數(shù)學(xué)建模和模型

1、2021-10-31數(shù)學(xué)建模2021-10-31第一講 數(shù)學(xué)建模兩個實(shí)例數(shù)學(xué)建模的全過程數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟2021-10-31引言數(shù)學(xué) 各門學(xué)科的基礎(chǔ)，社會進(jìn)步的工具。用數(shù)學(xué)方法解決任何一個實(shí)際問題，都必須在實(shí)際與數(shù)學(xué)之間假設(shè)一座橋梁。解決過程實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；數(shù)學(xué)問題的求解；數(shù)學(xué)解答回歸實(shí)際問題。這個過程稱為數(shù)學(xué)建模為實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型。2021-10-31數(shù)學(xué)建模實(shí)例一2021-10-31數(shù)學(xué)建模實(shí)例一通常，1kg面，1kg餡，包100個餃子（湯圓） (共共n個個)問題 圓面積S的一個皮，包成體積V的餃子；分為n個皮，每個圓面積s，包成體積v的餃子.SSVvSvSvSvV和n

2、*v那個大？V比n*v大多少？定性分析定量分析2021-10-31數(shù)學(xué)建模實(shí)例一假設(shè)建模應(yīng)用2021-10-31數(shù)學(xué)建模實(shí)例一包餃子建模過程的基本、關(guān)鍵步驟用數(shù)學(xué)語言（體積和表面積）表示現(xiàn)實(shí)對象（餡和皮）作出簡化、合理的假設(shè)（厚度一樣，形狀一樣）利用問題蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律（體積和表面積與半徑間的幾何關(guān)系） 日常生活中可用這個模型的結(jié)果解釋的現(xiàn)象2021-10-31數(shù)學(xué)建模實(shí)例二減速帶的間隔應(yīng)該多大2021-10-31數(shù)學(xué)建模實(shí)例二背景 校園、居民小區(qū)的道路中間，常常設(shè)置用于限制汽車速度的減速帶（路障）。 如果要限制車速不超過30km/h，應(yīng)該相距多遠(yuǎn)設(shè)置一個減速帶？l汽車通過減速帶時速度近于零，過

3、減速帶后加速。l車速達(dá)到30km/h時因?yàn)榍懊嬗邢乱粋€減速帶而減速，至減速帶處車速又近于零。l如此循環(huán)達(dá)到減速目的。問題分析2021-10-31數(shù)學(xué)建模實(shí)例二假設(shè) 汽車在兩個相鄰減速帶之間一直做等加速運(yùn)動和等減速運(yùn)動 方法一 查閱資料 加速行駛的測試數(shù)減速行駛的測試數(shù)需要得到汽車的加速度和減速度方法二：進(jìn)行測試速度（km/h）010203040時間（s）01.63.24.05.0速度（km/h）403020100時間（s）02.24.05.56.82021-10-31數(shù)學(xué)建模實(shí)例二建模2021-10-31數(shù)學(xué)建模實(shí)例二參數(shù)估計(jì)測試數(shù)據(jù)最小二乘法設(shè)計(jì)減速帶間距32m2021-10-31數(shù)學(xué)建模實(shí)

4、例二減速帶間距建模過程的基本、關(guān)鍵步驟作出簡化、合理的假設(shè)（等加速和等加速行駛）利用問題蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律（時間、距離、速度、加速度之間的物理關(guān)系）根據(jù)測試數(shù)據(jù)估計(jì)模型的參數(shù)（加速度和減速度）。 減速帶設(shè)計(jì)中其他可用數(shù)學(xué)建模研究的問題。例如高度問題，橫截面的形狀2021-10-31數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)模型 關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為一定目的而作的抽象、簡化的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。是現(xiàn)實(shí)世界的簡化而本質(zhì)的描述。是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式、程序、圖、表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系的理想化表述。數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）2021-10-31數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)模型 對于一個現(xiàn)實(shí)對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在

5、規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 建立數(shù)學(xué)模型的過程數(shù)學(xué)建模的過程一種創(chuàng)新過程數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）2021-10-31數(shù)學(xué)建模的全過程 現(xiàn)實(shí)對象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界表述解釋求解驗(yàn)證兩次“翻譯”的過程實(shí)踐 理論 實(shí)踐2021-10-31數(shù)學(xué)建模的基本方法 機(jī)理分析對客觀事物特性的認(rèn)識 內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律測試分析對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 與數(shù)據(jù)擬合最好的模型黑箱白箱二者結(jié)合機(jī)理分析建立模型的結(jié)構(gòu)測試分析確定模型的參數(shù)灰箱2021-10-31數(shù)學(xué)建模基本

6、步驟 模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ头治瞿Ｐ蜆?gòu)成模型求解模型應(yīng)用2021-10-31第二講 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模 為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模時代發(fā)展的要求教育改革的需要怎么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)全面的綜合素質(zhì)能力、初步具備科研能力思考、思考、再思考2021-10-31數(shù)學(xué)模型由來 歐幾里德幾何原本 光反射定律阿基米德 浮力定律 杠桿原理伽利略 落體定律 慣性原理牛頓 萬有引力定律 微積分 直到20世紀(jì)后半葉數(shù)學(xué)建模才逐漸受到普遍重視和廣泛應(yīng)用，并且進(jìn)入大學(xué)的課堂2021-10-31數(shù)學(xué)模型發(fā)展科技進(jìn)步與社會發(fā)展的推動計(jì)算機(jī)技術(shù)的出現(xiàn)和迅速發(fā)展，為數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用提供了強(qiáng)有力的工具。高新技術(shù)中數(shù)學(xué)建模

7、與科學(xué)計(jì)算是必不可少的手段數(shù)學(xué)科學(xué)是關(guān)鍵的、普遍的、可應(yīng)用的技術(shù) 。數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些諸如經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、人口、地質(zhì)等領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地。 數(shù)學(xué)建模引入教學(xué)，順應(yīng)時代發(fā)展的潮流2021-10-31數(shù)學(xué)模型發(fā)展為教育改革注入強(qiáng)大活力數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育。數(shù)學(xué)教育應(yīng)培養(yǎng)兩種能力：算數(shù)學(xué)（計(jì)算、推導(dǎo)、證明）和用數(shù)學(xué)（分析、解決實(shí)際問題）。數(shù)學(xué)建模就是解決實(shí)際問題的工具手段。清華大學(xué)是國內(nèi)最早開設(shè)課程的高校之一。 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容偏重前者，忽略后者2021-10-31怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是一門技術(shù)，更是一門藝術(shù)。想象力 洞察力 判斷力 創(chuàng)新意識學(xué)習(xí)、分析、評價、改進(jìn)別人

8、做過的模型親自動手，認(rèn)真做幾個實(shí)際題目椅子放穩(wěn)模型2021-10-31椅子放穩(wěn)模型 在不平的地面上椅子通常三只腳著地放不穩(wěn)。 什么條件下才能讓椅子四只腳著地放穩(wěn)。四腿一樣長，椅子腳與地面地接觸，四腳連線呈正方形。地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。地面相對平坦，椅子在任意位置至少三只腳著地。問題模型假設(shè)2021-10-31椅子放穩(wěn)模型 模型建立四個距離（四只腳）對稱性兩個距離正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)2021-10-31椅子放穩(wěn)模型 模型建立地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地椅子旋轉(zhuǎn)90度，對角線AC和BD互換2021-10-31椅子放穩(wěn)模型 模型求解2021-10-31建模過程的

9、分析與思考 背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況世界人口增長概況中國人口增長概況中國人口增長概況 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長控制人口過快增長如何預(yù)報(bào)人口的增長指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出馬爾薩斯提出 ( (1798) )常用的計(jì)算公式常用的計(jì)算公式kkrxx)1 (0 x(t)

10、 時刻時刻t的的人口人口基本假設(shè)基本假設(shè) : 人口人口(相對相對)增長率增長率 r 是常數(shù)是常數(shù)trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增長率年增長率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性 與與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 適用于適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預(yù)測可用于短期人口增長預(yù)

11、測 不符合不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預(yù)測較長期的人口增長過程不能預(yù)測較長期的人口增長過程1919世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)世紀(jì)后人口數(shù)據(jù) 人口增長率人口增長率r r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降) )如何預(yù)報(bào)人口的增長阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)假設(shè)) 0,()(srsxrxrr固有增長率固有增長率(x很小時很小

12、時)xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）)1 ()(mxxrxrr是是x的減函數(shù)的減函數(shù)mxrs 0)(mxr如何預(yù)報(bào)人口的增長rxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲線形曲線, x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )如何預(yù)報(bào)人口的增長參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或或 r, xm 利

13、用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬）百萬） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計(jì)專家估計(jì)阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1如何預(yù)報(bào)人口的增長模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)用模型計(jì)算用模型計(jì)算2000年美國人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較年美國人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx實(shí)際為實(shí)際為281.4 (百萬百萬)5 .274)200