

10、描述正態(tài)分布 v在實(shí)際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是最基本、最重要的一種分布。正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布，一般來講，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每個(gè)因素所起的作用不太大，則這個(gè)指標(biāo)服從正態(tài)分布。如測量的誤差；人的身高、體重；農(nóng)作物的收獲量等都近似服從正態(tài)分布。第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述正態(tài)分布v正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式來表述的。若隨機(jī)變量的密度函數(shù)（頻率曲線）為正態(tài)函數(shù)（曲線）v則稱 服從正態(tài)分布，其中 、 是兩個(gè)不確定常數(shù)，是正態(tài)分布的參數(shù)， 描述正態(tài)分布的集中位置，而 用來描述正態(tài)分布的離散程度，不同的和對應(yīng)不同的正態(tài)分布。 v正態(tài)曲線呈鐘型

11、，兩頭低，中間高，左右對稱，曲線與橫軸間的面積總等于1。 )2()(2221)(XeXfX第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述正態(tài)分布的特征v服從正態(tài)分布的變量的頻數(shù)分布由 、 完全決定。v是正態(tài)分布的位置參數(shù)，描述正態(tài)分布的集中趨勢位置。正態(tài)分布以 為對稱軸，左右完全對稱。正態(tài)分布的均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，均等于 。v 描述正態(tài)分布資料數(shù)據(jù)分布的離散程度， 越大，數(shù)據(jù)分布越分散， 越小，數(shù)據(jù)分布越集中。也稱為是正態(tài)分布的形狀參數(shù)， 越大，曲線越扁平，反之， 越小，曲線越瘦高。x第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布v 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一種特殊的正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 v標(biāo)準(zhǔn)化變換： ，此變換有特性：若 服

12、從正態(tài)分布，則 就服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故該變換被稱為標(biāo)準(zhǔn)化變換。012XuXu第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述幾個(gè)重要的面積比例 v 軸與正態(tài)曲線之間的面積恒等于1。正態(tài)曲線下， 橫軸區(qū)間內(nèi)的面積為68.27%，橫軸區(qū)間 內(nèi)的面積為90.00%，橫軸區(qū)間內(nèi) 的面積為95.00%，橫軸區(qū)間 內(nèi)的面積為99.00%。X64. 196. 158. 2第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述正態(tài)分布的應(yīng)用v某些醫(yī)學(xué)現(xiàn)象，如同質(zhì)群體的身高、紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白量，以及實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)誤差，呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布；有些指標(biāo)（變量）雖服從偏態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后可服從正態(tài)或近似正態(tài)分布，可按正態(tài)分布規(guī)律處理。其中經(jīng)對數(shù)轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布

13、的指標(biāo)，被稱為服從對數(shù)正態(tài)分布。正態(tài)分布的研究有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值：第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述正態(tài)分布的應(yīng)用v估計(jì)頻數(shù)分布 一個(gè)服從正態(tài)分布的變量只要知道其均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差就可根據(jù)公式(6-16)估計(jì)任意取值范圍內(nèi)的頻數(shù)比例。v制定參考值范圍：適用于服從正態(tài)（或近似正態(tài)）分布指標(biāo)以及可以通過轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標(biāo)。但是對于非正態(tài)分布（偏態(tài)分布）的指標(biāo)，需要采用百分位數(shù)法制定其參考值范圍。第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述正態(tài)分布的應(yīng)用v質(zhì)量控制：為了控制實(shí)驗(yàn)中的測量（或?qū)嶒?yàn)）誤差，常以 作為上、下警戒值，以作為 上、下控制值。這樣設(shè)置的依據(jù)就是因?yàn)橐话闱闆r下測量（或?qū)嶒?yàn)）誤差服從正態(tài)分布。v正態(tài)分布是許多統(tǒng)計(jì)

14、方法的理論基礎(chǔ)。檢驗(yàn)、方差分析、相關(guān)和回歸分析等多種統(tǒng)計(jì)方法均要求分析的指標(biāo)服從正態(tài)分布。許多統(tǒng)計(jì)方法雖然不要求分析指標(biāo)服從正態(tài)分布，但相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量在大樣本時(shí)近似正態(tài)分布，因而大樣本時(shí)這些統(tǒng)計(jì)推斷方法也是以正態(tài)分布為理論基礎(chǔ)的。SX2SX3第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)描述分析 vSAS系統(tǒng)中進(jìn)行定量資料的統(tǒng)計(jì)描述最常用的兩個(gè)過程是PROC MEANS過程和PROC UNIVARIATE過程。vMEANS過程提供單個(gè)或多個(gè)變量的簡單描述。和UNIVARIATE過程相比，它更傾向于描述已經(jīng)明確樣本所在總體符合正態(tài)分布的變量，因此它不提供百分位數(shù)，但可以提供95%可信區(qū)間。同時(shí)在多個(gè)變量輸出時(shí)，它的

15、輸出格式緊湊，便于閱讀。第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)描述分析vUNIVARIATE過程對數(shù)值變量給出比較詳細(xì)的變量分布的描述，其中包括：變量的極端值、常用的百分位數(shù)（包括四分位數(shù)和中位數(shù)）、用幾個(gè)散點(diǎn)圖描繪變量的分布、頻數(shù)表和正態(tài)分布的檢驗(yàn)等。第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述本章小節(jié) v本章介紹了定量資料的統(tǒng)計(jì)特征描述，主要包括四個(gè)方面：集中趨勢、離散趨勢、偏度和峰度。本章重點(diǎn)講解了集中趨勢和離散趨勢的描述指標(biāo)。一組數(shù)據(jù)的集中趨勢通常用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等來表示。描述一組計(jì)量資料離散趨勢的常用指標(biāo)有極差、四分位數(shù)間距、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)誤和變異系數(shù)等，其中方差和標(biāo)準(zhǔn)差最常用。本章分別詳細(xì)介紹了各種統(tǒng)計(jì)量的意義以及計(jì)算方法。我們應(yīng)在學(xué)習(xí)的過程中掌握這些統(tǒng)計(jì)量并學(xué)會計(jì)算。第6章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述本章小節(jié)v本章重點(diǎn)介紹了正態(tài)分布。正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是最基本、最重要的一種分布，而且它是