2008中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克解答

1、2008中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克解答第一天1. 設(shè)銳角 的三邊長(zhǎng)互不相等. 為其外心, 點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上, 使得 . 過(guò)點(diǎn)分別作, , 垂足分別為, . 作, 垂足為. 記的外接圓半徑為 , 類似地可得, . 求證:,其中R 為的外接圓半徑.（熊斌提供）證明 首先, 易知四點(diǎn)共圓. 事實(shí)上，作BOC的外接圓，設(shè)它與AO相交于點(diǎn)P不同于，則，于是，可得，故，矛盾。所以, ., .所以. 同理, .所以, 則 .所以, .作，垂足為，因?yàn)椋?，于?推薦精選故 ,同理, , , 注意到,所以 .2. 給定整數(shù). 證明: 集合能寫(xiě)成兩個(gè)不相交的非空子集的并, 使得每一個(gè)子集均不包含個(gè)元素, 滿足, .（

2、冷崗松提供）證明 定義, . 令, . 下面證明即為滿足題目要求的兩個(gè)子集. 首先, , 且.其次, 如果中存在個(gè)元素 滿足, .則 (*) 不妨設(shè). 由于, 故. 這個(gè)數(shù)中至少有個(gè)在中. 根據(jù)抽屜原理, 必有某個(gè)中含有其中至少兩個(gè)數(shù), 設(shè)最小的一個(gè)為, 則, 而. 于是, .所以, 與(*)矛盾.故中不存在個(gè)元素滿足題中假設(shè).同理, 中亦不存在這樣的個(gè)元素. 這表明即為滿足題中要求的兩個(gè)子集.3. 給定正整數(shù), 及實(shí)數(shù) 滿足推薦精選.證明: 對(duì)任意實(shí)數(shù), 有.這里, 表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù).（朱華偉提供）證明1 我們先證明一個(gè)引理, 對(duì)任意實(shí)數(shù)和正整數(shù), 有引理證明 只需要將對(duì)求和即得.回

3、到原題, 我們采用歸納法對(duì)進(jìn)行歸納, 當(dāng)時(shí)顯然正確.假設(shè)時(shí)原命題成立, 考慮. 令, 其中 顯然我們有 , 并且通過(guò)計(jì)算得知, 由歸納假設(shè)知. 又, 否則若, 則, , 矛盾. 從而由此可得. 由歸納法知原命題對(duì)任意正整數(shù)均成立.證明2 記, 則且, 只需要證明推薦精選. (1)令, 則, 所以,從而 . (2)于是 ,故(1)轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的, . (3) 而. 故只需要證明對(duì)任意的, 有 ,而上述不等式等價(jià)于.注意到對(duì)任意實(shí)數(shù)成立, 上述不等式顯然成立. 從而(3)得證. 第二天4. 設(shè)是正整數(shù)集的無(wú)限子集, 是給定的整數(shù). 已知: 對(duì)任意一個(gè)不整除推薦精選的素?cái)?shù), 集合中均有無(wú)窮多個(gè)元

4、素不被整除. （余紅兵提供）證明: 對(duì)任意整數(shù), , 集合中均存在有限個(gè)不同元素, 其和滿足(mod), 且 (mod).證明1 設(shè), 則集合中有一個(gè)無(wú)窮子集, 其中的元素都不被整除. 由抽屜原理知, 集合有一個(gè)無(wú)窮子集, 其中的元素都(mod ), 是一個(gè)不被整除的數(shù).因, 故. 由中國(guó)剩余定理, 同余方程組 (1)有無(wú)窮多個(gè)整數(shù)解. 任取其中一個(gè)正整數(shù)解, 并記是中前項(xiàng)的集合, 則中的元素之和, 再由(1)可知, .設(shè), 并設(shè)對(duì)每個(gè)已選出了的有限子集, 其中, 使得中的元素和滿足 , . (2)考慮集合, 則的元素和. 根據(jù)(2), 我們有,(), 且.所以即滿足題目要求.證明2 考慮中的

5、數(shù)除以的余數(shù), 設(shè)出現(xiàn)無(wú)窮多次的余數(shù)依次為.首先證明. (1)反證法. 反設(shè)有某個(gè)素?cái)?shù), 則由知不整除; 又根據(jù)推薦精選的定義, 中只有有限個(gè)數(shù)不是的倍數(shù), 這與題設(shè)矛盾.于是(1)獲證. 從而存在正整數(shù), 使得. 再取合適的正整數(shù)使得. 則.于是從中依次取出個(gè)模的余數(shù)為的數(shù)即滿足題目要求.5. 求具有如下性質(zhì)的最小正整數(shù): 將正邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)任意染上紅, 黃, 藍(lán)三種顏色之一, 那么這個(gè)頂點(diǎn)中一定存在四個(gè)同色點(diǎn), 它們是一個(gè)等腰梯形的頂點(diǎn).（冷崗松提供）解 所求的最小值為. 首先證明時(shí), 結(jié)論成立. 反證法. 反設(shè)存在一種將正邊形的頂點(diǎn)三染色的方法, 使得不存在4個(gè)同色頂點(diǎn)是某個(gè)等腰梯形的

6、頂點(diǎn).由于, 故必存在某6個(gè)頂點(diǎn)染同一種顏色, 不妨設(shè)為黃色. 將這6個(gè)點(diǎn)兩兩連線, 可以得到條線段. 由于這些線段的長(zhǎng)度只有種可能, 于是必出現(xiàn)如下的兩種情況之一:(1) 有某3條線段長(zhǎng)度相同.注意到3F17, 不可能出現(xiàn)這3條線段兩兩有公共頂點(diǎn)的情況. 所以存在兩條線段, 頂點(diǎn)互不相同. 這兩條線段的4個(gè)頂點(diǎn)即滿足題目要求, 矛盾.(2) 有7對(duì)長(zhǎng)度相等的線段.由假設(shè), 每對(duì)長(zhǎng)度相等的線段必有公共的黃色頂點(diǎn), 否則能找到滿足題目要求的4個(gè)黃色頂點(diǎn). 再根據(jù)抽屜原理, 必有兩對(duì)線段的公共頂點(diǎn)是同一個(gè)黃色點(diǎn). 這4條線段的另4個(gè)頂點(diǎn)必然是某個(gè)等腰梯形的頂點(diǎn), 矛盾.所以, 時(shí), 結(jié)論成立.再對(duì)

7、構(gòu)造出不滿足題目要求的染色方法. 用表示正邊形的頂點(diǎn)(按順時(shí)針?lè)较?, 分別表示三種顏色的頂點(diǎn)集.當(dāng)時(shí), 令, 推薦精選. 對(duì)于, 到另4個(gè)頂點(diǎn)的距離互不相同, 而另4個(gè)點(diǎn)剛好是一個(gè)矩形的頂點(diǎn). 類似于, 可驗(yàn)證中不存在4個(gè)頂點(diǎn)是某個(gè)等腰梯形的頂點(diǎn). 對(duì)于, 其中6個(gè)頂點(diǎn)剛好是3條直徑的頂點(diǎn), 所以任意4個(gè)頂點(diǎn)要么是某個(gè)矩形的4個(gè)頂點(diǎn), 要么是某個(gè)不等邊4邊形的4個(gè)頂點(diǎn). 當(dāng)時(shí),令, , 每個(gè)中均無(wú)4點(diǎn)是等腰梯形的頂點(diǎn).當(dāng)時(shí), 令, , , 每個(gè)中均無(wú)4點(diǎn)是等腰梯形的頂點(diǎn).當(dāng)時(shí), 令, , , 每個(gè)中均無(wú)4點(diǎn)是等腰梯形的頂點(diǎn).在上述情形中去掉頂點(diǎn), 染色方式不變, 即得到的染色方法; 然后再去

8、掉頂點(diǎn), 即得到的染色方法; 繼續(xù)去掉頂點(diǎn), 得到的染色方法.當(dāng)時(shí), 可以使每種顏色的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)小于4, 從而無(wú)4個(gè)同色頂點(diǎn)是某個(gè)等腰梯形的頂點(diǎn).上面構(gòu)造的例子表明不具備題目要求的性質(zhì).總上所述, 所求的的最小值為17.6. 試確定所有同時(shí)滿足, 的三元數(shù)組, 其中為奇素?cái)?shù), 為大于1的整數(shù).（陳永高提供）解 易見(jiàn)均為滿足要求的數(shù)組. 假設(shè)為其它滿足要求的一數(shù)組, 則. 不妨設(shè).如果, 則, 即. 由于不同時(shí)整除推薦精選和, 故或. 但, , 矛盾.因此. 由知.又, 為素?cái)?shù), 故. (1)因此得, 從而.由及知, 從而, 結(jié)合有. 因此, 故. 這樣.且由易知. 由知. 由費(fèi)馬小定理知, 因此.如果, 則,