培優(yōu)專題12全等三角形及其應(yīng)用含答案

1、6、全等三角形及其應(yīng)用【知識精讀】1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形；兩個全等三角形中，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點?；ハ嘀睾系倪吔袑?yīng)邊，互相重合的角叫對應(yīng)角。2. 全等三角形的表示方法：若abc和abc是全等的三角形，記作 “abcabc其中，“”讀作“全等于”。記兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；4. 尋找對應(yīng)元素的方法（1）根據(jù)對應(yīng)頂點找如果兩個三角形全等，那么，以對應(yīng)頂點為頂點的角是對應(yīng)角；以對應(yīng)頂點為端點的邊是對應(yīng)邊。通常情況下，兩個三角形全等時，對應(yīng)頂點的字母都寫在對應(yīng)

2、的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對應(yīng)的元素。（2）根據(jù)已知的對應(yīng)元素尋找全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；（3）通過觀察，想象圖形的運動變化狀況，確定對應(yīng)關(guān)系。通過對兩個全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個是由另一個經(jīng)過下列各種運動而形成的。翻折 如圖（1），dbocdeod，dboc可以看成是由deod沿直線ao翻折180°得到的；旋轉(zhuǎn) 如圖（2），dcoddboa，dcod可以看成是由dboa繞著點o旋轉(zhuǎn)180°得到的；平移 如圖（3），ddefdacb，ddef可以看成是由dacb沿cb方向平行移動而得到的。5

3、. 判定三角形全等的方法：（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理（2） 推論：角角邊定理6. 注意問題：（1）在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應(yīng)相等；（2）不能證明兩個三角形全等的是，a: 三個角對應(yīng)相等，即aaa；b :有兩邊和其中一角對應(yīng)相等，即ssa。全等三角形是研究兩個封閉圖形之間的基本工具，同時也是移動圖形位置的工具。在平面幾何知識應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動圖形或移動圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識?！痉诸惤馕觥咳热切沃R的應(yīng)用（1） 證明線段（或角）相等 例1：如圖，已知ad=ae,ab=ac.求證：bf=fc分析：由已知條件可

4、證出acdabe，而bf和fc分別位于dbf和efc中，因此先證明acdabe，再證明dbfecf，既可以得到bf=fc.證明：在acd和abe中， acdabe (sas) b=c（全等三角形對應(yīng)角相等）又 ad=ae,ab=ac. abad=acae 即 bd=ce在dbf和ecf中 dbfecf （aas） bf=fc （全等三角形對應(yīng)邊相等）（2）證明線段平行例2：已知：如圖，deac，bfac，垂足分別為e、f，de=bf，af=ce.求證：abcd分析：要證abcd，需證ca，而要證ca，又需證abfcde.由已知bfac，deac，知decbfa=90°，且已知de=b

5、f，af=ce.顯然證明abfcde條件已具備，故可先證兩個三角形全等，再證ca,進一步證明abcd.證明： deac，bfac （已知） decbfa=90° （垂直的定義）在abf與cde中， abfcde（sas） ca (全等三角形對應(yīng)角相等) abcd （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等例3：如圖，在 abc中，ab=ac，延長ab到d，使bd=ab，取ab的中點e，連接cd和ce. 求證：cd=2ce分析：()折半法：取cd中點f，連接bf，再證cebcfb.這里注意利用bf是acd中位線這個條件。證明：取

6、cd中點f，連接bf bf=ac,且bfac （三角形中位線定理） acb2 (兩直線平行內(nèi)錯角相等)又 ab=ac acb3 （等邊對等角） 32在ceb與cfb中， cebcfb (sas) ce=cf=cd （全等三角形對應(yīng)邊相等）即cd=2ce （）加倍法證明：延長ce到f，使ef=ce，連bf.在aec與bef中，aecbef (sas) ac=bf, 43 (全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等) bfac (內(nèi)錯角相等兩直線平行) acb+cbf=180o,abc+cbd=180o,又ab=ac acb=abccbf=cbd （等角的補角相等）在cfb與cdb中， cfbcdb (sas

7、) cf=cd即cd=2ce說明：關(guān)于折半法有時不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取ac中點f，連bf(如圖)（b為ad中點是利用這個辦法的重要前提），然后證ce=bf.(4)證明線段相互垂直例4：已知：如圖，a、d、b三點在同一條直線上，adc、bdo為等腰三角形，ao、bc的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。分析：本題沒有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后再證明所得出的結(jié)論正確。通過觀察，可以猜測：ao=bc，aobc.證明：延長ao交bc于e,在ado和cdb中 adocdb (sas) ao=

8、bc, oad=bcd（全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等） aodcoe （對頂角相等） coe+oce=90o aobc5、中考點撥：例1如圖，在abc中，abac，e是ab的中點，以點e為圓心，eb為半徑畫弧，交bc于點d，連結(jié)ed，并延長ed到點f，使dfde，連結(jié)fc求證：fa分析：證明兩個角相等，常證明這兩個角所在的兩個三角形全等，在已知圖形中a、f不在全等的兩個三角形中，但由已知可證得efac，因此把a通過同位角轉(zhuǎn)到bde中的bed，只要證ebdfcd即可證明：abac，acbb，ebed，acbedbedacbedabeeabdcd又dedf，bdecdfbdecdf，bedffa說

9、明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求全等條件時，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖中存在的對項角、公共角、公共邊、平行線的同位角、內(nèi)錯角等相等的關(guān)系。例2 如圖，已知 abc為等邊三角形，延長bc到d，延長ba到e，并且使ae=bd，連接ce、de.求證：ec=ed 分析：把已知條件標注在圖上，需構(gòu)造和aec全等的三角形，因此過d點作dfac交be于f點，證明aecfed即可。證明：過d點作dfac交be于f點 abc為等邊三角形 bfd為等邊三角形 bf=bd=fd ae=bd ae=bf=fd aeaf=bfaf 即 ef=ab ef=ac在 ace和dfe中，

10、aecfed（sas） ec=ed（全等三角形對應(yīng)邊相等）題型展示：例1 如圖，abc中，c2b，12。求證：abaccd分析：在ab上截取aeac，構(gòu)造全等三角形，aedacd，得dedc，只需證debe問題便可以解決證明：在ab上截取aeac，連結(jié)de aeac，12，adad， aedacd， dedc，aedc aedbedb，c2b， 2bbedb即 bedb ebed，即eddc， abacdc剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長法（即在長線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）；如作aeac是利用了角平分線是角的對稱軸的特

11、性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補短法（即延長一條短線段等于長線段，再證明延長的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題，實際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中考命題的重點考查的內(nèi)容【實戰(zhàn)模擬】1. 下列判斷正確的是（ ）（a）有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（b）有兩邊對應(yīng)相等，且有一角為30°的兩個等腰三角形全等（c）有一角和一邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（d）有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等2. 已知：如圖，cdab于點d，beac于點e，be、cd交于點o，且ao平分bac求證：oboc3. 如圖，已知c為線段a

12、b上的一點，dacm和dcbn都是等邊三角形，an和cm相交于f點，bm和cn交于e點。求證：dcef是等邊三角形。4.如圖，在abc中，ad為bc邊上的中線求證：ad<(ab+ac) 5. 如圖，在等腰rtabc中，c90°，d是斜邊上ab上任一點，aecd于e，bfcd交cd的延長線于f，chab于h點，交ae于g求證：bdcg【試題答案】1. d2.證明： ao平分odb，cdab于點d，beac于點e，be、ce交于點o， odoe，odboec90°, bodcoe。 bodcoe（asa）oboc3. 分析 由Ðacm=Ðbcn=60&

13、#176;，知Ðecf=60°，欲證dcef是等邊三角形，只要證明dcef是等腰三角形。先證dcandmcb，得Ð1=Ð2.再證dcfndceb，即可推得dcef是等邊三角形的結(jié)論。證明：在dcan和dmcb，ac=mc，cn=cb，Ðcan=Ðmcb=120°，dacndmcb中， Ðfcb和dceb中，Ðfcn=Ðecb=60°，Ð1=Ð2，cn=cb，dcfndceb，cf=ce，又Ðecf=60°， dcef是等邊三角形.4. 分析： 關(guān)于線段不等的問題，一般利用在同一個三角形中三邊關(guān)系來討論，由于ab、ac、ad不在同一個三角形，應(yīng)設(shè)法將這三條線段轉(zhuǎn)化在同一個三角形中，也就是將線段相等地轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的通常方法利用三角形全等來完成，注意ad是bc邊上的中線，延長ad至e，使dead，即可得到acdebd證明：延長ad到e，使dead，連結(jié)be在dacd與debd中 dacddebd（sas） aceb（全等三角形對應(yīng)邊相等）在dabe中，abebae（三角形兩邊之和大于第三邊） abac2ad（等量代換） 說明：一般在有中點的條件時，考慮延長中線來構(gòu)造全等三角形。5.分析：由于bd與cg分別在兩個三角形中，欲證b