第12講.利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線.教師版

1、2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 1 of 22第十二講第十二講利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線中考要求考試要求考試要求板塊板塊a 級(jí)要求級(jí)要求b 級(jí)要求級(jí)要求c 級(jí)要求級(jí)要求全等三角形全等三角形的性質(zhì)及判的性質(zhì)及判定定會(huì)識(shí)別全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用全等三角形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問題會(huì)運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問題知識(shí)點(diǎn)睛基本知識(shí)把圖形繞平面上的一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，得到圖形，這樣的由圖形到變換叫做旋轉(zhuǎn)變換，點(diǎn)goggg叫做旋轉(zhuǎn)中心，叫做旋轉(zhuǎn)角，叫做的象；叫做的原象，無論是什么圖形，在旋轉(zhuǎn)變換下，象與原ogggg象是全等形很明顯，旋轉(zhuǎn)

2、變換具有以下基本性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變換的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)直線的交角等于旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)變換多用在等腰三角形、正三角形、正方形等較規(guī)則的圖形上，其功能還是把分散的條件盯對(duì)集中，以便于諸條件的綜合與推演2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 2 of 22重、難點(diǎn)重點(diǎn)：重點(diǎn)：本節(jié)的重點(diǎn)是全等三角形的概念和性質(zhì)以及判定，全等三角形的性質(zhì)是以后證明三角形問題的基礎(chǔ)，也是學(xué)好全章的關(guān)鍵。同時(shí)全等三角形的判定也是本章的重點(diǎn)，特別是幾種判定方法，尤其是當(dāng)在直角三角形中時(shí)，hl 的判定是整個(gè)直角三角形的重點(diǎn)難點(diǎn)：難點(diǎn)：本節(jié)的難點(diǎn)是全等三角形性質(zhì)和判定定理的靈活應(yīng)用。為了能熟練的應(yīng)用性質(zhì)定理

3、及其推論，要把性質(zhì)定理和推論的條件和結(jié)論弄清楚，哪幾個(gè)是條件，決定哪個(gè)結(jié)論，如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，即書寫格式，都要在講練中反復(fù)強(qiáng)化例題精講【例例 1】 如圖，等邊三角形如圖，等邊三角形與等邊與等邊共頂點(diǎn)于共頂點(diǎn)于點(diǎn)求證：點(diǎn)求證：abcdeccaebddecba是等邊三角形，abc60acbacbc，同理，60bcddca 60acedca dcecbcdace 在與中，bcdace ，bcacbcdacedcec bcdacebdae【鞏固鞏固】(】(年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽武漢年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽武漢杯選拔賽杯選拔賽) )如圖，如圖，和和均為等邊三角形，均為等邊三角形，2008casioabdced，

4、若若，則，則 acbcacbc2be cd 2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 3 of 22 6decba31易知，從而，cdbcdaedb2bcacbe2ab 由知是一條高的一部分，cdacdb cdabd不難算出答案為31【例例 2】 ( (1997 年安徽省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題年安徽省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) )在等腰在等腰的斜邊的斜邊上取兩點(diǎn)上取兩點(diǎn)、，使，使，rt abcabmn45mcn記記，則以，則以、為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是( ( ) )ammmnxbnnxmn a銳角三角形銳角三角形 b直角三角形直角三角形c鈍角三角形鈍角三角形 d隨隨、的變化而

5、變化的變化而變化xmnmncba mdncba如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，連結(jié)，cbnc90cadmd則，adbnncdcnacdbcnmcdacmacdacmbcn 904545mcn ，mdcmncmdmnx又易得，在中，有，故應(yīng)選(b)454590dam rt amd222mnx【例例 3】 ( (通州區(qū)通州區(qū) 2009 一模第一模第 25 題題) )請(qǐng)閱讀下列材料：請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖已知：如圖 1 在在中，中，點(diǎn)，點(diǎn)、分別為線段分別為線段上兩動(dòng)點(diǎn)，若上兩動(dòng)點(diǎn)，若rt abc90bacabacdebc探究線段探究線段、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系三條線段之間的數(shù)量關(guān)系45daebdde

6、ec小明的思路是：把小明的思路是：把繞點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，得到，連結(jié)，連結(jié)，aeca90abee d使問題得到解決請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問題：使問題得到解決請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問題： 猜想猜想、三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明；三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明； bddeec 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段在線段上，動(dòng)點(diǎn)上，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段運(yùn)動(dòng)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 2，其它條件不變，其它條件不變，中探究中探究ebcdcb的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明 1abcd

7、e 2abcde 222debdec證明：根據(jù)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到aeca90abe2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 4 of 22aecabe，beecaeaecabe eace ab 在中rt abcabac45abcacb 90abcabe即90e bd222e bbde d又45dae45badeac45e abbad即45e ad ae daed dede222debdeceedcbafedcba 關(guān)系式仍然成立222debdec證明：將沿直線對(duì)折，得，連adbadafdfe afdabd，afabfddb，fadbad afdabd 又，abacafac45f

8、aefaddaefad 9045eacbacbaedaedabdab faeeac 又aeaeafeace，feec45afeace 180135afdabdabc 1354590dfeafdafe 在中rt dfe即222dffede222debdec【例例 4】、分別是正方形分別是正方形的邊的邊、上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且，為垂足，求證：為垂足，求證：efabcdbccd45eaf ahefhahab2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 5 of 22chfedba chfegdba延長(zhǎng)至，使，連結(jié)，易證，cbgbgdfagabgadfbagdafagaf再證，全等三角形的對(duì)

9、應(yīng)高相等(利用三角形全等可證得)，則有aegaefahab【鞏固鞏固】如圖，正方形如圖，正方形的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 ，點(diǎn)，點(diǎn)在線段在線段上運(yùn)動(dòng)，上運(yùn)動(dòng)，平分平分交交邊于點(diǎn)邊于點(diǎn)abcd1fcdaebafbce求證：求證：afdfbe設(shè)設(shè)( () )，與與的面積和的面積和是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)的值的值dfx01xadfabesx及及若不存在，請(qǐng)說明理由若不存在，請(qǐng)說明理由sfedcbagabcdef 證明： 如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)cbgbgdfag因?yàn)槭钦叫?，所以在和中，abcdrt adfrt abgadab，90adfabg dfbg，rtrt(s

10、as)adfabg，afagdafbag 又 是的平分線aebaf，eafbae dafeafbagbae 即eadgae ，adbcgeaead ，geagae agge即agbgbe，得證afbgbe adfabesss1122df adbe ab，1adab12sdfbe由知，afdfbe所以12saf在中，rt adf1ad dfx，21afx2112sx2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 6 of 22由上式可知，當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)，最大而，2xs01x所以，當(dāng)時(shí)，1x 最大值為s2111222x 【鞏固鞏固】如圖所示，在四邊形如圖所示，在四邊形 abcd 中，中，

11、ab=bc， a= c=90， b=135，k、n 分別是分別是 ab、bc 上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，若若 bkn 的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 ab 的的 2 倍，求倍，求 kdn 的度數(shù)的度數(shù)nkdcba fnkedcba延長(zhǎng) bc 至 f，使得 cf=ab，在 cf 上取點(diǎn) e，使得 ce=ak，連接 bd、de、dfabad，bccd，ab=bc rtadbrtcdbad=cdad=cd，ak=ce，abad，bccd adkcdedk=debk+bn+kn=2ab，bf=bn+ef+en=2ab，ef=cf-ce=ab-ak=bkkn=enndkndekdn=edn=cde+ndc=cde+adkabc

12、=135 kdn=(180-135)=22512點(diǎn)評(píng)：本題的輔助線可以看作是將adb 割下來，放到cdf 處，從而將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，進(jìn)而利用線段之間的等量關(guān)系求解【例例 5】 在等邊在等邊的兩邊的兩邊 ab，ac 所在直線上分別有兩點(diǎn)所在直線上分別有兩點(diǎn) m，n，d 為為外一點(diǎn)，且外一點(diǎn)，且，abcabc60mdn，探究：當(dāng)點(diǎn)，探究：當(dāng)點(diǎn) m，n 分別在直線分別在直線 ab，ac 上移動(dòng)時(shí)，上移動(dòng)時(shí)，bm，nc，mn 之間之間120bdcbdcd的數(shù)量關(guān)系及的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)的周長(zhǎng) l 的關(guān)系的關(guān)系amnabc2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版

13、 page 7 of 22 abcdmnabcdmnnmdcba如圖如圖，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) m，n 在邊在邊 ab，ac 上，且上，且 dm=dn 時(shí)，時(shí)，bm，nc，mn 之間的數(shù)量關(guān)系式之間的數(shù)量關(guān)系式_；此時(shí)；此時(shí)=_lq如圖如圖，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) m，n 在邊在邊 ab，ac 上，且上，且時(shí)，猜想時(shí)，猜想(1)問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出dndm 你的猜想并加以證明；你的猜想并加以證明；如圖如圖，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) m，n 分別在邊分別在邊 ab，ca 的延長(zhǎng)線上時(shí)，若的延長(zhǎng)線上時(shí)，若 an=x，則，則 q=_(用用 x，l 表示表示)bm+nc=mn;32lqeabcdmn(2)

14、猜想：仍然成立證明：如圖，延長(zhǎng) ac 至 e，使 ce=bm，連接 de ,120bdcdbdc且，30dbcdcb 由是等邊三角形，abc90mbdncd ()mbdecd sas，,dmdebdmcde 60ednbdcmdn 在與中mdnedndmdemdnedndndn()mdnedn sasmnnencbm的周長(zhǎng)=amnqamanmn()()ambmannc2abacab而等邊的周長(zhǎng)abc3lab2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 8 of 2223ql(3)223xl【鞏固鞏固】(】(1) )如圖如圖 25- -1，在四邊形，在四邊形 abcd 中，中，aba

15、d， b d90 ，e、f 分別是邊分別是邊 bc、cd 上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且 eaf= =12 bad求證：求證：efbefd; ;fedcba( (2) ) 如圖如圖 25- -2 在四邊形在四邊形 abcd 中，中，abad， b+d180 ，e、f 分別是邊分別是邊 bc、cd 上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且 eaf= = bad， ( (1) )中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明 12fedcbafedcba( (3) ) 如圖如圖 25- -3 在四邊形在四邊形 abcd 中，中，abad， b+adc180 ，e、f 分別是邊分別是邊 bc、cd 延長(zhǎng)線上延長(zhǎng)線上

16、的點(diǎn)，且的點(diǎn)，且 eaf= = bad， ( (1) )中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們12之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之間的數(shù)量關(guān)系，并證明2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 9 of 22gfedcbagfedcba證明：延長(zhǎng) eb 到 g，使 bg=df，聯(lián)結(jié) ag abgabc=d90， ab=ad，abgadfagaf， 121+32+3=eaf=bad12gae=eaf又 ae=ae，aegaefeg=ef eg=be+bgef= befd (2) (1)中的結(jié)論 ef= befd

17、仍然成立 (3)結(jié)論 ef=befd 不成立，應(yīng)當(dāng)是 ef=befd 證明：在 be 上截取 bg，使 bg=df，連接 agb+adc180，adf+adc180，badfabad，abgadfbag=daf，ag=af bag+eaddaf+ead=eaf =bad12gae=eafae=ae，aegaefeg=ef eg=be-bg 【例例 6】 ( (2005 年四川省中考題年四川省中考題) )如圖，等腰直角三角形如圖，等腰直角三角形中，中，為為中點(diǎn)，中點(diǎn)，abc90b abaoac求證：求證：為定值為定值eoofbebf2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 10

18、of 22obecfa 4321obecfa連結(jié)由上可知，而，ob1290 2390 13 445c oboc，obeocfbefcbebfcfbfbca【鞏固鞏固】等腰直角三角形等腰直角三角形，為為中點(diǎn)，中點(diǎn)，試猜想，試猜想，abc90abc abaoac45eof 、三者的關(guān)系三者的關(guān)系bebfefobecfa obegcfa如圖，過點(diǎn)作，交于，連結(jié)，易知，oogoebcgobogcobe，又，becgeoog45eoffog ofof，oefogfeffgbebfefcgbffgaba又，、又存在另一關(guān)系式90b bebfef222bfbeef【例例 7】 如圖所示正方形如圖所示正方形

19、abcd 中，在邊中，在邊 cd 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) q，連，連 aq，過，過 d 作作 dpaq，交，交 aq 于于 r，交，交bc 于于 p，正方形對(duì)角線交點(diǎn)為，正方形對(duì)角線交點(diǎn)為 o，連，連 op，oq求證：求證：opoqqrpodcba欲證 opoq，即證明cop+coq=90然而，coq+qod=90，因此只需證明cop=doq 即可這歸結(jié)為證明copdoq，又歸結(jié)為證明 cp=dq，最后，再歸結(jié)為證明adqdcp 的問題證 在正方形 abcd 中，因?yàn)?aqdp，所以，在 rtadq 與 rtrdq 中有rdq=qad所以，在rtadq 與 rtdcp 中有 ad=dc，adq=

20、dcp=90，qad=pdc，所以adqdcp(asa)，dq=cp又在doq 與cop 中，do=co，odq=ocp=45，所以doqcop(sas)，doq=cop2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 11 of 22從而poq=cop+coq=doq+coq=cod=90，即 opoq說明 (1)利用特殊圖形的特殊性質(zhì)，?？砂l(fā)現(xiàn)有用的條件，如正方形對(duì)角線互相垂直，對(duì)角線與邊成45角，及 oa=ob=oc=od 等均在推證全等三角形中被用到(2)兩個(gè)三角形的全等與對(duì)應(yīng)元素相等，這兩者互為因果，這是利用全等三角形證明問題的基本技巧【鞏固鞏固】如圖，正方形如圖，正方形繞正

21、方形繞正方形中點(diǎn)中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為、，求證：，求證：oghkabcdoefaecfab54321ohbedkgcfa正方形中，abcd1245 oaob而，3490 4590 ，35aoebof，aebfaefcbffcbcab【例例 8】 ( (2004 河北河北) )如圖，已知點(diǎn)如圖，已知點(diǎn)是正方形是正方形的邊的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)上一點(diǎn)，點(diǎn)是是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且eabcdcdfcb 求證：求證：eaafdebfdcbefa證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，abcdabad因?yàn)椋?0badadeabf eaaf所以，所以 90bafbaebaedae ，故，故 baf

22、dae rt abfrt adedebf【鞏固鞏固】如圖所示，在四邊形如圖所示，在四邊形中，中，于于，若四邊形，若四邊形abcd90adcabc adcddpabp 的面積是的面積是 16，求，求的長(zhǎng)的長(zhǎng)abcddp2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 12 of 22pdcbaabcdep如圖，過點(diǎn)作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，容易證得(實(shí)際上就是把ddedpbcdeeadpcde逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形)adp90dpbe正方形的面積等于四邊形面積為，dpbeabcd164dp 【例例 9】 已知已知：如圖，點(diǎn)：如圖，點(diǎn)為線段為線段上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，、是等邊三角形求證：是等邊三角形求證：

23、cabacmcbnanbmmdnecbfa、是等邊三角形，acmcbn，mcaccncbacnmcb ，acnmcbanbm【點(diǎn)評(píng)】此題放在例題之前回憶，此題是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形【鞏固鞏固】如圖，如圖，三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)共線，且與與是等邊三角形，連結(jié)是等邊三角形，連結(jié)，分別交分別交，于于bceabcdcebdaeacdc，點(diǎn)求證：點(diǎn)求證：mncmcnnmedcba與都是等邊三角形abcdce，及bcaccdce60acbdce ，三點(diǎn)共線bce，180bcddce 180bcaace 120bcdace 在與中bcdace ，bcacbcdacedcec bcdacecancbm 2010 年暑假

24、 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 13 of 22，120bcdace 60bcmnce 60acd在與中bcmacn ，60bcacbcmacncbmcan bcmacncmcn【鞏固鞏固】已知：如圖，點(diǎn)已知：如圖，點(diǎn)為線段為線段上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，、是等邊三角形求證：是等邊三角形求證：平分平分cabacmcbncfafbmdnecbfa gmh dnecbfa過點(diǎn)作于，于，由，ccgangchbmhacnmcb利用進(jìn)而再證，可得到，故平分aasbchncdcgchcfafb【鞏固鞏固】如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)為線段為線段上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，、是等邊三角形是等邊三角形cabacmcbn請(qǐng)你證明：請(qǐng)你

25、證明：；anbm；deab平分平分cfafbmdnecbfa此圖是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形其中蘊(yùn)含了許多等量關(guān)系與三角形各內(nèi)角相等，60mcn及平行線所形成的內(nèi)錯(cuò)角及同位角相等；全等三角形推導(dǎo)出來的對(duì)應(yīng)角相等推到而得的：；afcbfc ，；anbmcdceadmendbe，；amcncmbndeab，；acnmcbadcmcendcbec為等邊三角形dec、是等邊三角形，acmcbn，mcaccncbacnmcb ，acnmcbanbm由易推得，所以，又，acnmcbndcbeccdce60mcn2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 14 of 22進(jìn)而可得為等邊三角形易得decd

26、eab過點(diǎn)作于，于，由，ccgangchbmhacnmcb利用進(jìn)而再證，可得，故平分aasbchncdafcbfc cfafb【例例 10】如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)為線段為線段上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，、是等邊三角形，是等邊三角形，是是中點(diǎn)，中點(diǎn)，是是中點(diǎn)，中點(diǎn)，cabacmcbndanebm求證：求證：是等邊三角形是等邊三角形cdemdnecba，acnmcbanbmabmanc 又、分別是、的中點(diǎn)，deanbm，bcencdcecdbcencd 60dcencdncebcencencb 是等邊三角形cde【鞏固鞏固】(】(年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽海南區(qū)初賽年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽海南區(qū)初賽) )如下圖，在線段如下圖，在

27、線段同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形和和2008aeabc( () )，點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)分別是線段分別是線段和和的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)，則是是( ( ) )cde120acepmbeadcpmpmbcdeaa鈍角三角形鈍角三角形 b直角三角形直角三角形c等邊三角形等邊三角形 d非等腰三角形非等腰三角形易得所以可以看成是繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得到的又為線段acdbcebceacdc60m中點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，故就是繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得所以且，adpbecpcmc60cpcm，故是等邊三角形，選 c60pcmcpm【例例 11】平面上三個(gè)正三角形平面上三個(gè)正三角形，兩兩共只有一個(gè)頂點(diǎn)，求證：兩兩共只有一個(gè)

28、頂點(diǎn)，求證：與與互相平分互相平分acfabdbceefcdfedbca連接與dedf，dbaebc badcaf 2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 15 of 22，dbeabc bacdaf 在與中dbeabcdbabdbeabcbebc (sas)dbeabcdecafc在與中dfabcadabadafbacafac (sas)dfabcadfbcec為平行四邊形，decf，互相平分efcd【例例 12】已知：如圖，已知：如圖，、都是等邊三角形，且都是等邊三角形，且、共線，共線，求求abccdeehkadkaddk證：證：也是等邊三角形也是等邊三角形hbdekhcd

29、bamabdchke連結(jié)，ebcecdceeabead所以，并且與的夾角為，beadbead60延長(zhǎng)交于，ebakm則360300ebhbhdhdebedhdmmdemedmmdemedhdmhdk又因?yàn)椋琱kadbebhhd所以behdkh所以，hkheehdehddhkbhe 【例例 13】( (1997 年安徽省競(jìng)賽題年安徽省競(jìng)賽題) )如圖，在如圖，在外面作正方形外面作正方形與與，為為的的abcabefacghadabc高，其反向延長(zhǎng)線交高，其反向延長(zhǎng)線交于于，求證：，求證：( (1) );(;(2) )fhmcfbh mhmf 2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第

30、12 講 教師版 page 16 of 22mefhgdcba證明;(2)作，先證，abhafcpmdfp于qmdhq于afpbadacd，再證haqfpmhqm【鞏固鞏固】(】(2008 年懷化市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試試卷年懷化市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試試卷) )如圖，四邊形如圖，四邊形、都是正方形，連接都是正方形，連接、abcddefgae求證：求證：cgaecggfedcbaadcedg cdgade 在和中cdgade cdadcdgadedgde cdgadeaecg【鞏固鞏固】以以 abc 的兩邊的兩邊 ab、ac 為邊向外作正方形為邊向外作正方形 abde、acfg，求證：，求證：ce=bg，

31、且，且 cebg ogfedcba易證aecabg，故ace=agb，又 acag，aog=boc，故 cebg2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 17 of 22【例例 14】( (北京市初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題北京市初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) ) 如圖所示，在五邊形如圖所示，在五邊形中，中，abcde90be ，求此五邊形的面積，求此五邊形的面積abcdae1bcdeedcba fedcba我們馬上就會(huì)想到連接、，因?yàn)槠渲杏袃蓚€(gè)直角三角形，但又發(fā)現(xiàn)直接求各三角形的面積并acad不容易，至此思路中斷我們回到已知條件中去，注意到，這一條件應(yīng)當(dāng)如何利用？聯(lián)想到在證明線段相等時(shí)我1bcde們

32、常用的“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”，那么可否把拼接到的一端且使呢(如圖所示)？據(jù)此，連接bcdeefbc，則發(fā)現(xiàn)，且，是底、高各為 的三角形，其面afabcaef1fd afacaeabadf1積為，而與全等，從而可知此五邊形的面積為 12acdafd1【鞏固鞏固】(】(江蘇省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題江蘇省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) )如圖，已知五邊形如圖，已知五邊形 abcde 中，中， abc= aed=90，ab=cd=ae=bc+de=2求該五邊形的面積求該五邊形的面積edcba fedcba延長(zhǎng) cb 至 f，使得 bf=de，連接 af、ac、adabc=aed=90，ab=ae，bf=deabfaedaf=adcd=

33、 bc+de=bc+bf=cf，ac=acacfacdab=cd=cf=2該五邊形的面積為 16點(diǎn)評(píng)：本題可看作將五邊形 abcde 分割成三塊，通過割補(bǔ)重新組合成一個(gè)規(guī)則的圖形【鞏固鞏固】(】(希望杯全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第二試試題希望杯全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第二試試題) ) 在在五邊形五邊形中，已知中，已知，abcdeabaebcdecd，連接，連接求證：求證：平分平分180abcaed adadcde2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 18 of 22edcba fedcba連接由于，acabae180abcaed 我們以為中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置因，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，而a

34、abcaefabaebe，180aefaedabcaed 所以、在一條直線上，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后落在點(diǎn)的位置，且，defcfafacefbc所以dfdeefdebccd在與中，acdafd因?yàn)?，acafcdfdadad故，acdafd因此，即平分adcadf adcde【例例 15】( (2008 山東山東) )在梯形在梯形中，中，是是中中abcdabcd90a 2ab 3bc 1cd ead點(diǎn)，試判斷點(diǎn)，試判斷與與的位置關(guān)系，并寫出推理過程的位置關(guān)系，并寫出推理過程ecebabcde fedcba延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)becdf是中點(diǎn)，eaddeae，abcd90a 90edfeab abedfe 在和中，

35、aebfedabedfeeabedfaede ，aebfedfebe又，2,3,1abbccdcfbc在和中，fcebcefcbccecefebe，fcebceceeb2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 19 of 22家庭作業(yè)【習(xí)題習(xí)題 1】如圖，已知如圖，已知和和都是等邊三角形，都是等邊三角形，、在一條直線上，試說明在一條直線上，試說明與與abcadebcdce相等的理由相等的理由accdedcba，acabcaebad aeadaecadbcebd又bdbccdaccdceaccd【習(xí)題習(xí)題 2】(】(湖北省黃岡市湖北省黃岡市 2008 年初中畢業(yè)生升學(xué)考試年初中畢

36、業(yè)生升學(xué)考試) )已知：如圖，點(diǎn)已知：如圖，點(diǎn)是正方形是正方形的邊的邊上任意一上任意一eabcdab點(diǎn)，過點(diǎn)點(diǎn)，過點(diǎn)作作交交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求證：求證：ddfdebcfdedffedcbaadcedf adecdf 在和中adecdfdaedcfadcdadecdf adecdf dedf【習(xí)題習(xí)題 3】如圖，正方形如圖，正方形 abcd 的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 1，ab、ad 上各存一點(diǎn)上各存一點(diǎn) p、q，若，若 apq 的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 2，求，求 pcq 的的度數(shù)度數(shù)2010 年暑假 初二數(shù)學(xué)第 12 講 教師版 page 20 of 22qpdcba qpfdcba把cdq 繞點(diǎn) c 旋轉(zhuǎn) 90到cbf 的位置，cq=cfaq+ap+qp=2，又 aq+qd+ap+pb=2，qd+bp=qp又 dq=bf，pq=pfqcp=fcpqcpfcp又qcf=90，pcq=45【習(xí)題習(xí)題 4】已知：如圖，點(diǎn)已知：如圖，點(diǎn)