解析幾何中設(shè)而不求專題練習(xí)含參考答案

1、解析幾何中設(shè)而不求專題練習(xí)設(shè)而不求是解析幾何的重要解題策略，在許多題目的解答中，常?？梢云鸬胶喕嬎愕淖饔?。許多同學(xué)會問：什么情況下，可以通過設(shè)而不求解答問題呢？ 一、利用曲線與方程的關(guān)系：1. 已知兩圓，求兩圓的公共弦方程及弦長。 解：兩圓方程相減，得，兩圓的交點坐標(biāo)均滿足此方程，故此方程即為公共弦所在直線方程。又圓的圓心到公共弦的距離，且 （為公共弦長），即公共弦長為。注：其中求公共弦的方程時即用到了設(shè)而不求思想。2. 過圓外一點p（a，b）引圓的兩條切線，求經(jīng)過兩個切點的直線方程。解：設(shè)兩個切點分別為p1（），p2（），則切線方程為：，?？梢妏1（），p2（）都滿足方程，由直線方程的定義

2、得：，即為經(jīng)過兩個切點的直線方程。二、利用圓錐曲線的定義：1. 已知橢圓為焦點，點p為橢圓上一點，求。1. 解析：由題意知點p為橢圓上一點，根據(jù)橢圓的定義。再注意到求的關(guān)鍵是求出這一整體，則可采用如下設(shè)而不求的解法：設(shè)由橢圓定義得由余弦定理得2得，三、利用點差法：1. 求過橢圓內(nèi)一點a（1，1）的弦pq的中點m的軌跡方程。解析：設(shè)動弦pq的方程為，設(shè)p（），q（），m（），則：得：當(dāng)時，由題意知，即式與聯(lián)立消去k，得當(dāng)時，k不存在，此時，也滿足。故弦pq的中點m的軌跡方程為：。注：通過將p、q的坐標(biāo)代入曲線方程，再將兩式相減的過程，稱為代點相減。這里，代點相減后，適當(dāng)變形，出現(xiàn)弦pq的斜率和中

3、點坐標(biāo)，是實現(xiàn)設(shè)而不求的關(guān)鍵。四、利用韋達定理：1. 已知橢圓c1的方程為，雙曲線c2的左、右焦點分別為c1的左、右頂點，而c2的左、右頂點分別是c1的左、右焦點. （）求雙曲線c2的方程；（）若直線與橢圓c1及雙曲線c2都恒有兩個不同的交點，且l與c2的兩個交點a和b滿足（其中o為原點），求k的取值范圍.解：（）設(shè)雙曲線c2的方程為，則故c2的方程為（ii）將由直線l與橢圓c1恒有兩個不同的交點得即 .由直線l與雙曲線c2恒有兩個不同的交點a，b得 解此不等式得 由、得故k的取值范圍為2. 已知平面上一定點c（4，0）和一定直線為該平面上一動點，作，垂足為q，且. （1）問點p在什么曲線上？

4、并求出該曲線的方程； （2）設(shè)直線與（1）中的曲線交于不同的兩點a、b，是否存在實數(shù)k，使得以線段ab為直徑的圓經(jīng)過點d（0，2）？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.解：（1）設(shè)p的坐標(biāo)為，由得（2分） （4分）化簡得 p點在雙曲線上，其方程為（6分） （2）設(shè)a、b點的坐標(biāo)分別為、，由 得（7分），（8分）ab與雙曲線交于兩點，>0，即解得（9分）若以ab為直徑的圓過d（0，2），則adbd，即，（10分）解得，故滿足題意的k值存在，且k值為.五、對多元問題，圍繞解題目標(biāo)，通過逐步消元，實現(xiàn)設(shè)而不求1. 拋物線與過點的直線相交于、兩點，為坐標(biāo)原點，若直線和斜率之和是，求直線的方程

5、。解：設(shè)點，點，直線的方程為， 則，由已知條件，. ，又，則，即， 于是是直線的斜率，直線的方程為.2.已知點p（3，4）為圓c：內(nèi)一點，圓周上有兩動點a、b，當(dāng)apb=90°時，以ap、bp為鄰邊，作矩形apbq，求頂點q的軌跡方程。解析：設(shè)a（），b（），q（x，y）由題意得：，即。將代入上式并整理得，即為點q的軌跡方程。注：本題的目標(biāo)是找到x、y所滿足的方程，而逐步消去無關(guān)的則是解答問題的關(guān)鍵。補充練習(xí)：1、設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點. （）若p是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值； （）是否存在過點a（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點c、d，使得|f2c|=|f2d|

6、？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由.解：（）易知 設(shè)p（x，y），則 ，即點p為橢圓短軸端點時，有最小值3；當(dāng)，即點p為橢圓長軸端點時，有最大值4 （）假設(shè)存在滿足條件的直線l易知點a（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所在直線l斜率存在，設(shè)為k直線l的方程為 由方程組依題意 當(dāng)時，設(shè)交點c，cd的中點為r，則又|f2c|=|f2d| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 所以不存在直線，使得|f2c|=|f2d|綜上所述，不存在直線l，使得|f2c|=|f2d| 2. 已知圓上的動點，點q在np上，點g在mp上，且滿足. （i）求點g的軌跡c的方程； （ii）過點（2，0）作直線，與曲線c交于a、b兩點，o是坐標(biāo)原點，設(shè) 是否存在這樣的直線，使四邊形oasb的對角線相等（即|os|=|ab|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.解：（1）q為pn的中點且gqpngq為pn的中垂線|pg|=|gn|gn|+|gm|=|mp|=6，故g點的軌跡是以m、n為焦點的橢圓，其長半軸長，半焦距，短半軸長b=2，點g的軌跡方程是 5分 （2）因為