離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布(基礎(chǔ)+復(fù)習(xí)+習(xí)題+練習(xí))

1、課題：離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布考綱要求： 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題 ； 利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線及曲線所表示的意義. 教材復(fù)習(xí)離散型隨機(jī)變量分布列的兩個(gè)性質(zhì)：任何隨機(jī)事件發(fā)生的概率都滿足:，并且不可能事件的概率為，必然事件的概率為由此你可以得出離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個(gè)性質(zhì)：，；對(duì)于離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率的和.即數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱 為的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變

2、量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量的概率分布中，令，則有，所以的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值 .期望的一個(gè)性質(zhì):若，則方差: 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果它所有可能取的值是，且取這些值的概率分別是，那么,稱為隨機(jī)變量的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的是隨機(jī)變量的期望標(biāo)準(zhǔn)差:的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作方差的性質(zhì)： ； .方差的意義：隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問(wèn)題中

3、應(yīng)用更廣泛.二項(xiàng)分布的期望與方差：若，則 ， 幾何分布的期望和方差：若，其中， 則 ，.正態(tài)分布密度函數(shù)：，（）其中是圓周率；是自然對(duì)數(shù)的底；是隨機(jī)變量的取值；為正態(tài)分布的均值；是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.正態(tài)分布一般記為。即若，則，正態(tài)分布是由均值和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的分布通過(guò)固定其中一個(gè)值，討論均值與標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)于正態(tài)曲線的影響 ，亦見(jiàn)課本中圖.通過(guò)對(duì)三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對(duì)稱.從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對(duì)稱呈鐘形的曲線 .正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線在軸的上方，與軸不相交曲線關(guān)于直線對(duì)稱 當(dāng)時(shí)，曲線位于最高點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，曲線上升（增函數(shù)）；當(dāng)時(shí)，曲線下降（減函數(shù)）.

4、并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以軸為漸近線，向它無(wú)限靠近 一定時(shí)，曲線的形狀由確定 越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；越小曲線越“瘦高”總體分布越集中正態(tài)曲線下的總面積等于.即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)、時(shí)，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，（），其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位 任何正態(tài)分布的概率問(wèn)題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問(wèn)題 典例分析： 考點(diǎn)一 求期望與方差問(wèn)題1（浙江）隨機(jī)變量的分布列如右：其中成等差數(shù)列，若，則的值是 設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表, 則 ，則 (重慶聯(lián)考) 隨機(jī)變量的分布列如右：那么等于 (黃崗調(diào)研)

5、已知，則與的值分別為和 和 和 和(天津十校聯(lián)考)某一離散型隨機(jī)變量的概率分布如下表，且，則的值為： (四川) 設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為， （），又的數(shù)學(xué)期望，則 (山東文) 將某選手的個(gè)得分去掉個(gè)最高分，去掉個(gè)最低分，個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為，現(xiàn)場(chǎng)做的個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來(lái)有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法辨認(rèn)，在圖中以表示： 8 7 79 4 0 1 0 9 1x則個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為 問(wèn)題2設(shè)隨機(jī)變量的分布列如右表，求和.問(wèn)題3（陜西）某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用表示，椐統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)變量的概率分布如下：()求的值和的數(shù)學(xué)期望；（）假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被

6、消費(fèi)者投訴次的概率.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 考點(diǎn)二 期望與方差的應(yīng)用問(wèn)題4（浙江）某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙公司面試的概率為，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的.記為該畢業(yè)生得到面試得公司個(gè)數(shù).若，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 （遼寧）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種（分別稱為品種家和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn)。選取兩大塊地，每大塊地分成小塊地，在總共小塊地中，隨機(jī)選小塊地種植品種甲，另外小塊地種植品種乙.（）假設(shè)，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）試驗(yàn)時(shí)每

7、大塊地分成小塊，即，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個(gè)小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：）如下表：品種甲品種乙分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？考點(diǎn)三 正態(tài)分布問(wèn)題5（湖北）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則 （廣東）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則 元件1元件2元件3（全國(guó)新課標(biāo)）某個(gè)部件由三個(gè)元件按下圖方式連接而成，元件或元件正常工作，且元件正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布，且各個(gè)元件能否正常相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過(guò)小時(shí)的概率為 課后作業(yè)已知的分布列為如右表：則 ， 拋擲一顆骰子，設(shè)所

8、得點(diǎn)數(shù)為，則 ， 設(shè)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望和方差分別為和，則二項(xiàng)分布的參數(shù)的值為 ， ， ， ，走向高考： （上海）已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為，且總體的中位數(shù)為. 若要使該總體的方差最小，則、的取值分別是 （上海）設(shè)非零常數(shù)是等差數(shù)列的公差，隨機(jī)變量等可能地取值，則方差 （上海）馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布律如下表請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無(wú)法完全看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同。據(jù)此，小牛給出了正確答案 （湖北）某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：已知的期望，則的值為 （福建）一個(gè)均勻小正方體的個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)，兩個(gè)面上標(biāo)

9、以數(shù)，一個(gè)面上標(biāo)以數(shù).將這個(gè)小正方體拋擲次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是 （四川文）某商場(chǎng)買來(lái)一車蘋果，從中隨機(jī)抽取了個(gè)蘋果，其重量（單位：克）分別為：，由此估計(jì)這車蘋果單個(gè)重量的期望值是 克 克克克（上海）設(shè)，隨機(jī)變量取值的概率均為，隨機(jī)變量取值的概率也均為，若記分別為的方差，則 與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)（湖北）袋中有個(gè)大小相同的球，其中記上號(hào)的有個(gè)，記上號(hào)的有個(gè)（）.現(xiàn)從袋中任取一球.表示所取球的標(biāo)號(hào).求的分布列，期望和方差；若，試求的值.（北京）某同學(xué)參加門課程的考試。假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為，()，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立。記為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程數(shù)，其分布列為()求該生至少有門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率；()求，的值；()求數(shù)學(xué)期望.（全國(guó)新課標(biāo)）某花店每天以每枝 元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。若花店一天購(gòu)進(jìn) 枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量 （單位：枝， ）的函數(shù)解析式； 花店記錄了 天玫瑰花的日需求量（單