1-6能量不等式、波動方程解的唯一性和穩(wěn)定性

1、2程解的唯一性和湛/rr值/題能唯 竿的 二/匕匕厶冃動與 牛一21.振動的動能和位能考察一維初邊值問題:rCutt= 0 (Z > 0, 0 < x < Z)(1)v w(x,0) = <p(x), ut (x,0) = |/(x) (0 < x < Z) (2)w(0, t) = w(Z, 0 = 0(3)設(shè)比為問題,(2), (3)的解,用叫乘以的兩端, 再從0到Z積分，得J： ututtdx - a1 J： u.udx = 0(4)f0叫張=0clJO:幕啊=2恥udx(4)(5)%心x = J： utdux = utux - f uxdut由邊界條

2、件可知：ut(O,t) = ut(l,t) = OpzfZIt/2I utudx = -1 udut = 一 I uuAx I udx (6)Jo 1Jo x 1 Jo x xt2 力將(5)、(6)代入(4),得+ a2u)dx = 02 dt o記 E(t) = J：(%； + /尤皿貝U=0物理描述: 動能：ludx表示F時刻的動能。2 J。 位能(勢能)：F叟表示張力在垂直方向的分力,ax四"勢為垂直分力線密度。T,dx)從而廉設(shè)長為厶的弦從!時刻到(+ &時 刻由原來位置u(x.t)發(fā)生了微小 改變8u,即u(xt + 80 = u(xt) + 8w(x)5上頁I下

3、頁I返回I這段時間反抗張力所作的功為：bW = (buTUxxdx從而 整條弦反抗張力所作的功為：W = -(SuTudx-TJ；(%)/ -(創(chuàng)hux心= -T(3u)ux +町；(弘)用于反抗張力所作的功，一部分能量通過弦的兩端流 出，即-T8u)u 另一部分則使弦的位能得到增量 8K, BP8K = T(8u)xuxdxo當(dāng)兩端固定時，8w(0) = 8w(Z) = 0,因此從兩端流出的能量-T(3u)ux=0o位能的增量57 =(3u)x uxdx(8m)xWx=|(8m)x +訂-眾-飄;不計弘的高階項，則(8w)xwx=|(8m)x + 訂 - *冷比+(弘)上-詁.從f時刻到(+

4、 &時刻位能的增量8V =扣加+ (啦.f 時刻的位能為：V（/） = Tu.dx2 o注：在有外力情形，（加）卩+尸力，所以f時刻的位能為：叫0 = J；丄Tu： - Fu dxo 2總能量=£ l udx + udx2 Jo2 Jo稱EC）為能量積分（相差一個非零常數(shù)因子）。9上頁I下頁I返回I弘” 一/(勺磁 + 比期)= 0, (X,J)G Q,Z>0, 弘(x,0) = 0(x,刃,ut(x.y.0)=久x,刃, u(x.y,t)= 0、7(x)e3Q(8)(9)#上頁下頁I返回I#上頁下頁I返回I可類似得到能量積分:(10)E =JJ 訝 + a2(u +

5、u)dxdyQ11上頁下頁I返回I#上頁下頁I返回I且有:#上頁下頁I返回I(11)(10)式的推導(dǎo)：式兩端同乘以嗎并在。內(nèi)積分,得JJ嗎知-，(均 +utuyy)dxdy = 0(11)(11)叫 + 叫 = (%+ (% J廠 %叫-UtyUy=V (均)一£(尤+必)代入(11)式,得utux)x +(utuy)ydxdy = 01 "E兀22 dt上頁I下頁I返回I由Green公式+（均知）丿必辺f = §均譽刃qao %由邊界條件(9)知：在00上，均三0故 JJ(utux)x + (utuy)ydxdy = 0Q從而dE(t)dt=0#2.初邊值問題解

6、的唯一性與穩(wěn)定性 定理6.1波動方程初邊值問題：utt -a2/i =仁(xj)e O 0(a) u(x. j,0) =(p(x. j), ut(x, j,0) =y)的解至多有一個。證明：由有關(guān)能量積分的推導(dǎo)可知，當(dāng)/三0,卩三0時, 有 dE(f) _ ° 所以.療(0 = JJ訝+譏疋+“；)血(yE(f) = E(0) = JJ 陀 +©；)上頁I下頁I返回I15設(shè)ux.y.t). u2(x.y,t)都 是問題(a)的解，令V = u,-u2.則7滿足:Vtt - a2AK = 0, (x)e Oj > 0(b) <r(x,j,o)= o,r;(x,j,

7、o)= o所以，對任意(>o均有£2+«2(+)& = 0Qv a2 >0, 西三0,西三0,從而r(x,0 = C(常數(shù)) dt dxt V(x, 0) = 0, /. (7 = 0, i.e., V(x, t) = 0, Wj = u2能量不等式用能量積分法討論波動方程初邊值問題ruu - a2Au = f (xj) w 0(0,(c) M(x, j,0) =(p(x,y). ut(x,y,0) = %(x,刃,w(x,J,/)|(xj)e0Q=O解的連續(xù)依賴性。記 E(t) = jj« +a2(w -l-Uy)dxdyQ打)-2 jj u

8、 tf dxdy < jj udxdy + JJ f2dxdyQQQ< E(t) + jj f2dxdy上頁I下頁I返回IQn ?0為(切 < e a*qn E(t) < d £(0) + J#y JJ fdxdydTG丿當(dāng) 0""時E(t) < Co E(o)+ J：JJ7 認(rèn)如Q(其中c0=Z是僅與有關(guān)的正常數(shù)。)記 Eq (t) = IT u2dxdyQ亠"Eq ()_ 2jj Uutdxdy < JJu2dxdy + JJudxdy力GQQ<E0(t) + E(t)19atatFo (0) +£

9、 exE(T)dz當(dāng)0G時 E.(t)< CEO) + E(t)cIt) (Ci =") J： E(r)dr 可:Co(E(0) + J： 口屛加如"血< C2(F(0) + J： jj屛也如)© = cj) . E 0(O < G 化(0) + E(0) + J： JJq fdxdydr :.E(t) + E，0(O<c| E(0) 4- E. (0) + J：幾 fdxdydr上頁I下頁I返回21設(shè)分別為定義在G和(0,T)x Q內(nèi)的函數(shù)，記IMl2(q)- (JJq2)2ll-IL2(0,r)xQ)由能量不等式) + E°

10、5 cE(0) + Eq(0) + JJQ f2dxdydT得制爲(wèi))+kXg)+|“£g)+ 陽爲(wèi)l 制 |咖)+|0|乙2(沏 + |L2(Q) +IWL2(q)+II-IL2(o,t)xq)其C, = C/minL,a2L2(Q)定理& 2波動方程初邊值問題（c）的解關(guān)于初始值 （q>,屮）與方程右端項/是穩(wěn)定的，即：對Vs>0, 北=耳（£,巧>0,只要 h- ©Il咖盧帀恥", |知-霸| 加1 的|恥盧11/1- A|（o,r）xQ）5f妁之差在o<r<r±滿足",An /tri<E,|-|£2(0)L2(Q) s,那么以屮1）為初值，7*1為右端項的解嗎與以（q>2,屮2） 為初值，為右端項的網(wǎng)一對I®u2t3柯西問題解的唯一性與穩(wěn)定性(d)叫-於(+知) = 0,«(x, J, 0) = ©(X,刃，均(x, ” 0) = y/(x.y)設(shè)氏是問題（d）的解23上頁下頁I返回I#上頁下頁I