《表上作業(yè)法》優(yōu)質(zhì)課件

1、精品課程運(yùn)籌學(xué)精品課程運(yùn)籌學(xué)n表上作業(yè)法表上作業(yè)法: : 建立在運(yùn)輸費(fèi)用矩陣的求解運(yùn)建立在運(yùn)輸費(fèi)用矩陣的求解運(yùn)輸問題的方法。輸問題的方法。n表上作業(yè)法求解運(yùn)輸問題的思想和單純形法表上作業(yè)法求解運(yùn)輸問題的思想和單純形法完全類似：完全類似： 確定一個初始基本可行解確定一個初始基本可行解 根據(jù)最優(yōu)性根據(jù)最優(yōu)性判別準(zhǔn)則來檢查這個基本可行解是不是最優(yōu)判別準(zhǔn)則來檢查這個基本可行解是不是最優(yōu)的？的？ 如果是，則計算結(jié)束；如果是，則計算結(jié)束； 如果不是，則進(jìn)行換基。如果不是，則進(jìn)行換基。 直至求出最優(yōu)解為止。直至求出最優(yōu)解為止。精品課程運(yùn)籌學(xué) 一、初始基本可行解的確定一、初始基本可行解的確定 根據(jù)上面的討論，

2、要求得運(yùn)輸問根據(jù)上面的討論，要求得運(yùn)輸問題的初始基本可行解，必須保證找題的初始基本可行解，必須保證找到到 m + n 1 個不構(gòu)成閉回路的基個不構(gòu)成閉回路的基變量。變量。 一般的方法步驟如下：一般的方法步驟如下： 精品課程運(yùn)籌學(xué) (1)在運(yùn)輸問題求解作業(yè)數(shù)據(jù)表中任選一個單在運(yùn)輸問題求解作業(yè)數(shù)據(jù)表中任選一個單元格元格 xij ( Ai 行行 Bj 列交叉位置上的格列交叉位置上的格),令令 xij = min ai , bj 即從即從 Ai 向向 Bj 運(yùn)最大量運(yùn)最大量(使行或列在允許的使行或列在允許的范圍內(nèi)盡量飽和，即使一個約束方程得以滿范圍內(nèi)盡量飽和，即使一個約束方程得以滿足足),填入填入 x

3、ij 的相應(yīng)位置；的相應(yīng)位置； 精品課程運(yùn)籌學(xué)(2)(2)從從 ai 和和 bj 中分別減去中分別減去 xij 的值，修正的值，修正為新的為新的ai 和和 bj ，即調(diào)整即調(diào)整 Ai 的擁有量及的擁有量及 Bj 的需求量；的需求量；(3)(3)若若 ai = 0，則劃去對應(yīng)的行（已經(jīng)把擁有，則劃去對應(yīng)的行（已經(jīng)把擁有的量全部運(yùn)走），若的量全部運(yùn)走），若 bj = 0 則劃去對應(yīng)的則劃去對應(yīng)的列（已經(jīng)把需要的量全部運(yùn)來），且每次列（已經(jīng)把需要的量全部運(yùn)來），且每次只劃去一行或一列（即每次要去掉且只去只劃去一行或一列（即每次要去掉且只去掉一個約束）；掉一個約束）；精品課程運(yùn)籌學(xué)(4)(4)當(dāng)最終的

4、運(yùn)輸量選定時，其所在行、列當(dāng)最終的運(yùn)輸量選定時，其所在行、列同時滿足，此時要同時劃去一行和一列。同時滿足，此時要同時劃去一行和一列。這樣，運(yùn)輸平衡表中所有的行與列均被劃這樣，運(yùn)輸平衡表中所有的行與列均被劃去，則得到了一個初始基本可行解。去，則得到了一個初始基本可行解。 否則在剩下的運(yùn)輸平衡表中選下一個變否則在剩下的運(yùn)輸平衡表中選下一個變量，返回量，返回(1)(1)。精品課程運(yùn)籌學(xué)上述計算過程可用流程圖描述如下上述計算過程可用流程圖描述如下取未劃去的單元格取未劃去的單元格xij ,令令xij = min ai , bj ai = ai - xijbj = bj - xijai = 0?劃去第劃去

5、第i行行劃去第劃去第j列列是是否否 bj = 0否否所有行列是所有行列是否均被劃去否均被劃去是是找到初始基找到初始基本可行解本可行解求運(yùn)輸問題的初始基本可行解過程求運(yùn)輸問題的初始基本可行解過程注：為了方便，這注：為了方便，這里總記剩余的產(chǎn)量里總記剩余的產(chǎn)量和銷量為和銷量為ai, bj精品課程運(yùn)籌學(xué) 按照上述方法所產(chǎn)生的一組變量的按照上述方法所產(chǎn)生的一組變量的取值將滿足下面條件：取值將滿足下面條件： (1)所得的變量均為非負(fù)，且變量總所得的變量均為非負(fù)，且變量總數(shù)恰好為數(shù)恰好為 m + n 1 個；個； (2)所有的約束條件均得到滿足；所有的約束條件均得到滿足； (3)所得的變量不構(gòu)成閉回路。所

6、得的變量不構(gòu)成閉回路。精品課程運(yùn)籌學(xué) 因此，根據(jù)定理及其推論，所得的因此，根據(jù)定理及其推論，所得的解一定是運(yùn)輸問題的基本可行解。解一定是運(yùn)輸問題的基本可行解。 在上面的方法中，在上面的方法中，xij 的選取方法并的選取方法并沒有給予限制，若采取不同的規(guī)則來選沒有給予限制，若采取不同的規(guī)則來選取取 xij ，則得到不同的方法，較常用的，則得到不同的方法，較常用的方法有西北角法和最小元素法。下面分方法有西北角法和最小元素法。下面分別舉例予以說明。別舉例予以說明。精品課程運(yùn)籌學(xué) 1 1、初始基本可行解的確定、初始基本可行解的確定 （1 1）西北角法：西北角法：從西北角（左上角）從西北角（左上角）格開

7、始，在格內(nèi)的右下角標(biāo)上允許取得的格開始，在格內(nèi)的右下角標(biāo)上允許取得的最大數(shù)。然后按行（列）標(biāo)下一格的數(shù)。最大數(shù)。然后按行（列）標(biāo)下一格的數(shù)。若某行（列）的產(chǎn)量（銷量）已滿足，則若某行（列）的產(chǎn)量（銷量）已滿足，則把該行（列）的其他格劃去。如此進(jìn)行下把該行（列）的其他格劃去。如此進(jìn)行下去，直至得到一個基本可行解去，直至得到一個基本可行解。精品課程運(yùn)籌學(xué) （2 2）最小元素法：最小元素法：從運(yùn)價最小的格開從運(yùn)價最小的格開始，在格內(nèi)的右下角標(biāo)上允許取得的最大始，在格內(nèi)的右下角標(biāo)上允許取得的最大數(shù)。然后按運(yùn)價從小到大順序填數(shù)。若某數(shù)。然后按運(yùn)價從小到大順序填數(shù)。若某行（列）的產(chǎn)量（銷量）已滿足，則把該

8、行（列）的產(chǎn)量（銷量）已滿足，則把該行（列）的其他格劃去。如此進(jìn)行下去，行（列）的其他格劃去。如此進(jìn)行下去，直至得到一個基本可行解。直至得到一個基本可行解。精品課程運(yùn)籌學(xué) 注注: :應(yīng)用西北角法和最小元素法，每應(yīng)用西北角法和最小元素法，每次填完數(shù)，都只劃去一行或一列，只有次填完數(shù)，都只劃去一行或一列，只有最后一個元例外（同時劃去一行和一最后一個元例外（同時劃去一行和一列）。當(dāng)填上一個數(shù)后行、列同時飽和列）。當(dāng)填上一個數(shù)后行、列同時飽和時，也應(yīng)任意劃去一行（列），在保留時，也應(yīng)任意劃去一行（列），在保留的列（行）中沒被劃去的格內(nèi)標(biāo)一個的列（行）中沒被劃去的格內(nèi)標(biāo)一個0 0。精品課程運(yùn)籌學(xué)例：某食

9、品公司下屬的 A1、A2、A3 ，3 個廠生產(chǎn)方便食品，要運(yùn)輸?shù)?B1、B2、B3、B4 ，4 個銷售點(diǎn)，數(shù)據(jù)如下： B1 B2 B3 B4 產(chǎn)量 ai A1 3 11 3 10 7 A2 1 9 2 8 4 A3 7 4 10 5 9 銷量 bj 3 6 5 6 20（產(chǎn)銷平衡） 求最優(yōu)運(yùn)輸方案。 精品課程運(yùn)籌學(xué)1、確 定 初 始 基 本 可 行 解： （1）西 北 角 法 B1 B2 B3 B4 產(chǎn)量 ai A1 3 3 11 4 3 10 7 A2 1 9 2 2 2 8 4 A3 7 4 10 3 5 6 9 銷量 bj 3 6 5 6 20 精品課程運(yùn)籌學(xué)（2）最小元素法 B1 B2

10、 B3 B4 產(chǎn)量 ai A1 3 11 3 4 10 3 7 A2 1 3 9 2 1 8 4 A3 7 4 6 10 5 3 9 銷量 bj 3 6 5 6 20 精品課程運(yùn)籌學(xué) 最優(yōu)性檢驗(yàn)就是檢查所得到的方案是最優(yōu)性檢驗(yàn)就是檢查所得到的方案是不是最優(yōu)方案。檢查的方法與單純形方法不是最優(yōu)方案。檢查的方法與單純形方法中的原理相同，即計算檢驗(yàn)數(shù)。由于目標(biāo)中的原理相同，即計算檢驗(yàn)數(shù)。由于目標(biāo)要求極小，因此，當(dāng)所有的檢驗(yàn)數(shù)都大于要求極小，因此，當(dāng)所有的檢驗(yàn)數(shù)都大于或等于零時該調(diào)運(yùn)方案就是最優(yōu)方案；否或等于零時該調(diào)運(yùn)方案就是最優(yōu)方案；否則就不是最優(yōu)，需要進(jìn)行調(diào)整。下面介紹則就不是最優(yōu)，需要進(jìn)行調(diào)整。

11、下面介紹兩種求檢驗(yàn)數(shù)的方法。兩種求檢驗(yàn)數(shù)的方法。 二、基本可行解的最優(yōu)性檢驗(yàn)二、基本可行解的最優(yōu)性檢驗(yàn) 精品課程運(yùn)籌學(xué) 1、閉回路法、閉回路法 為了方便，我們以上表給出的初始基本可行解為了方便，我們以上表給出的初始基本可行解方案為例，考察初始方案的任意一個非基變量，方案為例，考察初始方案的任意一個非基變量，比如比如 x24。根據(jù)初始方案，產(chǎn)地。根據(jù)初始方案，產(chǎn)地 A2 的產(chǎn)品是不的產(chǎn)品是不運(yùn)往銷地運(yùn)往銷地 B4 的。如果現(xiàn)在改變初始方案，把的。如果現(xiàn)在改變初始方案，把 A2 的產(chǎn)品運(yùn)送的產(chǎn)品運(yùn)送1 個單位給個單位給 B4 ，那么為了保持產(chǎn)銷，那么為了保持產(chǎn)銷平衡，就必須使平衡，就必須使 x14

12、 或或 x34 減少減少 1 個單位；而如個單位；而如果果 x14 減少減少 1 個單位，第個單位，第 1 行的運(yùn)輸量就必須行的運(yùn)輸量就必須增加增加 1 個單位，例如個單位，例如 x13 增加增加 1 個單位，那么個單位，那么為了保持產(chǎn)銷平衡，就必須使為了保持產(chǎn)銷平衡，就必須使 x23 減少減少 1 個單個單位。位。精品課程運(yùn)籌學(xué) 這個過程就是尋找一個以非基變量這個過程就是尋找一個以非基變量 x24 為起為起始頂點(diǎn)的閉回路始頂點(diǎn)的閉回路 x24 ，x14 ，x13 ，x23 ，這個閉回路的其他頂點(diǎn)均為基變量這個閉回路的其他頂點(diǎn)均為基變量(對應(yīng)著填對應(yīng)著填上數(shù)字的格上數(shù)字的格)。容易計算出上述調(diào)

13、整使總的運(yùn)。容易計算出上述調(diào)整使總的運(yùn)輸費(fèi)用發(fā)生的變化為輸費(fèi)用發(fā)生的變化為 8 10 + 3 2 -1 ，即總的運(yùn)費(fèi)減少即總的運(yùn)費(fèi)減少 1 個單位，這就說明原始方個單位，這就說明原始方案不是最優(yōu)方案，可以進(jìn)行調(diào)整以得到更好案不是最優(yōu)方案，可以進(jìn)行調(diào)整以得到更好的方案。的方案。精品課程運(yùn)籌學(xué) 可以證明，如果對閉回路的方向不加區(qū)別可以證明，如果對閉回路的方向不加區(qū)別（即只要起點(diǎn)及其他所有頂點(diǎn)完全相同，而（即只要起點(diǎn)及其他所有頂點(diǎn)完全相同，而不區(qū)別行進(jìn)方向），那么以每一個非基量為不區(qū)別行進(jìn)方向），那么以每一個非基量為起始頂點(diǎn)的閉回路就存在而且唯一。因此，起始頂點(diǎn)的閉回路就存在而且唯一。因此，對每一個

14、非基變量可以找到而且只能找到唯對每一個非基變量可以找到而且只能找到唯一的一個閉回路。一的一個閉回路。 下表中用虛線畫出以非基變量下表中用虛線畫出以非基變量 x22 為起始頂為起始頂點(diǎn)的閉回路。點(diǎn)的閉回路。精品課程運(yùn)籌學(xué)銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量3 11 3 410 371 39 2 18 47 4 610 5 39銷量365620(產(chǎn)銷平衡)A1A2A3精品課程運(yùn)籌學(xué) 可以計算出以非基變量可以計算出以非基變量 x22 為起始頂點(diǎn)的閉為起始頂點(diǎn)的閉回路調(diào)整使總的運(yùn)輸費(fèi)用發(fā)生的變化為回路調(diào)整使總的運(yùn)輸費(fèi)用發(fā)生的變化為 9 2 + 3 10 + 5 4 1 即總的運(yùn)費(fèi)增加即總的運(yùn)費(fèi)增加 1 個單位

15、，這就說明這個調(diào)個單位，這就說明這個調(diào)整不能改善目標(biāo)值。整不能改善目標(biāo)值。 從上面的討論可以看出，當(dāng)某個非基變量從上面的討論可以看出，當(dāng)某個非基變量增加一個單位時，有若干個基變量的取值受增加一個單位時，有若干個基變量的取值受其影響。其影響。精品課程運(yùn)籌學(xué) 這樣，利用單位產(chǎn)品變化（運(yùn)輸?shù)膯挝毁M(fèi)用）這樣，利用單位產(chǎn)品變化（運(yùn)輸?shù)膯挝毁M(fèi)用）可計算出它們對目標(biāo)函數(shù)的綜合影響，其作用可計算出它們對目標(biāo)函數(shù)的綜合影響，其作用與線性規(guī)劃單純形方法中的檢驗(yàn)數(shù)完全相同。與線性規(guī)劃單純形方法中的檢驗(yàn)數(shù)完全相同。故也稱這個綜合影響為該非基變量對應(yīng)的檢驗(yàn)故也稱這個綜合影響為該非基變量對應(yīng)的檢驗(yàn)數(shù)。上面計算的兩個非基變

16、量的檢驗(yàn)數(shù)為數(shù)。上面計算的兩個非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為 24 = -1， 22 = 1。閉回路方法原理就是通過尋找。閉回路方法原理就是通過尋找閉回路來找到非基變量的檢驗(yàn)數(shù)。閉回路來找到非基變量的檢驗(yàn)數(shù)。 精品課程運(yùn)籌學(xué) 如果規(guī)定作為起始頂點(diǎn)的非基變量為第如果規(guī)定作為起始頂點(diǎn)的非基變量為第 1 個個頂點(diǎn)，閉回路的其他頂點(diǎn)依次為第頂點(diǎn)，閉回路的其他頂點(diǎn)依次為第 2 個頂點(diǎn)、個頂點(diǎn)、第第 3 個頂點(diǎn)個頂點(diǎn)，那么就有，那么就有 ij = (閉回路上的奇數(shù)次頂點(diǎn)單位運(yùn)費(fèi)之和閉回路上的奇數(shù)次頂點(diǎn)單位運(yùn)費(fèi)之和) - (閉回路上的偶數(shù)次頂點(diǎn)單位運(yùn)費(fèi)之和閉回路上的偶數(shù)次頂點(diǎn)單位運(yùn)費(fèi)之和) 其中其中 ij 為非基變量的

17、下角指標(biāo)。為非基變量的下角指標(biāo)。精品課程運(yùn)籌學(xué) 按上述作法，可計算出表中的所有非基變量的檢按上述作法，可計算出表中的所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)，把它們填入相應(yīng)位置的方括號內(nèi)，如下圖所示。驗(yàn)數(shù)，把它們填入相應(yīng)位置的方括號內(nèi)，如下圖所示。 銷地銷地產(chǎn)地產(chǎn)地B B1 1B B2 2B B3 3B B4 4產(chǎn)量產(chǎn)量A A1 13 3 1 11111 2 23 3 4 41010 3 37 7A A2 21 1 3 39 9 1 12 2 1 18 8-1-14 4A A3 37 7 10 104 4 6 6101012125 5 3 39 9銷量銷量3 36 65 56 620(20(產(chǎn)銷平衡產(chǎn)銷平衡) )

18、初始基本可行解及檢驗(yàn)數(shù)初始基本可行解及檢驗(yàn)數(shù)精品課程運(yùn)籌學(xué) 顯然，當(dāng)所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)均大于顯然，當(dāng)所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)均大于或等于零時，現(xiàn)行的調(diào)運(yùn)方案就是最優(yōu)方案，或等于零時，現(xiàn)行的調(diào)運(yùn)方案就是最優(yōu)方案，因?yàn)榇藭r對現(xiàn)行方案作任何調(diào)整都將導(dǎo)致總因?yàn)榇藭r對現(xiàn)行方案作任何調(diào)整都將導(dǎo)致總的運(yùn)輸費(fèi)用增加。的運(yùn)輸費(fèi)用增加。 閉回路法的主要缺點(diǎn)是：當(dāng)變量個數(shù)較閉回路法的主要缺點(diǎn)是：當(dāng)變量個數(shù)較多時，尋找閉回路以及計算兩方面都會產(chǎn)生多時，尋找閉回路以及計算兩方面都會產(chǎn)生困難。困難。精品課程運(yùn)籌學(xué) 當(dāng)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)出現(xiàn)負(fù)值時，當(dāng)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)出現(xiàn)負(fù)值時，則表明當(dāng)前的基本可行解不是最優(yōu)解。則表明當(dāng)前的基本

19、可行解不是最優(yōu)解。在這種情況下，應(yīng)該對基本可行解進(jìn)行在這種情況下，應(yīng)該對基本可行解進(jìn)行調(diào)整，即找到一個新的基本可行解使目調(diào)整，即找到一個新的基本可行解使目標(biāo)函數(shù)值下降，這一過程通常稱為換基標(biāo)函數(shù)值下降，這一過程通常稱為換基( (或主元變換或主元變換) )過程。過程。 三、求新的基本可行解三、求新的基本可行解精品課程運(yùn)籌學(xué) （1 1）選負(fù)檢驗(yàn)數(shù)中最小者）選負(fù)檢驗(yàn)數(shù)中最小者 rk，那么，那么 xrk 為主元，作為進(jìn)基變量（上圖中為主元，作為進(jìn)基變量（上圖中 x24 ）; （2 2）以）以 xrk 為起點(diǎn)找一條閉回路，除為起點(diǎn)找一條閉回路，除 xrk 外其余外其余頂點(diǎn)必須為基變量格（上頁圖中頂點(diǎn)必須

20、為基變量格（上頁圖中的回路）的回路）; ; 在運(yùn)輸問題的表上作業(yè)法中，換基的過在運(yùn)輸問題的表上作業(yè)法中，換基的過程是如下進(jìn)行：程是如下進(jìn)行：精品課程運(yùn)籌學(xué) （3）為閉回路的每一個頂點(diǎn)標(biāo)號，）為閉回路的每一個頂點(diǎn)標(biāo)號， xrk 為為 1，沿一個方向（順時針或逆時針）依次給，沿一個方向（順時針或逆時針）依次給各頂點(diǎn)標(biāo)號；各頂點(diǎn)標(biāo)號； （4）求）求 =minxij xij對應(yīng)閉回路上的偶對應(yīng)閉回路上的偶數(shù)標(biāo)號格數(shù)標(biāo)號格= xpq 那么確定那么確定 xpq為出基變量，為出基變量， 為調(diào)整量；為調(diào)整量；精品課程運(yùn)籌學(xué) （5 5）對閉回路的各奇標(biāo)號頂點(diǎn)調(diào)整為：）對閉回路的各奇標(biāo)號頂點(diǎn)調(diào)整為：xij + ，

21、對各偶標(biāo)號頂點(diǎn)，對各偶標(biāo)號頂點(diǎn) 調(diào)整為：調(diào)整為：xij - ，特別特別 xpq - = 0， xpq變?yōu)榉亲優(yōu)榉腔兞俊；兞俊?重復(fù)重復(fù)(2)(2)、(3)(3)步，直到所有檢驗(yàn)數(shù)均步，直到所有檢驗(yàn)數(shù)均非負(fù)，得到最優(yōu)解。非負(fù)，得到最優(yōu)解。精品課程運(yùn)籌學(xué) ij 0，得到最優(yōu)解，得到最優(yōu)解 x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3, 其余其余 xij = 0 ; 最優(yōu)值：最優(yōu)值： f* = 35+102+13+81+46+53 = 85精品課程運(yùn)籌學(xué) 四、產(chǎn)銷不平衡問題的處理四、產(chǎn)銷不平衡問題的處理 在實(shí)際中遇到的運(yùn)輸問題常常不是產(chǎn)

22、銷在實(shí)際中遇到的運(yùn)輸問題常常不是產(chǎn)銷平衡的，而是下列的一般運(yùn)輸問題模型平衡的，而是下列的一般運(yùn)輸問題模型 m nmin f = cij xij （1） i=1 j=1 n s.t. xij si i = 1,2,m （2） j=1 m xij (=, )dj j = 1,2,n (3） i=1 xij 0 (i=1,2,m;j=1,2,n) （4） 精品課程運(yùn)籌學(xué) 我們可以通過增加虛設(shè)產(chǎn)地或銷地（加、減松弛變量）把問題轉(zhuǎn)換成產(chǎn)銷平衡問題，下面分別來討論。 1.產(chǎn)量大于銷量的情況 m n 考慮 si dj 的運(yùn)輸問題，得到的數(shù)學(xué)模 i=1 j=1型為精品課程運(yùn)籌學(xué) m n min f = cij

23、 xij i=1 j=1 n s.t. xij si i = 1,2,m j=1 m xij =dj j = 1,2,n i=1 xij0(i=1,2,m;j=1,2,n) 精品課程運(yùn)籌學(xué) 只要在模型中的產(chǎn)量限制約束（前只要在模型中的產(chǎn)量限制約束（前m個不等式約束）中引入個不等式約束）中引入m個松弛變量個松弛變量xi,n+1 i= 1, 2, , m 即可，變?yōu)椋杭纯桑優(yōu)椋?n xij+xin+1=si i=1,2,m j=1然后，需設(shè)一個銷地然后，需設(shè)一個銷地Bn+1,它的銷量為：它的銷量為： m n bn+1= si- dj i=1 j=1 精品課程運(yùn)籌學(xué) 這里，松弛變量 xi n+1

24、可以視為從產(chǎn)地 A i 運(yùn)往銷地 Bn+1 的運(yùn)輸量，由于實(shí)際并不運(yùn)送，它們的運(yùn)費(fèi)為 ci n+1=0 i= 1,2,m。于是，這個運(yùn)輸問題就轉(zhuǎn)化成了一個產(chǎn)銷平衡的問題。精品課程運(yùn)籌學(xué) 例:某公司從兩個產(chǎn)地A1、A2將物品運(yùn)往三個銷地B1、B2、B3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運(yùn)往各銷地每件物品的運(yùn)費(fèi)如下表所示，問：應(yīng)如何調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)輸費(fèi)用最小？ B1 B2 B3 產(chǎn)產(chǎn)量量 A1 6 4 6 300 A2 6 5 5 300 銷銷量量 150 150 200 精品課程運(yùn)籌學(xué) 解：增加一個虛設(shè)的銷地運(yùn)輸費(fèi)用為解：增加一個虛設(shè)的銷地運(yùn)輸費(fèi)用為0 0 B1 B2 B3 B4 產(chǎn)量 A1 6 4 6 0 300 A2 6 5 5 0 300 銷量 150 150 200 100 精品課程運(yùn)籌學(xué) 2.銷量大于產(chǎn)量的情況銷量大于產(chǎn)量的情況 m n 考慮考慮 si dj 的運(yùn)輸問題，得到的數(shù)學(xué)模型為的運(yùn)輸問題，得到的數(shù)學(xué)模型為 i=1 j=1 m n Min f = cij xij i=1 j=1 n s.t. xij =si i = 1,2,m j=1 m xij