北京市石景山區(qū)2013屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理新人教A版

1、石景山區(qū) 20122013 學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷高三數(shù)學(xué)（理）本試卷共 6 頁， 150 分 . 考試時長 120 分鐘請務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效考試結(jié)束后上交答題卡 .第一部分（選擇題共 40分）一、選擇題共8 小題，每小題5 分，共 40 分在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) 1設(shè)集合 U1,2,3,4， A1,2,B2,4, 則（CU A） B（）A1,2B2，3,4C3,4D1,2,3,42. 若復(fù)數(shù) Z1i , Z 23 i , 則 Z2（）Z1A 1 3iB 2 iC 1 3iD 3 i3 AC 為平行四邊形 ABCD 的一條對角線，AB(2,4)

2、, AC(1,3), 則 AD（）A (2, 4)B(3,7)C(1,1)D( 1,1)4.設(shè) m, n 是不同的直線，,是不同的平面，下列命題中正確的是（）A若 m / /, nB若 m / /, nC若 m / /, nD若 m / /, n, mn ，則, mn ，則/ /, m / /n ，則, m / /n ，則/ /開始5執(zhí)行右面的框圖，若輸出結(jié)果為3，則可輸入的實(shí)數(shù)x 值的個數(shù)為（）輸入 xA 1B 2x>2是C 3D 4否6若從 1,2,3, ,9這 9 個整數(shù)中同時取4 個y=x2 -1 y=log 2 x不同的數(shù)，其和為奇數(shù)，則不同的取法共有（）輸出 y1結(jié)束A60

3、種B63 種C65 種D66 種7某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是（）A 8B 423D 4C 22233正（主）視圖側(cè)（左）視圖31俯視圖8. 在整數(shù)集 Z 中，被 5除所得余數(shù)為 k 的所有整數(shù)組成一個“類” ，記為 k ，即 k5nk nZ ， k0,1,2,3,4 給出如下四個結(jié)論： 2013 3 ； 2 2 ； Z 01234； 整數(shù) a,b 屬于同一“類”的充要條件是“ab0 ”其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）A 1B 2C 3D 4第二部分（非選擇題共 110 分）二、填空題共 6 小題，每小題5 分，共 30 分yx，9已知不等式組yx，表示的平面區(qū)域 S 的面積為 4，則

4、 a；xa若點(diǎn) P( x, y)S ，則 z2x y的最大值為.BAP10如右圖，從圓O 外一點(diǎn) P 引圓 O的割線 PAB 和 PCD ，?CPCD 過圓心 O ，已知 PA 1, AB2, PO3 ，OD則圓 O 的半徑等于11在等比數(shù)列 an 中， a1= 1 , a4 = -4 ，則公比 q=；22a1 + a2 + a3 +L + an =12 在 ABC 中，若 a2,B 60 , b7 ，則 BC 邊上的高等于13已知定點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(1,4)，點(diǎn) F 是雙曲線 x2y21 的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P 是雙曲線右支412上的動點(diǎn)，則PFPA 的最小值為14. 給出定義：若m 1 <

5、xm+ 1( 其中 m 為整數(shù) ) ，則 m 叫做離實(shí)數(shù) x 最近的整數(shù)，22記作 x ，即 x= m . 在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f (x)= x x 的四個命題： y=f ( x) 的定義域是 R ，值域是 (1,1；22點(diǎn) (k,0) 是 y=f ( x) 的圖像的對稱中心，其中 kZ ；函數(shù) y=f (x) 的最小正周期為 1； 函數(shù) y=f (x) 在 (1 , 3 上是增函數(shù)22則上述命題中真命題的序號是三、解答題共6 小題，共80 分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（本小題共13 分）sin 2x (sin x cos x)已知函數(shù) f ( x)cos x（）求 f

6、( x) 的定義域及最小正周期；（）求 f ( x) 在區(qū)間， 上的最大值和最小值6416（本小題共14 分）如圖 1，在 RtABC 中，C90 ， BC3， AC6 D、E 分別是 AC、 AB 上的點(diǎn)，且 DE / /BC ，將ADE 沿 DE 折起到A1 DE 的位置，使A1 DCD ，如圖 2（）求證：BC平面 A1DC ；（）若 CD2 ，求 BE 與平面 A1BC 所成角的正弦值；3（）當(dāng) D 點(diǎn)在何處時，A1B 的長度最小，并求出最小值A(chǔ)1ADCEDCEBB圖1圖217（本小題共13 分）甲、乙、丙三人獨(dú)立破譯同一份密碼，已知甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為1、1 、 p，

7、且他們是否破譯出密碼互不影響. 若三人中只有甲破譯出密碼的概率為1.234（）求甲乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率；（）求 p 的值；（）設(shè)甲、乙、丙三人中破譯出密碼的人數(shù)為X ，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望EX .18（本小題共13 分）已知函數(shù)f (x)=ln xax+1,aR 是常數(shù)（）求函數(shù)y=f (x) 的圖象在點(diǎn) P(1, f (1) 處的切線 l 的方程；（）證明函數(shù)y=f (x)( x1) 的圖象在直線 l 的下方；（）討論函數(shù)y=f (x) 零點(diǎn)的個數(shù)19（本小題共14 分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，離心率為3 ，且經(jīng)過點(diǎn) M (4,1) ，直線24l :y =x

8、+m 交橢圓于不同的兩點(diǎn)、BA（）求橢圓的方程；（）求 m 的取值范圍；（）若直線 l 不過點(diǎn) M ，求證：直線MA、MB 的斜率互為相反數(shù)20（本小題共 13 分）定義：如果數(shù)列 an 的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則稱 an 為“三角形”數(shù)列對于“三角形”數(shù)列 a ，如果函數(shù)yf (x)使得 bf (a) 仍為一個“三nnn角形”數(shù)列，則稱y f (x) 是數(shù)列 an 的“保三角形函數(shù)”(n N *) （）已知 an 是首項(xiàng)為 2 ，公差為 1的等差數(shù)列，若f ( x)k x (k1) 是數(shù)列 an 的“保三角形函數(shù)” ，求 k 的取值范圍；（）已知數(shù)列 cn 的首項(xiàng)為，是數(shù)列

9、 cn 的前 n 項(xiàng)和，且滿足4Sn+1 3Sn 8052，2013 Sn證明 cn 是“三角形”數(shù)列；（）若 g( x) lg x 是（）中數(shù)列 cn 的“保三角形函數(shù)” ，問數(shù)列 cn 最多有多少項(xiàng) ?( 解題中可用以下數(shù)據(jù) : lg20.301, lg3 0.477, lg2013 3.304 )5石景山區(qū)2012 2013 學(xué)年第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題共8 小題，每小題5 分，共 40 分題號12345678答案BADCCABC二、填空題共6 小題，每小題5 分，共 30 分題號91011121314(9題、答案2； 66-；2n- 1-13 3911222題

10、第一空 2分,第二空 3分)三、解答題共6 小題，共80 分15（本小題共 13 分）（）因?yàn)?cosx0 ，所以 xk +,kZ .2所以函數(shù) f ( x) 的定義域?yàn)?x xk+2, kZ 2 分（）sin 2x sin xcos xf (x)cos xsin x sin x+cos x =2sin 2x+sin2 x2sin(2 x-)1 5 分T4 7 分- 7（）因?yàn)?x，所以2 x-4 9 分4124當(dāng) 2 x-時，即 x4時， f ( x) 的最大值為2 ； 11 分44當(dāng) 2 x-時，即 x時， f ( x) 的最小值為 -2+1 . 13 分42816（本小題共 14 分）（

11、）證明：在 ABC 中，C 90 ,DE / BC,ADDEA1DDE .又 A1DCD ,CDDED ,A1D面 BCDE .由 BC面 BCDE ,A1 DBC .6BCCD ,CD BC C, BC 面 A1DC .4 分（）如圖 , 以 C 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 5 分zD (2,0,0),E(2,2,0), B(0,3,0), A1(2,0,4) A1設(shè) n( x, y, z) 為平面 A1BC 的一個法向量，因?yàn)?CB(0,3,0), CA1 (2,0,4)xDC3y0所以，2x4z0E令 x2 ，得 y=0, z=1.y B所以 n(2,0,1) 為平面 A1 BC 的一個

12、法向量 7 分設(shè) BE 與平面 A1BC 所成角為則 sin= cosBE n44555所以BE與平面 A BC 所成角的正弦值為4 9 分15（）設(shè) D ( x,0,0), 則 A1( x,0,6x)，A1B( x-0) 2(0-3) 2(6-x-0)22x2 -12x 45 12 分當(dāng) x=3 時 , A1B的最小值是 33 即D為 AC中點(diǎn)時 ,A1 B 的長度最小 , 最小值為 33 14 分17（本小題共 13 分）記“甲、乙、丙三人各自破譯出密碼”分別為事件A1, A2 , A3 ，依題意有P( A1)1,P( A2 )1p, 且 A1 , A2 , A3 相互獨(dú)立 .2,P( A

13、3)3（）甲、乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率為1 P(A1A2 )1 122. 3 分233B ，則有（）設(shè)“三人中只有甲破譯出密碼”為事件P(B)P( A1A2 A3) 12(1p)1 p ， 5 分所以 1p112333， p. 7 分44（） X 的所有可能取值為0,1,2,3 . 8 分7所以 P(X0)1，4P(X 1) P (A1 A2 A3)P (A1 A2 A3)P (A1 A2 A3)1113121114234234，24P(X 2) P (A1 A2A3 )P (A1 A2 A3)P (A1 A2 A3)1131211111234234234，4P( X3)=P (A1

14、A21111 11 分A3) 234.X 分布列為：24X0123P11111424424 12 分所以， E(X)011 11213113. 13 分424424122（本小題共 13 分）（） f(x)= 1a 1 分xf (1)= a+1， kl =f (1)=1a ，所以切線l 的方程為yf (1)=kl (x1) ，即 y =(1a)x 3 分（）令F ( x)=f (x)(1-a)x=ln x則x+1， x>0，F(xiàn) ( x)= 11= 1 (1 x) ， 解 F ( x)=0 得 x=1.xxx(0, 1)1(1 ,)F ( x)0F ( x)最大值 6 分F (1)<

15、0 ，所以x >0 且 x1， F ( x)<0 ， f ( x)<(1a)x ，即函數(shù) y= f ( x)( x1) 的圖像在直線l的下方 8 分（）令 f (x)=ln xax+1 =0 ， a= ln x+1 .x8令 g(x)= ln x+1 ， g (x)=( ln x+1) = 1(ln2x+1)=ln2x ，xxxx則 g(x) 在 (0,1) 上單調(diào)遞增，在(1,+ )上單調(diào)遞減，當(dāng) x=1時， g(x) 的最大值為 g(1)=1 .所以若 a>1，則 f ( x) 無零點(diǎn)；若f ( x) 有零點(diǎn)，則 a110 分若 a =1， f (x)=ln xax

16、 +1 =0 ，由（）知f (x) 有且僅有一個零點(diǎn)x=1.若 a0 ， f (x)=ln xax+1 單調(diào)遞增，由冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較，知f (x) 有且僅有一個零點(diǎn)（或：直線y= ax1 與曲線 y=ln x 有一個交點(diǎn)） .若 0<a<1，解 f (x)= 1 a =0得 x= 1 ，由函數(shù)的單調(diào)性得知f (x) 在 x = 1 處取最大xaa值， f ( 1 ) =ln 1 >0 ，由冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較知，當(dāng) x 充分大時f ( x)<0 ，即 f ( x)aa在單調(diào)遞減區(qū)間( 1 ,+) 有且僅有一個零點(diǎn)；又因?yàn)閒 ( 1 )=a <0 ，

17、所以 f (x) 在單調(diào)遞aee1增區(qū)間 (0， ) 有且僅有一個零點(diǎn).a綜上所述，當(dāng)a>1時， f ( x) 無零點(diǎn)；當(dāng) a=1或 a0 時， f(x) 有且僅有一個零點(diǎn)；當(dāng) 0<a<1時， f ( x) 有兩個零點(diǎn) . 13 分19（本小題共 14 分）（）設(shè)橢圓的方程為x2y21，因?yàn)?e3，所以 a24b2，a2b22又因?yàn)?M (4,1) ，所以 1611 ，解得 b25, a220 ，a2b2故橢圓方程為x2y21 4 分205（）將 yx m 代入 x2y21 并整理得 5x28mx4m220 0，205=(8m) 2 -20(4 m2 -20)>0，解得

18、5m5 7 分（）設(shè)直線MA, MB的斜率分別為1和k2 ，只要證明k1k20k9設(shè) A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，則 x1x28m4m220 9 分, x1 x255k1 k2y11y21 ( y1 1)(x24) ( y2 1)( x14)x14 x24( x14)( x24)分子(x1m1)(x2 4)( x2m1)(x14)2x1x2(m 5)( x1x2 ) 8(m 1)2(4m220)8m(m 5)8(m1)055所以直線 MA、MB 的斜率互為相反數(shù) 14 分20（本小題共 13 分）（）顯然 ann1,anan 1an2 對任意正整數(shù)都成立，即 an 是三角形數(shù)列。因?yàn)?k1 ，顯然有 f ( an )f (an 1)f (an 2 )，由 f (an )f (an 1)f (an 2 ) 得 knk n 1k n 2解得 1-5<k1522.所以當(dāng) k(1,15)時，2f (x)k x 是數(shù)列 an 的保三角形函數(shù) . 3 分（）由 4sn 13sn8052 ，得4sn3sn 18052，兩式相減得 4cn 1 3cn0 ，所以 c2013 3n4經(jīng)檢驗(yàn)，此通項(xiàng)公式滿足4sn 1 3sn8052 .n 15 分顯然 cncn 1