一組勾股定理探究題

1、一組勾股定理探究題勾股定理是初中數(shù)學(xué)中的重要定理之一.它揭示了一個(gè)直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，反映了三邊之間特殊的平方關(guān)系。在應(yīng)用定理解證題后，進(jìn)行深入探究，既有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和創(chuàng)造性能力，又能使勾股定理應(yīng)用的教學(xué)余音不絕。近些年來，出現(xiàn)了很多與勾股定理相關(guān)的探究題，現(xiàn)舉幾例說明。一、有關(guān)勾股定理證明方面的探究題【例題1】如圖1，是用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊的長分別是a和b，斜邊長是c。如圖2，是以c為直角邊的等腰直角三角形。請你開動(dòng)腦筋，將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形。（1）畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，寫出它是什么圖形？（2）用這個(gè)圖形證明勾股定理。（3）假

2、設(shè)圖1中的直角三角形有若干個(gè)，你能利用圖1中所給的直角三角形拼成另一種可以證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖（無需證明）。解：（1）示意圖如圖3，是直角梯形。（2）根據(jù)梯形面積公式知：s梯形 = (a+b) 2 ;同時(shí)該梯形面積等于所給三個(gè)三角形的面積之和：s梯形 =2×(ab)+ c2所以，s梯形= (a+b) 2 =2×(ab)+ c2 化簡得：a2+b2=c2(3)如圖4，等等。二、有關(guān)勾股數(shù)規(guī)律方面的探究題【例題2】觀察下列表格：列舉猜想3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+2513、b、c132=b+c請你結(jié)合該表格及

3、相關(guān)知識，求出b、c的值。解：通過觀察，每組勾股數(shù)的第一個(gè)都是奇數(shù)，3，5，7，9那么第n個(gè)奇數(shù)為2n+1設(shè)第二個(gè)數(shù)為x，第三個(gè)數(shù)為y則（2n+1）²+x²=y²4n²+4n+1=（y+x）（y-x）通過觀察，每組勾股數(shù)中，第三個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)相差都為1y-x=1，y+x=4n²+4n+1通過這兩個(gè)就可求出x=2n²+2n，y=2n²+2n+1本題中2n+1=13,n=6,那么，b=2×6²+2×6=84,c=2×6²+2×6+1=85三、有關(guān)勾股定理拓展方面的探究題

4、【例題3】abc中，bc=a，ac=b，ab=c，若c=90°，如圖5，根據(jù)勾股定理，則，若abc不是直角三角形，如圖6和圖7，請你類比勾股定理，試猜想與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。解：若abc是銳角三角形，則有a2+b2>c2 ；若abc是鈍角三角形，c為鈍角，則有a2+b2<c2當(dāng)abc是銳角三角形時(shí)，證明：如上圖8，過點(diǎn)a作adcb，垂足為d。設(shè)cd為x，則有db=ax 根據(jù)勾股定理得 b2x2c2(ax) 2即 b2x2c2a22axx2a2b2c22ax a>0，x>02ax>0a2+b2>c2 當(dāng)abc是鈍角三角形時(shí)，證明：如上圖9，過點(diǎn)b

5、作bdac，交ac的延長線于點(diǎn)d。設(shè)cd為x，則有db2=a2x2 根據(jù)勾股定理得 (bx) 2(a2x2)c2即 b22bxx2a2x2c2a2b22bxc2b>0，x>02bx>0a2+b2<c2 四、有關(guān)勾股定理應(yīng)用方面的探究題【例題4】如圖10，分別以直角三角形abc三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用s1、s2、s3表示，則不難證明s1=s2+s3(1) 如圖10，分別以直角三角形abc三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用s1、s2、s3表示，那么s1、s2、s3之間有什么關(guān)系？(不必證明)(2) 如圖10，分別以直角三角形abc三邊為邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別用s1、s2、s3表示，請你確定s1、s2、s3之間的關(guān)系并加以證明；(3) 若分別以直角三角形abc三邊為邊向外作三個(gè)一般三角形，其面積分別用s1、s2、s3表示，為使s1、s2、s3之間仍具有與(2)相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿足什么條件？證明你的結(jié)論；(4) 類比(1)、(2)、(3)的結(jié)論，請你總結(jié)出一個(gè)更具一般意義的結(jié)論 .解：設(shè)直角三角形abc的三邊bc、ca、ab的長分別為a、b、c，則c2=a2+b2 。(1) s1=s2+s3 。(2) s1=s2+s3 。 證明如下： (3) 當(dāng)所作的三個(gè)三