高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明4數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)案北師大版選修

1、§4 數(shù)學(xué)歸納法 在學(xué)校，我們經(jīng)常會(huì)看到這樣一種現(xiàn)象：排成一排的自行車(chē)，如果一個(gè)同學(xué)不小心將第一輛自行車(chē)弄倒了，那么整排自行車(chē)就會(huì)倒下問(wèn)題1：試想要使整排自行車(chē)倒下，需要具備哪幾個(gè)條件？提示：(1)第一輛自行車(chē)倒下；(2)任意相鄰的兩輛自行車(chē)，前一輛倒下一定導(dǎo)致后一輛倒下問(wèn)題2：這種現(xiàn)象對(duì)你有何啟發(fā)？提示：這種現(xiàn)象使我們想到一些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)歸納法及其基本步驟：數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法，它的基本步驟是：(1)驗(yàn)證：n1時(shí)，命題成立；(2)在假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)命題成立的前提下，推出當(dāng)nk1時(shí)，命題成立根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對(duì)一切正

2、整數(shù)n都成立1數(shù)學(xué)歸納法僅適用于與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明2應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)應(yīng)注意：(1)驗(yàn)證是證明的基礎(chǔ)，遞推是證明的關(guān)鍵，二者缺一不可；(2)在證明nk1命題成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)的結(jié)論，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(nn)思路點(diǎn)撥運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法由nk到nk1，等式左邊增加了兩項(xiàng)結(jié)合等式右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，進(jìn)一步確定所需要的項(xiàng)及多余項(xiàng)，最后湊成所需要的結(jié)構(gòu)形式即可精解詳析(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊.左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，.即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立綜合(1)和(2)可知，對(duì)一切正整數(shù)n等式都成立一點(diǎn)

3、通用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題，關(guān)鍵在于“看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由nk到nk1時(shí)，等式兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加了怎樣的項(xiàng)1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×42×73×10n(3n1)n(n1)2(其中nn)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1×44，右邊1×224，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn)時(shí)等式成立，即1×42×73×10k(3k1)k(k1)2，那么，當(dāng)nk1時(shí)，1×42×73×10k(3k1)(k1)3(k1)

4、1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即當(dāng)nk1時(shí)等式也成立根據(jù)(1)和(2)，可知等式對(duì)任何nn都成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nn時(shí)，132333n3.證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn)時(shí)，等式成立，即132333k3.那么，當(dāng)nk1時(shí)，有132333k3(k1)3(k1)3(k1)2(k1)2.即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立根據(jù)(1)和(2)，可知對(duì)任何nn等式都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2求證：>(n2，nn)思路點(diǎn)撥在由nk到nk1的推證過(guò)程中可考慮使用“放縮法”，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的

5、常用方法之一精解詳析(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊>，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kn)時(shí)不等式成立，即>，則當(dāng)nk1時(shí)，>>，所以當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式對(duì)一切n2，nn均成立一點(diǎn)通對(duì)于與正整數(shù)有關(guān)的不等式的證明，如果用其他方法比較困難，此時(shí)可考慮使用數(shù)學(xué)歸納法證明使用數(shù)學(xué)歸納法的難點(diǎn)在第二個(gè)步驟上，這時(shí)除了一定要運(yùn)用歸納假設(shè)外，還要較多地運(yùn)用不等式證明的其他方法，對(duì)所要證明的不等式加以變形，尋求其與歸納假設(shè)相聯(lián)系的突破口3數(shù)列an滿(mǎn)足a11且an1an(n1，且nn)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an2(n2，且nn)證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，a222，不等

6、式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn，k2)時(shí)不等式成立，即ak2(k2)，那么ak1ak2.即當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立根據(jù)(1)(2)可知：an2對(duì)所有n2(nn)都成立4用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nn時(shí)，12232nn<(n1)n.證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2,1<2，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn)時(shí)不等式成立，即12233kk<(k1)k，那么，當(dāng)nk1時(shí)，左邊122233kk(k1)k1<(k1)k(k1)k1(k1)k(k2)<(k2)k1(k1)1k1右邊，即左邊<右邊，即當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立根據(jù)(1)和(2)，可知不等式對(duì)任意nn都成立.歸納猜想

7、證明例3已知數(shù)列，.設(shè)sn為數(shù)列前n項(xiàng)和，計(jì)算s1，s2，s3，s4，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明精解詳析s1，s2，s3，s4，可以看到，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n1，可以猜想sn.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)顯然當(dāng)n1時(shí)，s1成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即sk.則當(dāng)nk1時(shí)，sk1sk，即當(dāng)nk1時(shí)等式也成立根據(jù)(1)和(2)可知，等式對(duì)任何nn都成立一點(diǎn)通“觀察歸納猜想證明”模式的題目的解法：觀察：由已知條件寫(xiě)出前幾項(xiàng)；歸納：根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，找到項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系；猜想：猜想一般項(xiàng)的表達(dá)式；證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論

8、5數(shù)列an滿(mǎn)足sn2nan(nn)(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想解：(1)a11，a2，a3，a4，由此猜想an(nn)(2)當(dāng)n1時(shí)，a11，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(kn)時(shí)，結(jié)論成立，即ak，那么當(dāng)nk1(kn)時(shí)，ak1sk1sk2(k1)ak12kak2akak1，則ak1，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立根據(jù)和，可知猜想對(duì)任何nn都成立，即an(nn)6設(shè)函數(shù)yf(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的條件下，猜想

9、f(n)(nn)的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明解：(1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)2×0×0，得f(0)0.(2)由f(1)1，得f(2)f(11)f(1)f(1)2×1×14；f(3)f(21)f(2)f(1)2×2×19；f(4)f(31)f(3)f(1)2×3×116.(3)由(2)可猜想f(n)n2.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n1時(shí)，f(1)121顯然成立假設(shè)當(dāng)nk(kn)時(shí)，命題成立，即f(k)k2，則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)f(k)f(1)2×k×1k212k(k1)2，即當(dāng)nk

10、1時(shí)命題也成立，由可知，對(duì)一切nn都有f(n)n2成立運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤：(1)對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤，特別是尋找nk與nk1的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯(cuò)(2)不利用歸納假設(shè)：歸納假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過(guò)去了(3)步驟不嚴(yán)謹(jǐn)、不規(guī)范，在利用假設(shè)后，不作任何推導(dǎo)或計(jì)算而直接寫(xiě)出所要結(jié)論 1在用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)都成立”時(shí)，第一步驗(yàn)證的n0()a1b3c5 d.7解析：n的取值與2n，n2的取值如下表：n1234562n248163264n2149162536由于2n的增長(zhǎng)速度要遠(yuǎn)大于n2的增長(zhǎng)速度，故當(dāng)n>4，即n5時(shí)，恒有2n>

11、;n2.答案：c2用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”的第二步是()a假設(shè)n2k1時(shí)正確，再推n2k3正確b假設(shè)n2k1時(shí)正確，再推n2k1正確c假設(shè)nk時(shí)正確，再推nk1正確d假設(shè)nk(k1)，再推nk2時(shí)正確(以上kn)解析：因?yàn)閚為正奇數(shù)，據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)第k個(gè)正奇數(shù)也成立，本題即假設(shè)n2k1正確，再推第(k1)個(gè)正奇數(shù)即n2k1正確答案：b3凸n邊形有f(n)條對(duì)角線(xiàn)，則凸n1邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)f(n1)為()af(n)n1 bf(n)ncf(n)n1 d.f(n)n2解析：凸n邊形有f(n)條對(duì)角線(xiàn)，每增加1條邊，增加的那個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)n2條對(duì)角線(xiàn)，

12、它的相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成1條對(duì)角線(xiàn)，故凸n1邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)f(n1)比f(wàn)(n)多n1條答案：c4用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式>的過(guò)程中，由nk到nk1時(shí)，不等式左邊的變化情況為()a增加b增加c增加，減少d增加，減少解析：當(dāng)nk時(shí)，不等式的左邊，當(dāng)nk1時(shí)，不等式的左邊，又，所以由nk到nk1時(shí)，不等式的左邊增加，減少.答案：c5用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n1(nn)的過(guò)程如下：當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2111，等式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即12222k12k1，則當(dāng)nk1時(shí)，12222k12k2k11，所以，當(dāng)nk1時(shí)等式成立由此可知，對(duì)任何nn，等式都成立上述證明的錯(cuò)誤是_解析：當(dāng)

13、nk1時(shí)正確的解法是12222k12k2k12k2k11，即一定用上第二步中的假設(shè)答案：沒(méi)有用上歸納假設(shè)進(jìn)行遞推6用數(shù)學(xué)歸納法證明，推證當(dāng)nk1時(shí)等式也成立時(shí)，只需證明等式_成立即可解析：當(dāng)nk1時(shí)，故只需證明即可答案：7數(shù)列an滿(mǎn)足an>0(nn)，sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，并且滿(mǎn)足sn，求s1，s2，s3的值，猜想sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解：由an>0，得sn>0，由a1s1，整理得a1，取正根得a11，所以s11.由s2及a2s2s1s21，得s2，整理得s2，取正根得s2.同理可求得s3.由此猜想sn.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，上面已求出s11，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn)時(shí)，結(jié)論成立，即s