關(guān)于極值點(diǎn)的幾個(gè)題目

1、關(guān)于極值點(diǎn)與零點(diǎn)的幾個(gè)題一解答題（共7小題）1已知函數(shù)（1）若y=f（x）在（0，+）恒單調(diào)遞減，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1x2），求a的取值范圍并證明x1+x222已知函數(shù)f（x）=xlnxx2x+a（ar）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)（1）求a的取值范圍；（2）記兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1x2，已知0，若不等式x1x2e1+恒成立，求的取值范圍3已知函數(shù)f（x）=lnax2+x，（1）討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：f（x1）+f（x2）34ln24已知函數(shù)f（x）=（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若a=

2、，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍5已知函數(shù)f（x）=lnxax（）若函數(shù)f（x）在（1，+）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1x2求證：x1+x216已知f（x）=ln（mx+1）2（m0）（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若m0，g（x）=f（x）+存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且g（x1）+g（x2）0，求m的取值范圍7已知函數(shù)f（x）=x（lnxax）（ar），g（x）=f（x）（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線與直線3xy1=0平行，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若

3、函數(shù)f（x）=g（x）+x2有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1x2，求證：f（x2）1f（x1）關(guān)于極值點(diǎn)的幾個(gè)題目-有點(diǎn)難參考答案與試題解析一解答題（共7小題）1（2017達(dá)州模擬）已知函數(shù)（1）若y=f（x）在（0，+）恒單調(diào)遞減，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1x2），求a的取值范圍并證明x1+x22【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令f（x）=f'（x）=lnxax+1，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍求出a的范圍，證明即可【解答】解：（

4、1）因?yàn)閒'（x）=lnxax+1（x0），所以由f'（x）0在（0，+）上恒成立得，令，易知g（x）在（0，1）單調(diào)遞增（1，+）單調(diào)遞減，所以ag（1）=1，即得：a1（5分）（2）函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1x2），即y=f'（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且均為正，f'（x）=lnxax+1（x0），令f（x）=f'（x）=lnxax+1，由可知1）a0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（0，+）上是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)2）a0時(shí)，y=f（x）在是增函數(shù)在是減函數(shù)，此時(shí)為函數(shù)的極大值，也是最大值當(dāng)時(shí)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以才可能有兩個(gè)零點(diǎn)，得：0a

5、1（7分）此時(shí)又因?yàn)?，令，（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，所以（a）（1）=3e2，即綜上，所以a的取值范圍是（0，1）（8分）下面證明x1+x22由于y=f（x）在是增函數(shù)在是減函數(shù)，可構(gòu)造出構(gòu)造函數(shù) 則，故m（x）在區(qū)間上單調(diào)減又由于，則，即有m（x1）0在上恒成立，即有成立由于，y=f（x）在是減函數(shù)，所以所以成立 （12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題2（2017天心區(qū)校級(jí)一模）已知函數(shù)f（x）=xlnxx2x+a（ar）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)（1）求a的取值范圍；（2）記兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1x2，已知0，

6、若不等式x1x2e1+恒成立，求的取值范圍【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知可轉(zhuǎn)化為方程f（x）=lnxax=0在（0，+）有兩個(gè)不同根；再轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；（2）原式等價(jià)于 ，令t=，t（0，1），則不等式lnt在t（0，1）上恒成立令h（t）=lnt，t（0，1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出即可【解答】解：（1）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+），方程f（x）=0在（0，+）有兩個(gè)不同根，即方程lnxax=0在（0，+）有兩個(gè)不同根；轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖示：，可見(jiàn)，若令過(guò)原點(diǎn)且切于函

7、數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0ak令切點(diǎn)a（x0，lnx0），故k=y|x=x0=，又k=，故 =，解得，x0=e，故k=，故0a；（2）因?yàn)閑1+x1x2等價(jià)于1+lnx1+lnx2由（1）可知x1，x2分別是方程lnxax=0的兩個(gè)根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等價(jià)于1+ax1+ax2=a（x1+x2），因?yàn)?，0x1x2，所以原式等價(jià)于a，又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln =a（x1x2），所以原式等價(jià)于 ，因?yàn)?x1x2，原式恒成立，即ln恒成立令t=，t（0，1），則不等式lnt在t（0，1）上恒成立令h（t）=lnt，t（0，1），又h（

8、t）=，當(dāng)21時(shí)，可見(jiàn)t（0，1）時(shí)，h（t）0，所以h（t）在t（0，1）上單調(diào)增，又h（1）=0，h（t）0在t（0，1）恒成立，符合題意當(dāng)21時(shí)，可見(jiàn)t（0，2）時(shí)，h（t）0，t（2，1）時(shí)h（t）0，所以h（t）在t（0，2）時(shí)單調(diào)增，在t（2，1）時(shí)單調(diào)減，又h（1）=0，所以h（t）在t（0，1）上不能恒小于0，不符合題意，舍去綜上所述，若不等式e1+x1x2恒成立，只須21，又0，所以1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用，是一道綜合題3（2017湖北模擬）已知函數(shù)f（x）=lnax2+x，（1）討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若

9、f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：f（x1）+f（x2）34ln2【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值的個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)x1，x2是方程2ax2x+1=0的兩根，得到，求出f（x1）+f（x2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可【解答】解：（1）由，得：，（）a=0時(shí)，x（0，1），f（x）0，x（1，+），f（x）0，所以x=1，f（x）取得極小值，x=1是f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn)（）a0時(shí)，=18a0，令f（x）=0，得顯然，x10，x20，f（x）在x=x1取得極小值，f（x）有一個(gè)極小值點(diǎn)（）a0時(shí)，=18a0即時(shí)，f（x）0，f（x）在（0

10、，+）是減函數(shù)，f（x）無(wú)極值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，=18a0，令f（x）=0，得當(dāng)x（0，x1）和x（x2，+）f（x）0，x（x1，x2）時(shí)，f（x）0，f（x）在x1取得極小值，在x2取得極大值，所以f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)綜上可知：（）a0時(shí)，f（x）僅有一個(gè)極值點(diǎn)；（） 當(dāng)時(shí)，f（x）無(wú)極值點(diǎn)；（）當(dāng)時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)（2）證明：由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)a（0，）時(shí)，f（x）有極小值點(diǎn)x1和極大值點(diǎn)x2，且x1，x2是方程2ax2x+1=0的兩根，=，設(shè)，時(shí)，g（a）是減函數(shù)，f（x1）+f（x2）34ln2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論數(shù)思想，是一道綜合題4（

11、2016包頭校級(jí)三模）已知函數(shù)f（x）=（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若a=，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【分析】（1）若a=，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點(diǎn)問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可【解答】解：（1）若a=，f（x）=（x2+bx+1）ex，則f（x）=（2x+b）ex（x2+bx+1）ex=x2+（b2）x+1bex=（x1）x（1b）ex，由f（x）=0得（x1）x（1b）

12、=0，即x=1或x=1b，若1b=1，即b=0時(shí)，f（x）=（x1）2ex0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（，+）若1b1，即b0時(shí)，由f（x）=（x1）x（1b）ex0得（x1）x（1b）0，即1x1b，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為（1，1b），由f（x）=（x1）x（1b）ex0得（x1）x（1b）0，即x1，或x1b，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（，1），（1b，+），若1b1，即b0時(shí)，由f（x）=（x1）x（1b）ex0得（x1）x（1b）0，即1bx1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為（1b，1），由f（x）=（x1）x（1b）ex0得（x1）x（1b）0，即x1b，或

13、x1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（，1b），（1，+）（2）若f（1）=1，則f（1）=（2a+b+1）e1=1，即2a+b+1=e，則b=e12a，若方程f（x）=1在（0，1）內(nèi)有解，即方程f（x）=（2ax2+bx+1）ex=1在（0，1）內(nèi)有解，即2ax2+bx+1=ex在（0，1）內(nèi)有解，即ex2ax2bx1=0，設(shè)g（x）=ex2ax2bx1，則g（x）在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，設(shè)x0是g（x）在（0，1）內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則g（0）=0，g（1）=0，知函數(shù)g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減，設(shè)h（x）=g（x），則h（x）在（0，x0）和（x0

14、，1）上存在零點(diǎn)，即h（x）在（0，1）上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，g（x）=ex4axb，h（x）=ex4a，當(dāng)a時(shí)，h（x）0，h（x）在（0，1）上遞增，h（x）不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，當(dāng)a時(shí)，h（x）0，h（x）在（0，1）上遞減，h（x）不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，當(dāng)a時(shí)，令h（x）=0，得x=ln（4a）（0，1），則h（x）在（0，ln（4a）上遞減，在（ln（4a），1）上遞增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a）若h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則有h（ln（4a）0，h（0）0，h（1）0，h（ln（4a）=4a4aln（4a）b=6a4aln（4a）+1e，a，設(shè)（x）=xxlnx+1

15、e，（1xe），則（x）=lnx，令（x）=lnx=0，得x=，當(dāng)1x時(shí)，（x）0，此時(shí)函數(shù)（x）遞增，當(dāng)xe時(shí)，（x）0，此時(shí)函數(shù)（x）遞減，則（x）max=（）=+1e0，則h（ln（4a）0恒成立，由h（0）=1b=2ae+20，h（1）=e4ab0，得a，當(dāng)a時(shí)，設(shè)h（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，則g（x）在（0，x1）遞增，在（x1，x2）上遞減，在（x2，1）遞增，則g（x1）g（0）=0，g（x2）g（1）=0，則g（x）在（x1，x2）內(nèi)有零點(diǎn)，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解和判斷，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系

16、是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強(qiáng)，難度較大5（2016寧城縣模擬）已知函數(shù)f（x）=lnxax（）若函數(shù)f（x）在（1，+）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1x2求證：x1+x21【分析】（）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分離參數(shù)a，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x1時(shí)恒成立，解出即可；（）求出個(gè)零點(diǎn)x1，x2，得到構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可【解答】解：（i）因?yàn)閒（x）=lnxax，則，若函數(shù)f（x）=lnxax在（1，+）上單調(diào)遞減，則1ax0在（1，+）上恒成立，即當(dāng)x1時(shí)恒成立，所以a1（5分）（ii）證明：根據(jù)題意，因?yàn)閤1，x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，

17、所以，兩式相減，可得，（7分）即，故那么，令，其中0t1，則構(gòu)造函數(shù)，（10分）則因?yàn)?t1，所以h'（t）0恒成立，故h（t）h（1），即可知，故x1+x21（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查不等式的證明，是一道綜合題6（2016河南三模）已知f（x）=ln（mx+1）2（m0）（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若m0，g（x）=f（x）+存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且g（x1）+g（x2）0，求m的取值范圍【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)

18、區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值，判斷是否符合題意，從而判斷出m的范圍即可【解答】解：（1）由已知得mx+10，f（x）=，若m0時(shí)，由mx+10，得：x，恒有f（x）0，f（x）在（，+）遞增；若m0，由mx+10，得：x，恒有f（x）0，f（x）在（，）遞減；綜上，m0時(shí)，f（x）在（，+）遞增，m0時(shí)，f（x）在（，）遞減；（2）g（x）=ln（mx+1）+2，（m0），g（x）=，令h（x）=mx2+4m4，m1時(shí)，h（x）0，g（x）0，g（x）無(wú)極值點(diǎn)，0m1時(shí)，令h（x）=0，得：x1=2或x2=2，由g（x）的定義域可知x且x2，2且22，解得：m，x1，x2為g（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，即

19、x1=2，x2=2，且x1+x2=0，x1x2=，得：g（x1）+g（x2）=ln（mx1+1）+2+ln（mx2+1）+2=ln（2m1）2+2，令t=2m1，f（t）=lnt2+2，0m時(shí)，1t0，f（t）=2ln（t）+2，f（t）=0，f（t）在（1，0）遞減，f（t）f（1）0，即0m時(shí)，g（x1）+g（x2）0成立，符合題意；m1時(shí)，0t1，f（t）=2lnt+2，f（t）=0，f（t）在（0，1）遞減，f（t）f（1）=0，m1時(shí)，g（x1）+g（x2）0，不合題意，綜上，m（0，）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，是一道綜合題7（2016湖北模擬）已知函數(shù)f（x）=x（lnxax）（ar），g（x）=f（x）（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線與直線3xy1=0平行，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)f（x）=g（x）+x2有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1x2，求證：f（x2）1f（x1）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，解a；（2）利用極值點(diǎn)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求出a的范圍，進(jìn)一步求出f（x）的解析式，通過(guò)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性以及最值【解答】解：（1）f（x）=ln x2ax+1，f（1）=1