《彈性力學(xué)》試題參考答案

1、一、一、填空題填空題（每小題4分） 1最小勢(shì)能原理等價(jià)于彈性力學(xué)基本方程中：最小勢(shì)能原理等價(jià)于彈性力學(xué)基本方程中： 平衡微分方程平衡微分方程 ，應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件 。 2一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足：一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足： 平衡微分方程平衡微分方程 ， 相容方程（變形協(xié)調(diào)條件）相容方程（變形協(xié)調(diào)條件） 。3等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中，等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中， 的物理意義是的物理意義是 :MdxdyD 2 桿端截面上剪應(yīng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩等于桿截面內(nèi)的扭矩桿端截面上剪應(yīng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩等于桿截面內(nèi)的扭矩M 。 4平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，Airy應(yīng)力函數(shù)在邊界上值應(yīng)力函數(shù)在邊界上值

2、 的物理意義為的物理意義為 邊界上某一點(diǎn)（基準(zhǔn)點(diǎn)）到任一點(diǎn)外力的矩邊界上某一點(diǎn)（基準(zhǔn)點(diǎn)）到任一點(diǎn)外力的矩 。 5彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量表示為：彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量表示為： 0,ijijX)(21,ijjiijuu二、二、簡(jiǎn)述題簡(jiǎn)述題（每小題6分） 1試簡(jiǎn)述力學(xué)中的圣維南原理，并說明它在彈性力學(xué)分析中的作用。試簡(jiǎn)述力學(xué)中的圣維南原理，并說明它在彈性力學(xué)分析中的作用。 圣維南原理：圣維南原理：如果物體的如果物體的一小部分邊界一小部分邊界上的面力變換為分布不同但上的面力變換為分布不同但靜力等效靜力等效的面力（主矢與主矩相同），則的面力（主矢與主矩相同），則近處的應(yīng)力近處

3、的應(yīng)力分布將分布將有顯著有顯著的改變的改變，但，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力遠(yuǎn)處的應(yīng)力所受所受影響可以忽略不計(jì)影響可以忽略不計(jì)。 作用：作用：（2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。 （1）將次要邊界上復(fù)雜的面力（集中力、集中力偶等）作分）將次要邊界上復(fù)雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替布的面力代替。 2圖示兩楔形體，試分別用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)寫出其應(yīng)力函數(shù)圖示兩楔形體，試分別用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)寫出其應(yīng)力函數(shù) 的分離的分離變量形式。變量形式。 )(),(),(222frrcybxyaxyx )(),(),(33223frrdycxyybxaxy

4、x（a）（b）3圖示矩形彈性薄板，沿對(duì)角線方向作用一對(duì)拉力圖示矩形彈性薄板，沿對(duì)角線方向作用一對(duì)拉力P，板的幾何尺寸如圖，板的幾何尺寸如圖，材料的彈性模量材料的彈性模量E、泊松比、泊松比 已知已知。試求薄板面積的改變量試求薄板面積的改變量。 解：解： S設(shè)當(dāng)各邊界受均布?jí)毫υO(shè)當(dāng)各邊界受均布?jí)毫?q 時(shí)，兩力作用點(diǎn)的時(shí)，兩力作用點(diǎn)的相對(duì)位移為相對(duì)位移為 ， 由由qE)1 (1)1 (2222Ebaqball設(shè)板在力設(shè)板在力P作用下的面積改變?yōu)樽饔孟碌拿娣e改變?yōu)?，由功的互等定理有：，由功的互等定理有： SlPSq將將 代入得：代入得： l221baPES顯然，顯然， 與板的形狀無關(guān)，僅與與板的形

5、狀無關(guān)，僅與E、 、l 有關(guān)。有關(guān)。 S4圖示曲桿，在圖示曲桿，在 邊界上作用有均布拉應(yīng)力邊界上作用有均布拉應(yīng)力q，在自由端作用有水，在自由端作用有水平集中力平集中力P。試寫出其邊界條件（除固定端外）。試寫出其邊界條件（除固定端外）。 br 0 ,brrbrrq0 , 0arrarr cosPdrba 2cosbaPrdrba sinPdrbar5試簡(jiǎn)述拉甫（試簡(jiǎn)述拉甫（Love）位移函數(shù)法、伽遼金（）位移函數(shù)法、伽遼金（Galerkin）位移函數(shù)法求解空）位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想，并指出各自的適用性間彈性力學(xué)問題的基本思想，并指出各自的適用性 .Love、Galerkin位移

6、函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想：位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想： （1）變求多個(gè)位移函數(shù)）變求多個(gè)位移函數(shù) 或或 為為求一些特殊函數(shù)，如調(diào)和函數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。求一些特殊函數(shù)，如調(diào)和函數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。 ),(),(),(yxwyxvyxu),(),(rurur（2）變求多個(gè)函數(shù)為求單個(gè)函數(shù)（特殊函數(shù)）。）變求多個(gè)函數(shù)為求單個(gè)函數(shù)（特殊函數(shù)）。 適用性：適用性： Love位移函數(shù)法適用于求解軸對(duì)稱的空間問題；位移函數(shù)法適用于求解軸對(duì)稱的空間問題； Galerkin位移函數(shù)法適用于求解非軸對(duì)稱的空間問題。位移函數(shù)法適用于求解非軸對(duì)稱的空間問題。 三、三、計(jì)算題計(jì)算題1圖示半無限平面體

7、在邊界上受有兩等值反向，間距為圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為 d 的集中力作的集中力作用，單位寬度上集中力的值為用，單位寬度上集中力的值為 P，設(shè)間距，設(shè)間距 d 很小。試求其應(yīng)力分量，很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。并討論所求解的適用范圍。 （提示：取應(yīng)力函數(shù)為（提示：取應(yīng)力函數(shù)為 ） BA2sin解：解： d很小，很小， PdM 可近似視為半平面體邊界受一集中力偶可近似視為半平面體邊界受一集中力偶 M 的情形。的情形。 將應(yīng)力函數(shù)將應(yīng)力函數(shù) 代入，可求得應(yīng)力分量：代入，可求得應(yīng)力分量： ),(r2sin4112222Arrrrr022r)2cos2(112BA

8、rrrr 邊界條件：邊界條件： （1 1） 0 , 00000rrr0 , 000rrr代入應(yīng)力分量式，有代入應(yīng)力分量式，有 0)2(12BAr02 BA（1） （2）取一半徑為）取一半徑為r 的半圓為脫離體，邊界上受有：的半圓為脫離體，邊界上受有： rr,，和，和 M = Pd 由該脫離體的平衡，得由該脫離體的平衡，得 0222Mdrr將代入將代入 并積分，有并積分，有 r0)2cos2(12222MdrBAr02sin22MBA0 MB得得 （2） 聯(lián)立式（聯(lián)立式（1）、（）、（2）求得：）求得： PdMB2PdA 代入應(yīng)力分量式，得代入應(yīng)力分量式，得 22sin2rPdr022sin2r

9、Pdr結(jié)果的適用性：結(jié)果的適用性：由于在原點(diǎn)附近應(yīng)用了圣維南原理，故此結(jié)果在原點(diǎn)附由于在原點(diǎn)附近應(yīng)用了圣維南原理，故此結(jié)果在原點(diǎn)附近誤差較大，離原點(diǎn)較遠(yuǎn)處可適用。近誤差較大，離原點(diǎn)較遠(yuǎn)處可適用。 2圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應(yīng)力圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應(yīng)力 由材料力學(xué)由材料力學(xué)公式給出，試由平衡微分方程求出公式給出，試由平衡微分方程求出 ，并檢驗(yàn)該應(yīng)力分量能否，并檢驗(yàn)該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的相容方程。滿足應(yīng)力表示的相容方程。 yxy,x解：解：x（1）求橫截面上正應(yīng)力）求橫截面上正應(yīng)力 任意截面的彎矩為任意截面的彎矩為 306xlqM截面慣性矩為截面慣性矩

10、為 123hI 由材料力學(xué)計(jì)算公式有：由材料力學(xué)計(jì)算公式有： yxlhqIMyx3302（2）由平衡微分方程求）由平衡微分方程求 、 xyy平衡微分方程：平衡微分方程： (3) 0(2) 0YyxXyxyyxxyx其中：其中： 0, 0YX將式（將式（1）代入式（）代入式（2），有），有 （1）積分上式，得積分上式，得 )(312230 xfyxlhqxy02hyxy利用邊界條件：利用邊界條件： 0)(4312230 xfhxlhq有：有： 2230143)(hxlhqxf)41(322230hyxlhqxy（4 4） 將式（將式（4）代入式（）代入式（3），有），有 0)41(62230yh

11、yxlhqy)41(62230hyxlhqyy積分得積分得 ：)()4133(62230 xfyhyxlhqy利用邊界條件：利用邊界條件： xlqhyy0202hyyyxlhqyxy2306(3) 0(2) 0YyxXyxyyxxyx將（將（1）代入（）代入（2），有），有 0)()8124(6)()8124(623330023330 xfhhxlhqxlqxfhhxlhq得得 ：由第二式，得由第二式，得 xlqxf2)(02將其代入第一式，得將其代入第一式，得 xlqxlqxlq00022自然成立。自然成立。將將 、 代入的表達(dá)式，有代入的表達(dá)式，有 )(2xfyxlqyhyxlhqy2)4

12、13(602330（5）所求應(yīng)力分量：所求應(yīng)力分量：yxlhqIMyx3302)41(322230hyxlhqxyxlqyhyxlhqy2)413(602330（6）校核梁端部的邊界條件：校核梁端部的邊界條件：（1）梁左端的邊界（）梁左端的邊界（x = 0）：）： 0220hhxxdy0220hhxxydy代入后可見：自然滿足。代入后可見：自然滿足。 （2）梁右端的邊界（）梁右端的邊界（x = l）：）： 022233022hhlxhhlxxdyylhxqdy2)4(30222232022lqdyhylhxqdyhhlxhhlxxyMlqylhlqdyylhxqydyhhhhlxhhlxx63

13、222022333022233022可見，所有邊界條件均滿足?？梢?，所有邊界條件均滿足。 檢驗(yàn)應(yīng)力分量檢驗(yàn)應(yīng)力分量 是否滿足應(yīng)力相容方程是否滿足應(yīng)力相容方程： yxyx,常體力下的應(yīng)力相容方程為常體力下的應(yīng)力相容方程為 0)()(22222yxyxyx將應(yīng)力分量將應(yīng)力分量 式（式（6）代入應(yīng)力相容方程，有）代入應(yīng)力相容方程，有yxyx,xylhqxyx302212)(xylhqxyx302212)(024)()(3022222xylhqyxyxyx顯然，應(yīng)力分量顯然，應(yīng)力分量 不滿足應(yīng)力相容方程，因而式（不滿足應(yīng)力相容方程，因而式（6）并不）并不是該該問題的正確解。是該該問題的正確解。 yxy

14、x,3一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為l，抗彎剛度，抗彎剛度EI 為常數(shù)，梁端為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為支承彈簧的剛度系數(shù)為 k。梁受有均勻分布載荷。梁受有均勻分布載荷 q 作用，如圖所示。試：作用，如圖所示。試： （1）構(gòu)造兩種形式（多項(xiàng)式、三角函數(shù)）的梁撓度）構(gòu)造兩種形式（多項(xiàng)式、三角函數(shù)）的梁撓度 試函數(shù)；試函數(shù)； )(xw（2）用最小勢(shì)能原理或）用最小勢(shì)能原理或 Ritz 法求其多項(xiàng)式形式的撓度近似解（取法求其多項(xiàng)式形式的撓度近似解（取1項(xiàng)項(xiàng)待定系數(shù)）。待定系數(shù)）。 解：解： 兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為 ：

15、)()(23212xAxAAxxw 多項(xiàng)式形式；多項(xiàng)式形式；)2cos1 ()(1nmmlxmAxw 三角函數(shù)形式；三角函數(shù)形式；此時(shí)有此時(shí)有 ：0)()(023212xxAxAAxxw0)()(2)(03222321xxAAxxAxAAxxw0)2cos1 ()(01xnmmlxmAxw02sin2)(01xnmmlxmmlAxw即滿足梁的端部邊界條件。即滿足梁的端部邊界條件。 梁的總勢(shì)能為梁的總勢(shì)能為 202022)(21)(21lwkdxxqwdxdxwdEIll21)(xAxw取取有有1222Adxwd21)(lAlw代入總勢(shì)能計(jì)算式，有代入總勢(shì)能計(jì)算式，有 221012021)(21)2(21lAkdxAqxdxAEIll42131212132lkAlqAEIlA由由 ，有，有00343411lqlkAEIlA)4(34301klEIllqA代入梁的撓度試函數(shù)表達(dá)式，得一次近似解為代入梁的撓度試函數(shù)表達(dá)式，得一次近似解為 2430)4(3)(xklEIllqxw4已知受力物體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)