第二型曲線積分課件

1、第二型曲線積分1 第二型曲線積分第二型曲線積分 the line integralswith respect to coordinate variables第二型曲線積分2第二型曲線積分與曲面積分第二型曲線積分與曲面積分 兩型線面積分的三點根本差異：兩型線面積分的三點根本差異： 作為用積分來研究的整體量的物理背景作為用積分來研究的整體量的物理背景 不同，二型線面積分涉及不同，二型線面積分涉及場論場論；并總?cè)》秦撝?；并總?cè)》秦撝担?第一型線面積分的第一型線面積分的 不考慮方向，不考慮方向， dsds、曲線要曲線要定向定向, ,dsds edsds ne曲面要曲面要定側(cè)定側(cè), 且微元是向量且微元是

2、向量第二型線面積分則不同，第二型線面積分則不同，第二型曲線積分3被積函數(shù)：第一型積分為被積函數(shù)：第一型積分為數(shù)量值數(shù)量值函數(shù)的積分函數(shù)的積分 ),(),(zyxfuyxfz 或或 第二型為第二型為向量值向量值函數(shù)函數(shù)(不排除有的分量為零不排除有的分量為零)：kzyxrjzyxqizyxpzyxa),(),(),(),( 一、第二型曲線積分一、第二型曲線積分1. 物理背景與概念物理背景與概念典型問題典型問題“力場沿曲線力場沿曲線 c 的作功問題的作功問題”.第二型曲線積分4設場力設場力(向量值函數(shù)向量值函數(shù))：),(),(),(),(zyxrzyxqzyxpzyxf 3)(),(rczyx 曲曲

3、線線0aa 1aban 1naka1 ka)(kmfl 分四步解：分四步解： 細分細分,111 kkkkkkzzyyxx,kkkzyx kkkaas1 求場力求場力 沿曲線沿曲線 c從從 a到到b所作的功。所作的功。),(zyxfkkaa1 max1nkd 記記ks 第二型曲線積分5 近似代替近似代替kkksmfw )(kkkkkkzmrymqxmp )()()( 求和求和 (得總功近似值得總功近似值) nkkww1 nkkksmf1)( 取極限令取極限令 (得總功精確值得總功精確值)0d badsf nkkkdsmfw10)(lim第二型曲線積分6l 二型線積分概念的一般表示二型線積分概念的

4、一般表示 cdzzyxrdyzyxqdxzyxp),(),(),( w 有向線段有向線段 c分段光滑并可求長，分段光滑并可求長，上有定義；上有定義；w 第二型曲線積分是對坐標的線積分；第二型曲線積分是對坐標的線積分；w 被積表達式是兩向量的點積，被積表達式是兩向量的點積， 可以有可以有)(ma dsa)(定定向向c一個或兩個分量為零，如一個或兩個分量為零，如 nkkkdsma10)(lim)(ma在在 c第二型曲線積分7中中2r，或或 cdxyxp),( ccdzzyxrdyzyxqdxzyxpdsa),(),(),(，或或 cdyzyxqdxzyxp),(),(都是第二型曲線積分。都是第二型

5、曲線積分。 ccdyyxqdxyxpdsa),(),( cdyyxq),(中中3r cdzzyxr),(,),( cdxzyxp2. 第二型曲線積分性質(zhì)第二型曲線積分性質(zhì)第二型曲線積分8c 設設 a, b, p 為曲線為曲線 c 上任意三點，則上任意三點，則 對于二型環(huán)路積分對于二型環(huán)路積分 abdsabaa ds abdsa pbpadsadsaabpabcdsa1cdsa2cdsa2c1cmn第二型曲線積分93. 第二型曲線積分的計算法第二型曲線積分的計算法l第二型曲線積分的基本計算法也是通過第二型曲線積分的基本計算法也是通過設曲線設曲線 c 已給定方向，其已給定方向，其參數(shù)方程參數(shù)方程為

6、為ktzjtyitxtrrc)()()()(: 則二型線積分有計算式則二型線積分有計算式轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為定積分定積分進行計算的。進行計算的。參數(shù)參數(shù) t ： (對應始點對應始點) (對應終點對應終點) .第二型曲線積分10 dttxtztytxp)()(),(),( dttytztytxq)()(),(),( dttztztytxr)()(),(),( 計算式中可能只出現(xiàn)一、二項，但仍是計算式中可能只出現(xiàn)一、二項，但仍是二型線積分，不是定積分；二型線積分，不是定積分； dsac定向定向 cdzzyxrdyzyxqdxzyxp),(),(),(第二型曲線積分11 對應始終點的上下限對應始終點的上下限

7、, 并非一定是并非一定是； 曲線曲線 c 若給其它形式的方程，只要全力若給其它形式的方程，只要全力 找出它的等價參數(shù)方程，問題即可迎刃找出它的等價參數(shù)方程，問題即可迎刃 而解。而解。例例1 計算計算 cdzzxzdyyzdxi22其中其中 c為螺旋線為螺旋線ktztaytax ,sin,cos上對應上對應 至至 的有向弧段。的有向弧段。 tt0第二型曲線積分12解解 cdzzxzdyyzdxi22 0)sin(sindttaktta 0)cos(cosdttaktta 0222dtktk 0232)2(tdtktka33232 kka 例例2 計算計算 其中其中 cdyxyxydxi)(1)

8、c 為折線段為折線段),20( ,11 xxy；方方向向從從)0, 0()1, 1()0, 2(oab第二型曲線積分13解解(2) 沿沿 x 軸由軸由).0, 0()0, 2(ob(1) 對折線對折線: xyxxba2: xyxxao :于是，于是，dyxyxydxibao )(yoxa(1,1)1)0 , 2(bxy xy 20, 0dyy, 12:從從x, 01:從從x)20(,11 xxy應該分段考慮，應該分段考慮，第二型曲線積分14 12)1)(2()2(dxxxxxdxxx 122)24( 01)(dxxxxxdxx 0122 (2) 沿沿 x 軸由軸由).0, 0()0, 2(ob

9、 bodyxyxydxi)(0002 dxxyoxa(1,1)1)0 , 2(bxy xy 20, 0dyy0 baao第二型曲線積分150.20.40.60.810.20.40.60.81ab0, yxx yyx0解解(1)( (2) )從從 a(1,0)沿沿 折線折線 到到).1 ,0(baob(1)(1)從從 a(1,0)沿上半單位圓至沿上半單位圓至);1 ,0(b 20)(cossin(cos)sin)(sin(cos d sincosyx例例3 計算計算 其中其中l(wèi) l為為ixy dxxy dy()() ababixy dxxy dy()() 沿沿a ab b弧弧第二型曲線積分16d

10、xyy dy0()(0) o o b b d)2sin2(cos20 解解( (2)=0=0 此積分此積分沿兩條不同路徑沿兩條不同路徑的積分值相同。的積分值相同。 ixy dxxy dy()() 沿沿折折線線a ao ob bxdxdyx()(00) a ao oxdxydy0110 1 / 201cos 22 1 第二型曲線積分17例例4 計算沿有向閉路計算沿有向閉路 的線積分：的線積分：abcda解解dyxyydxxyxabcda )2()2(22dyxyydxxyxabcda )2()2(22abcd1111oxydyxyydxxyxdacdbcab )2()2(22方向如圖。方向如圖。

11、第二型曲線積分18 此例此例環(huán)路環(huán)路積分為零積分為零,但各分段路徑的積分但各分段路徑的積分abyy dy1212 1() bcxxdx1211(2) cdyy dy1212 ()1 daxxdx12112() 0, 1 dxx0, 1 dxx0, 1 dyy0, 1 dyydyyy 112)2(dxxx 112)2(dyyy 112)2(dxxx 112)2(0 c1111oxyabd不為零不為零。第二型曲線積分19例例5 計算計算 其中其中 c 為為 cyxdyyxdxyxi22)()(解解圓周圓周: 方向沿方向沿逆時針逆時針(正向正向).222ayx cyxdyyxdxyxi22)()(a

12、tatatatat atdat202( cossin )(sin )( cossin )( cos ) ).20(,sin,cos: ttaytaxcdttt)cos(sin2202 dt 20 2 第二型曲線積分204. .兩類線積分的聯(lián)系兩類線積分的聯(lián)系,),(),(),()(battttztytxtrr 二型環(huán)路二型環(huán)路(閉路閉路)上的線積分有時為零上的線積分有時為零(例例4), 有時不為零。有時不為零。 有什么規(guī)律嗎有什么規(guī)律嗎？ 積分路徑有關積分路徑有關. 當始、終點一樣時當始、終點一樣時, 沿不同沿不同沿不同路徑的線積分值有的相同沿不同路徑的線積分值有的相同(例例3), 有有的不同

13、的不同(例例2)。設曲線設曲線c： 二型曲線積分不僅與始、終點有關二型曲線積分不僅與始、終點有關, 還與還與 第二型曲線積分21其方向余弦其方向余弦|)(|)(trtre ,|222dsdzdydxds dseds 因此兩型線積分有以下關系：因此兩型線積分有以下關系： crdzqdypdx其上點點切向量：其上點點切向量：)(),(),()(tztytxtr 則因則因dsrqpc)coscoscos( dseac cdsa二二型型一一型型cos,cos,cos dstrtr|)(|)( dttr)( dttrtrtr|)(|)(|)( 第二型曲線積分22例例6計算計算,)()()( ldzyxdyxzdxzy其中其中l(wèi)為橢圓：為橢圓：,1, 122 zxyx方向是：方向是：站在站在 x 軸正向看為逆時針方向。軸正向看為逆時針方向。解解1(基本算法基本算法)橢圓橢圓l的參數(shù)方程為：的參數(shù)方程為：txcos tysin tzcos1