2008中國數(shù)學奧林匹克解答

1、2008中國數(shù)學奧林匹克解答第一天1. 設銳角 的三邊長互不相等. 為其外心, 點在線段的延長線上, 使得 . 過點分別作, , 垂足分別為, . 作, 垂足為. 記的外接圓半徑為 , 類似地可得, . 求證:,其中R 為的外接圓半徑.（熊斌提供）證明 首先, 易知四點共圓. 事實上，作BOC的外接圓，設它與AO相交于點P不同于，則，于是，可得，故，矛盾。所以, ., .所以. 同理, .所以, 則 .所以, .作，垂足為，因為，所以，于是,推薦精選故 ,同理, , , 注意到,所以 .2. 給定整數(shù). 證明: 集合能寫成兩個不相交的非空子集的并, 使得每一個子集均不包含個元素, 滿足, .（

2、冷崗松提供）證明 定義, . 令, . 下面證明即為滿足題目要求的兩個子集. 首先, , 且.其次, 如果中存在個元素 滿足, .則 (*) 不妨設. 由于, 故. 這個數(shù)中至少有個在中. 根據(jù)抽屜原理, 必有某個中含有其中至少兩個數(shù), 設最小的一個為, 則, 而. 于是, .所以, 與(*)矛盾.故中不存在個元素滿足題中假設.同理, 中亦不存在這樣的個元素. 這表明即為滿足題中要求的兩個子集.3. 給定正整數(shù), 及實數(shù) 滿足推薦精選.證明: 對任意實數(shù), 有.這里, 表示不超過實數(shù)的最大整數(shù).（朱華偉提供）證明1 我們先證明一個引理, 對任意實數(shù)和正整數(shù), 有引理證明 只需要將對求和即得.回

3、到原題, 我們采用歸納法對進行歸納, 當時顯然正確.假設時原命題成立, 考慮. 令, 其中 顯然我們有 , 并且通過計算得知, 由歸納假設知. 又, 否則若, 則, , 矛盾. 從而由此可得. 由歸納法知原命題對任意正整數(shù)均成立.證明2 記, 則且, 只需要證明推薦精選. (1)令, 則, 所以,從而 . (2)于是 ,故(1)轉化為證明對任意的, . (3) 而. 故只需要證明對任意的, 有 ,而上述不等式等價于.注意到對任意實數(shù)成立, 上述不等式顯然成立. 從而(3)得證. 第二天4. 設是正整數(shù)集的無限子集, 是給定的整數(shù). 已知: 對任意一個不整除推薦精選的素數(shù), 集合中均有無窮多個元

4、素不被整除. （余紅兵提供）證明: 對任意整數(shù), , 集合中均存在有限個不同元素, 其和滿足(mod), 且 (mod).證明1 設, 則集合中有一個無窮子集, 其中的元素都不被整除. 由抽屜原理知, 集合有一個無窮子集, 其中的元素都(mod ), 是一個不被整除的數(shù).因, 故. 由中國剩余定理, 同余方程組 (1)有無窮多個整數(shù)解. 任取其中一個正整數(shù)解, 并記是中前項的集合, 則中的元素之和, 再由(1)可知, .設, 并設對每個已選出了的有限子集, 其中, 使得中的元素和滿足 , . (2)考慮集合, 則的元素和. 根據(jù)(2), 我們有,(), 且.所以即滿足題目要求.證明2 考慮中的

5、數(shù)除以的余數(shù), 設出現(xiàn)無窮多次的余數(shù)依次為.首先證明. (1)反證法. 反設有某個素數(shù), 則由知不整除; 又根據(jù)推薦精選的定義, 中只有有限個數(shù)不是的倍數(shù), 這與題設矛盾.于是(1)獲證. 從而存在正整數(shù), 使得. 再取合適的正整數(shù)使得. 則.于是從中依次取出個模的余數(shù)為的數(shù)即滿足題目要求.5. 求具有如下性質的最小正整數(shù): 將正邊形的每一個頂點任意染上紅, 黃, 藍三種顏色之一, 那么這個頂點中一定存在四個同色點, 它們是一個等腰梯形的頂點.（冷崗松提供）解 所求的最小值為. 首先證明時, 結論成立. 反證法. 反設存在一種將正邊形的頂點三染色的方法, 使得不存在4個同色頂點是某個等腰梯形的

6、頂點.由于, 故必存在某6個頂點染同一種顏色, 不妨設為黃色. 將這6個點兩兩連線, 可以得到條線段. 由于這些線段的長度只有種可能, 于是必出現(xiàn)如下的兩種情況之一:(1) 有某3條線段長度相同.注意到3F17, 不可能出現(xiàn)這3條線段兩兩有公共頂點的情況. 所以存在兩條線段, 頂點互不相同. 這兩條線段的4個頂點即滿足題目要求, 矛盾.(2) 有7對長度相等的線段.由假設, 每對長度相等的線段必有公共的黃色頂點, 否則能找到滿足題目要求的4個黃色頂點. 再根據(jù)抽屜原理, 必有兩對線段的公共頂點是同一個黃色點. 這4條線段的另4個頂點必然是某個等腰梯形的頂點, 矛盾.所以, 時, 結論成立.再對

7、構造出不滿足題目要求的染色方法. 用表示正邊形的頂點(按順時針方向), 分別表示三種顏色的頂點集.當時, 令, 推薦精選. 對于, 到另4個頂點的距離互不相同, 而另4個點剛好是一個矩形的頂點. 類似于, 可驗證中不存在4個頂點是某個等腰梯形的頂點. 對于, 其中6個頂點剛好是3條直徑的頂點, 所以任意4個頂點要么是某個矩形的4個頂點, 要么是某個不等邊4邊形的4個頂點. 當時,令, , 每個中均無4點是等腰梯形的頂點.當時, 令, , , 每個中均無4點是等腰梯形的頂點.當時, 令, , , 每個中均無4點是等腰梯形的頂點.在上述情形中去掉頂點, 染色方式不變, 即得到的染色方法; 然后再去

8、掉頂點, 即得到的染色方法; 繼續(xù)去掉頂點, 得到的染色方法.當時, 可以使每種顏色的頂點個數(shù)小于4, 從而無4個同色頂點是某個等腰梯形的頂點.上面構造的例子表明不具備題目要求的性質.總上所述, 所求的的最小值為17.6. 試確定所有同時滿足, 的三元數(shù)組, 其中為奇素數(shù), 為大于1的整數(shù).（陳永高提供）解 易見均為滿足要求的數(shù)組. 假設為其它滿足要求的一數(shù)組, 則. 不妨設.如果, 則, 即. 由于不同時整除推薦精選和, 故或. 但, , 矛盾.因此. 由知.又, 為素數(shù), 故. (1)因此得, 從而.由及知, 從而, 結合有. 因此, 故. 這樣.且由易知. 由知. 由費馬小定理知, 因此.如果, 則,