華羅庚學(xué)校五年級(jí)數(shù)學(xué)(上冊(cè))教材(第18講,共15講)

1、本系列共 15 講第一講數(shù)的整除問題.一基本概念和知識(shí)1整除 約數(shù)和倍數(shù)一般地，如 a、b、c 為整數(shù)， b0，且 a÷b = c ，即整數(shù) a 除以整數(shù) b（b0），除得的商 c 正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)是 0），我們就說， a 能被 b 整除（或者說 b 能整除 a）。記作 ba。否則，稱為 a 不能被 b 整除（或 b 不能整除 a）。如果整數(shù) a 能被整數(shù) b 整除， a 就叫做 b 的倍數(shù)， b 就叫做 a 的約數(shù)（或因數(shù)）。2數(shù)的整除性質(zhì)性質(zhì) 1：如果 a、b 都能被 c 整除，那么它們的和與差也能被c整除。性質(zhì) 2：如果 b 與 c 的積能整除 a，那么 b 與

2、 c 都能整除 a。性質(zhì) 3：如果 b、c 都能整除 a，且 b 和 c 互質(zhì)，那么 b 與 c 的積能整除 a。性質(zhì) 4：如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a。3數(shù)的整除特征 能被2 整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是 0、2、 4、 6、8 的整數(shù)。 能被5 整除的數(shù)的特征：個(gè)位是 0 或 5。 能被3（或 9）整除的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被 3（或9）整除。 能被4（或 25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被 4（或 25）整除。 能被 8（或 125）整除的數(shù)的特征： 末三位數(shù)能被 8（或 125）整除。 能被 11 整除的數(shù)的特征：這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)

3、數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減小）是11 的倍數(shù)。 能被 7（11 或 13）整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減?。┠鼙?7 （11 或 13）整除。二例題例 1：已知 45 x1993y ，求所有滿足條件的六位數(shù)x1993y 。解： 45=5 ×9， 根據(jù)整除“性質(zhì)2”可知5 x1993y ，9 x1993 y ， y 可取 0 或 5。當(dāng) y=0 時(shí)，根據(jù) 9當(dāng) y=5 時(shí)，根據(jù) 9x1993yx1993y及數(shù)的整除特征可知 x=5；及數(shù)的整除特征可知 x=9。 滿足條件的六位數(shù)是519930 或 919935。例 2：李老師為學(xué)校一共買了 2

4、8 支價(jià)格相同的鋼筆， 共付人民幣 9.2 元，已知處數(shù)字相同，請(qǐng)問每支鋼筆多少元？解： 9 .2 元 =92分28=4×7 根據(jù)整除“性質(zhì)2”可知4 和 7 均可能整除 92。42，可知處只能填0 或 4 或 8。因?yàn)?7 不能整除 9020， 7 不能整除 9424，所以處不能填0和 4；因?yàn)?79828，所以處應(yīng)該填 8。又因?yàn)?9828 分 =98.28 元所以 98.28 ÷28=3.51（元）答：每支鋼筆 3.51 元。例 3：已知整數(shù) 1 a2 a3 a4 a5 a 能被 11 整除，求所有滿足這個(gè)條件的整數(shù)。解： 11 1a2a3a4a5a ， 根據(jù)能被 1

5、1 整除的數(shù)的特征可知：1234 5 的和與 5a 之差應(yīng)是 11 的倍數(shù)，即：11（155a），或 11（ 5a15）。但是 155a=5（3a），5a15=5(a3) ，又（5，11）=1，因此 11(3 a) 或 11(a 3).又 a 是數(shù)位上的數(shù)字， a 只能取 09， 所以只有 a=3 才能 11（ 3a）或 11（ a3）。即當(dāng) a=3 時(shí)， 11155a。 符合題意的整數(shù)只有 1323334353。例 4：把三位數(shù) 3ab接連重復(fù)地寫下去，共寫1993 個(gè) 3 ab，所得的數(shù) 3ab3ab.3 ab恰是 91 的倍數(shù)，求 ab=？(1993個(gè)3 ab)解： 91=7 ×

6、;13，且（ 7，13）=1， 7 能整除 3ab 3ab .3ab ，13 能整除 3ab3ab.3 ab。根據(jù)一個(gè)數(shù)能被 7 或 13 整除的特征可知：原數(shù) 3ab3ab.3ab 能被 7 以及 13 整除，當(dāng)且僅當(dāng) 3ab.3 ab（1992 組 3ab） 3ab能被 7 以及 13 整除，也就是 3 ab .3ab 000 （1991 組）能被 7 以及 13 整除。因?yàn)椋?，10）=1，（13，10）=1，所以 7 能整除 3ab.3 ab000（1991組），13 能整除 3ab.3 ab000（1991 組），也就是 7 能整除 3ab .3ab（1991組），13 能整除 3.

7、3（1991 組），因此，用一次 性質(zhì)（特征），abab就去掉了兩組 3ab；反復(fù)使用性質(zhì) 996 次，最后轉(zhuǎn)化成：原數(shù)能被 7 以及 13 整除當(dāng)且僅當(dāng) 3ab 能被 7 以及 13 整除。又 91 的倍數(shù)中小于 1000 的只有 91×4=364的百位數(shù)字是 3， 3ab =364， ab =64。例 5：在 865 后面被上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能分別被 3、4、5 整除，且使這個(gè)數(shù)值盡可能的小。分析設(shè)補(bǔ)上數(shù)字后的六位數(shù)是865 abc ，因?yàn)檫@個(gè)六位數(shù)能分別被 3、4、5 整除，所以它應(yīng)該滿足以下三個(gè)條件：第一，數(shù)字和（ 865abc）是 3 的倍數(shù)；第二，末兩位數(shù)字

8、組成的兩位數(shù)是 4 的倍數(shù)；bc因而第三，末位數(shù)字 c 是 0 或 5。因?yàn)槟鼙?4 整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字不可能是b 只能取自 0，2，4，6，8 中之一。5，所以，c只能取0，又因?yàn)?3 865ab0 ，且（ 865）除以 3 余 1，所以 ab 除以 3 余 2。 為滿足題意“數(shù)值盡可能小 ”，只需取 a=0,b=2. 所以，要求的六位數(shù)是 865020。例 6： 求能被 26 整除的六位數(shù) x1991y 。分析 因?yàn)?26=2×13，所以 x1991y 能分別被 2 和 13 整除。所以，解此題可以從2 x1991y 入手考慮。解：因?yàn)?2 x1991y所以， y 可能取 0，2

9、，4，5，6， 8。又因?yàn)?13 x1991y ，所以， 13 能整除 x19與91y 的差。當(dāng) y=0 時(shí)，由于 13910，而 13 又要整除 x19 與 910 之差，所以， 13 x19 。又因?yàn)?x19 =100x+19=（7×13+9） x+19=7×13x+9x+13+6,所以，根據(jù)整除“性質(zhì)1”，有 139x+6.經(jīng)試驗(yàn)可知只有當(dāng)x=8 時(shí)， 139x+6.所以，當(dāng) y=0 時(shí)，符合題意的六位數(shù)是819910。當(dāng) y=2 時(shí)，因?yàn)?13 x19912 ，所以 13 整除 x19 與（ 910+2）之差，也即 13 整除 x19 與 2 之差；與前相仿， x1

10、9 =7×13x+13+9x+6，所以 13 整除 9x+6-2.即： 139x+4。經(jīng)試驗(yàn)可知只有當(dāng)x=1 時(shí)， 139x+4.所以，當(dāng) y=2 時(shí)，符合題意的六位數(shù)是119912。同理，當(dāng) y=4 時(shí)， 139x+6-4 ，即 139x+2.經(jīng)試驗(yàn)可知當(dāng) x=7 時(shí)， 139x+2.所以，當(dāng) y=4 時(shí)，符合題意的六位數(shù)是719914.同理，當(dāng) y=6 時(shí)， 139x+6-6 ，即 139x.經(jīng)試驗(yàn)可知 x 無解（因?yàn)?x 是 x1991y 的最高位數(shù)碼， x0）.所以，當(dāng) y=6 時(shí)，找不到符合題意的六位數(shù)。同理，當(dāng) y=8 時(shí)， 139x+6-8 ，即 139x-2 。經(jīng)試驗(yàn)

11、只有當(dāng) x=6 時(shí)， 139x-2 。所以，當(dāng) y=8 時(shí)，符合題意的六位數(shù)是619918。答：滿足本題條件的六位數(shù)共有819910、119912、719914 和619918 四個(gè)。習(xí)題一1，已知 72x931y，求滿足條件的五位數(shù)。2，已知五位數(shù) 154xy 能被 8 和 9 整除，求 x y 的值。3，若五位數(shù) 32x5y 能同時(shí)被 2、3、5 整除，試求滿足條件的所有這樣的五位數(shù)。4，將自然數(shù) 1、2、3、4、5、6、7、8、9 依次重復(fù)寫下去組成一個(gè) 1993 位數(shù)，這個(gè)數(shù)能否被3 整除？5，一本陳老帳上記著：72 只桶，共67.9元。這里處字跡不清，請(qǐng)把處數(shù)字補(bǔ)上，并求桶的單價(jià)。6

12、，證明：任意一個(gè)三位數(shù)連著寫兩次得到一個(gè)六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)一定能同時(shí)被 7、11、13 整除。本系列共15 講質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)第二講.一基本概念和知識(shí)1質(zhì)數(shù)和合數(shù)一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)） 。一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。要特別記?。?1 不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。2質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。二例題例 1：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是 210，求這三個(gè)數(shù)。 210=2 ×3× 5×7 可知這三個(gè)數(shù)是 5、6、7。例 2：兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是 40，求這

13、兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多少？解：把 40 表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，共有三種形式：40=1723=1129=337 17×23=39111×29=3193×37=111， 所求的最大值是 391。例 3：自然數(shù) 123456789 是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？為什么？解： 123456789 是合數(shù)。因?yàn)樗思s數(shù)1 和它本身，至少還有約數(shù)3，所以它是一個(gè)合數(shù)。例 4：連續(xù) 9 個(gè)自然數(shù)中至多有幾個(gè)質(zhì)數(shù)？為什么？解：如果這連續(xù)九個(gè)自然數(shù)在1 與 20 之間，那么顯然其中最多有 4 個(gè)質(zhì)數(shù)（如： 19 中有 4 個(gè)質(zhì)數(shù) 2、3、5、7）。如果這連續(xù)的九個(gè)自然數(shù)中最小的不小于13，

14、那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，而其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)最多有5 個(gè)。這 5 個(gè)奇數(shù)中必只有一個(gè)個(gè)位數(shù)是5，因而 5 是這個(gè)奇數(shù)的一個(gè)因數(shù)，即這個(gè)奇數(shù)是合數(shù)。這樣，至多另4 個(gè)奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。綜上所述，連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有4 個(gè)質(zhì)數(shù)。例 5：把 5、6、7、14、 15 這五個(gè)數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的乘積相等。解： 5=5 ， 7=7，6=2×3， 14=2×7，15=3×5。 這些數(shù)中質(zhì)因數(shù) 2、3、5、7 各共有 2 個(gè)，所以如把 14（=2×7 ）放在第一組，那么7 和 6（ =2×3）只能放在第二組，繼而15（=3×5）只能放在第一組，則5

15、必須放在第二組。這樣， 14×15=210=5×6×7。 這五個(gè)數(shù)可以分為14 和 15，5、6 和 7 兩組。例 6：有三個(gè)自然數(shù)，最大的比最小的大 6，另一個(gè)是它們的平均數(shù)，且三數(shù)的乘積是 42560。求這三個(gè)自然數(shù)。分析先大概估計(jì)一下， 30×30×30=27000，遠(yuǎn)小于 42560，40× 40×40=64000，遠(yuǎn)大于 42560。因此，要求的三個(gè)自然數(shù)在 3040之間。解： 42560=26×5×7× 19=25×（ 5×7）×（ 19×2）

16、=32×35×38（合題意） 要求的三個(gè)自然數(shù)分別是32、35 和 38。例 7：有三個(gè)自然數(shù) a、b、c，已知 a×b=6，b×c=15，a×c=10。求 a×b×c 是多少？解： 6=2 × 3，15=3×5，10=2× 5。 (a ×b) ×(b ×c) ×(a ×c)=(2 ×3) ×(3 ×5) ×(2 ×5) a 2×b2× c2=22×32×5

17、2 (a ×b×c) 2=(2 ×3×5) 2 a ×b×c=2×3×5=30在例 7 中有 a2=22,b 2=32,c 2=52，其中 22=4，32=9，52=25，像 4、9、25 這樣的數(shù)，推及一般情況，我們把一個(gè)自然數(shù)平方所得到的數(shù)叫做完全平方數(shù)或叫做平方數(shù)。如： 12=1，22=4， 32=9， 42=16， 112=121，122=144，其中 1，4，9，16， 121，144，都叫做完全平方數(shù)。下面讓我們觀察一下，把一個(gè)完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)有什么特征。例：把下列各完全平方數(shù)分解

18、質(zhì)因數(shù)。9，36，144，1600， 275625。解： 9=3236=22 × 32144=32 × 241600=26 × 52275625=32×54×72可見，一個(gè)完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)均是偶數(shù)。反之，如果把一個(gè)自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)之后，各個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù)，那么這個(gè)自然數(shù)一定是完全平方數(shù)。如上例中， 36=62，144=122，1600=402，275625=5252。例 8：一個(gè)整數(shù) a 與 1080 的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，求a 的最小值與這個(gè)完全平方數(shù)。分析 a 與 1080 的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)。 乘積分解質(zhì)

19、因數(shù)后，各質(zhì)因的指數(shù)一定全是偶數(shù)。解： 1080 ×a=23× 33×5×a，又 1080=2 3×33×5 的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù)。 a 必含質(zhì)因數(shù) 2、3、5，因此， a 最小為 2×3×5。 1080 ×a=1080×2×3×5=1080× 30=32400。答： a 的最小值為 30，這個(gè)完全平方數(shù)是32400。例 9：360 共有多少個(gè)約數(shù)？分析360=23×32×5為了求360 有多少個(gè)約數(shù)，我們先來看32×5

20、有多少個(gè)約數(shù)，然后再把所有這些約數(shù)分別剩以1、2、22、23，即得到 23× 32× 5（=360）的所有約數(shù)。為了求32×5 有多少個(gè)約數(shù)，可以先求出5有多少個(gè)約數(shù)，然后再把這些約數(shù)分別乘以 1、 3、32，即得到 32 ×5 的所有約數(shù)。解：記 5 的約數(shù)個(gè)數(shù)為 Y1，32×5 的約數(shù)個(gè)數(shù)為 Y2。360（=23×32× 5）的約數(shù)個(gè)數(shù)為 Y3。由上面的分析可知：Y3=4×Y2，Y2=3×Y1，顯然 Y1=2（5 只有 1 和 5 兩個(gè)約數(shù)） 。因此 Y3=4×Y2=4×3

21、5;Y1=4×3×2=24。所以， 360 共有 24 個(gè)約數(shù)。Y3=4×Y2 中的“ 4 ”即為“ 1、2、22、23”中數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是其中 2 的最大指數(shù)加 1，也就是 360=23×32× 5 中質(zhì)因數(shù) 2 的個(gè)數(shù)加 1；Y2=3×Y1 中的“ 3”即為“ 1、3、32”中數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是23×32×5 中質(zhì)因數(shù) 3 的個(gè)數(shù)加 1；而 Y1=2 中的“ 2”即為“ 1、5”中數(shù)的個(gè)數(shù)，即 23×32×5 中質(zhì)因數(shù) 5 的個(gè)數(shù)加 1。因此Y3=（31）×（ 21）×（

22、11）=24。 對(duì)于任何一個(gè)合數(shù)，用類似于 23×32×5（=360）的約數(shù)個(gè)數(shù)的討論方式， 我們可以得到一個(gè)關(guān)于求一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的重要結(jié)論：一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)， 等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)（即指數(shù)）加1 的連乘積。例 10：求 240 的約數(shù)的個(gè)數(shù)。解： 240=2 4×31×51， 240 的約數(shù)的個(gè)數(shù)是：（41）×（ 11）×（ 1 1）=20 個(gè)， 240 有 20 個(gè)約數(shù)。請(qǐng)你列舉一下240 的所有約數(shù)，再數(shù)一數(shù)，看一看是否是20個(gè)？習(xí)題二1邊長(zhǎng)為自然數(shù)，面積為105 的形狀不同的長(zhǎng)方形共有多少種？21111

23、2222 個(gè)棋子排成一個(gè)長(zhǎng)方陣，每一橫行的棋子數(shù)比每一豎列的棋子數(shù)多1 個(gè)。這個(gè)長(zhǎng)方陣每一橫行有多少個(gè)棋子？3五個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積是55440，求這五個(gè)自然數(shù)。4自然數(shù) a 乘 338，恰好是自然數(shù)b 的平方。求 a 的最小值以及自然數(shù) b。5求 10500 的約數(shù)共有多少個(gè)？本系列共 15 講第三講最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).文檔貢獻(xiàn)者：與 你的 緣一基本概念和知識(shí)1公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)， 叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一 個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。2公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)， 叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一 個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。3互質(zhì)數(shù)如果兩個(gè)數(shù)的最

24、大公約數(shù)是 1，那么這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。二例題例 1：用一個(gè)數(shù)去除 30、60、75，都能整除，這個(gè)數(shù)最大是多少？分析 要求的數(shù)去除 30、60、75 都能整除， 要求的數(shù)是 30、60、75 的公約數(shù)。又 要求符合條件的最大的數(shù)， 就是求 30、60、75 的最大公約數(shù)。解：（30，60，75）=15所以，這個(gè)數(shù)最大是15。例 2：一個(gè)數(shù)用 3、4、5 除都能整除，這個(gè)數(shù)最小是多少？分析 由題意可知，要求求的數(shù)是 3、4、5 的公倍數(shù)，且是最小公倍數(shù)。解： 3 ，4，5=60 ， 用 3、4、5 除都能整除的最小的數(shù)是60。例 3：有三根鐵絲，長(zhǎng)度分別是120 厘米、 180 厘米和 300

25、 厘米?，F(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長(zhǎng)多少厘米？一共可以截成多少段？分析 要截成相等的小段，且無剩八，每段長(zhǎng)度必是 120、180、300 的公約數(shù)；又每段要盡可能長(zhǎng)，要求的每段長(zhǎng)度就是 120、180、300 的最大公約 數(shù)。解：（120，180，300） =60，每小段最長(zhǎng) 60 厘米。120÷60 180÷60300÷60=235=10（段）答：每段最長(zhǎng) 60 厘米，一共可以截成10 段。例 4：加工某種機(jī)器零件，要經(jīng)過三道工序。第一道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成 3 個(gè)零件，第二道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成10個(gè)，第三道工序每個(gè)工人每小

26、時(shí)可完成5 個(gè)。要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個(gè)工人？分析 要使加工生產(chǎn)均衡，各道工序生產(chǎn)的零件總數(shù)應(yīng)是3、10和 5 的公倍數(shù)。要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、 10和 5 的最小公倍數(shù)。解： 3 ，10，5=30各道工序均應(yīng)加工30 個(gè)零件。30÷3=10（人）30÷10=3（人）30÷5=6（人）答：第一道工序至少要分配10 人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6 人。例 5：一次會(huì)餐供有三種飲料。餐后統(tǒng)計(jì)，三種飲料共用了65瓶：平均每 2 個(gè)人飲用一瓶 A 飲料，每 3 個(gè)人飲用一瓶 B 飲料，每4 個(gè)人飲用一瓶 C 飲料。

27、問參加會(huì)餐的人數(shù)是多少人？分析由題意可知，參加會(huì)餐人數(shù)應(yīng)是2、3、 4 的公倍數(shù)。解：2 ， 3，4=12參加會(huì)餐人數(shù)應(yīng)是12 的倍數(shù)。又12÷212÷312÷4=13（瓶）可見 12 個(gè)人要用 6 瓶 A 飲料，4 瓶 B 飲料，3 瓶 C飲料，共用 13 瓶飲料。又65÷13=5參加會(huì)餐的總?cè)藬?shù)應(yīng)是12 的 5 倍。12×5=60（人）答：參加會(huì)餐的總?cè)藬?shù)是 60 人。例 6：一張長(zhǎng)方形紙，長(zhǎng) 2703 厘米，寬 1113 厘。要把它截成若干個(gè)同樣大小的正方形， 紙張不能有剩余且正方形的邊長(zhǎng)要盡可能大。問：這樣的正方形的邊長(zhǎng)是多少厘米？分析

28、由題意可知，正方形的邊長(zhǎng)即是2703 和 1113 的最大公約數(shù)。在學(xué)校，我們已經(jīng)學(xué)過用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，但有時(shí)會(huì)遇到類似此題情況， 兩個(gè)數(shù)除了 1 以外的公約數(shù)一下子不好找到，但又不能輕易斷定它們是互質(zhì)數(shù)。怎么辦？在此，我們以例6 為例介紹另一種求最大公約數(shù)的方法。對(duì)于例 6，可做如下圖解：從圖中可知：在長(zhǎng) 2703 厘米、寬 1113 厘米的長(zhǎng)方形紙的一 端，依次裁去以寬（ 1113 厘米）為邊長(zhǎng)的正方形 2 個(gè)，在裁后剩下的長(zhǎng)1113厘米、寬477 厘米的長(zhǎng)方形中，再裁去以寬（477 厘米）為邊長(zhǎng)的正方形2 個(gè)，然后又在裁剩下的長(zhǎng)方形（長(zhǎng)477 厘米，寬159厘米）中，以 15

29、9 厘米為邊長(zhǎng)裁正方形， 恰好裁成 3 個(gè)，且無剩余 。因此可知， 159 厘米是 477 厘米、 1113 厘米和 2703 厘米的約數(shù)，所以裁成同樣大的，且邊長(zhǎng)盡可能長(zhǎng)的正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是159 厘米 。所以， 159 厘米是 2703 和 1113 的最大公約數(shù)。讓我們把圖解過程轉(zhuǎn)化為計(jì)算過程，即：2703÷1113，商 2 余 477；1113÷477，商 2 余 159；477÷159，商 3 余 0。或者寫為：2703=2×1113477，1113=2× 477159，477=3×159。當(dāng)除數(shù)為 0 時(shí)，最后一個(gè)算式中的除

30、數(shù)159 就是原來兩個(gè)數(shù)2703 和 1113 的最大公約數(shù)。可見， 477=159×3，1113=159×3×2159=159×7，2703=159×7×2477=159×7×2159× 3=159×17。又因?yàn)?7 和 17 是互質(zhì)數(shù)，所以 159 是 2703 和 1113 的最大公約數(shù)。我們把這種求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法。 輾轉(zhuǎn)相除法的優(yōu)點(diǎn)在于它能在較短的時(shí)間內(nèi)求出任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。例 7：用輾轉(zhuǎn)相除法求 4811 和 1981 的最大公約數(shù)。解：因?yàn)?4811=2

31、5;1981849，1981=2×849283，849=3×283。所以，（4811，1981）=283。 補(bǔ)充說明：如果要求三個(gè)或更多的數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求出其中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)， 再求這個(gè)公約數(shù)與另外一個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié)果。也可以直接觀察，依次試公有的質(zhì)因數(shù)。例 8：求 1008、1260、882 和 1134 四個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是多少？解：因?yàn)椋?1260，1008）=252，（882，1134）=126，又（252，126）=126，所以，（1008，1260，882，1134）=126。 求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，除了用短除法外，是

32、否也有其他方法呢？請(qǐng)看例 9。例 9：兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是 4，最小公倍數(shù)是 252，其中一個(gè)數(shù)是 28，另一個(gè)數(shù)是多少？解：設(shè)要求的數(shù)為 x，則有：所以， x=4×y28=4×7所以， 28x=4× y×4×7又因?yàn)?4 是 x 和 28 的最大公約數(shù)，（y，7）=1，所以 4×y×7 是 x 和 28 的最小公倍數(shù)。 所以， x×28=4×252所以， x=4×252÷28=36所以，要求的數(shù)是36。通過例 9 的解答過程，不難發(fā)現(xiàn)：如果用a 和 b 表示兩個(gè)自然數(shù)，那么這兩個(gè)自然

33、數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：(a ，b) ×a ，b=a × b. 這樣，求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的問題，即可轉(zhuǎn)化成先求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，再用最大公約數(shù)除兩個(gè)數(shù)的積，其結(jié)果就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。例 10：求 21672 和 11352 的最小公倍數(shù)。解：因?yàn)椋?21672，11352）=1032（1032 可用輾轉(zhuǎn)相除法求得）所以， 21672 ，11352=21672×11352÷1032=238392。答： 21672 和 11352 的最小公倍數(shù)是238392。習(xí)題三1甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是54，甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多

34、少？2一塊長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)120 米，寬 60 米，要在它的四周和四角種樹，每?jī)煽脴渲g的距離相等，最少要種樹苗多少棵？每相鄰兩棵之間的距離是多少米？3已知兩個(gè)自然數(shù)的積是5766，它們的最大公約數(shù)是31，求這兩個(gè)自然數(shù)。4兄弟三人在 外面 工作，大 哥6 天回 家一次 ，二 哥8 天回 家一次 ，小 弟12 天回家一次。兄弟三人同時(shí)在十月一日回家，下 一次三人再 見面要 再過多 少天？5將長(zhǎng) 25 分米，寬 20 分米，高 15 分米的長(zhǎng)方體木塊鋸成完全 一樣的盡可能大的立方體，不能有剩余，每個(gè)立方體的體積是多少？一共可鋸多少塊？6一箱地雷，每個(gè)地雷的重量相同，且都是超過 1 的整千克數(shù) ，去

35、掉箱子后地雷凈重201 千克，拿出若干個(gè)地雷后，凈重 183千克。求一個(gè)地雷的重量。本系列共 15 講帶余數(shù)的除法第四講.文檔貢獻(xiàn)者： 與 你的 緣前面我們講到除法中被除數(shù)和除數(shù)的整除問題。除此之外，例如： 16÷3=5 1，即16=5×31，此時(shí)，被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù)，我們稱之為帶余數(shù)的除法。一般地，如果a 是整數(shù)， b 是整數(shù)（ b0），那么一定有另外兩個(gè)整數(shù) q 和 r ，0r b，使得 a=b×qr.當(dāng) r=0 時(shí)，我們稱 a 能被 b 整除。當(dāng) r 0 時(shí)，我們稱 a 不能被 b 整除， r 為 a 除以 b 的余數(shù)， q 為 a 除以 b 的不完全

36、商（亦簡(jiǎn)稱為商） 。 用帶余除式又可以表示為a÷b=qr ，0r b.一例題例 1：一個(gè)兩位數(shù)去除 251，得到的余數(shù)是 41，求這個(gè)兩位 數(shù)。分析 這是一道帶余數(shù)的除法題，且要求的數(shù)是大于41 的兩位數(shù)，解題可從帶余除式入手分析。解：被除數(shù)÷除數(shù) =商余數(shù)，即 被除數(shù) =除數(shù)×商余數(shù)， 251=除數(shù)×商 41，25141=除數(shù)×商， 210=除數(shù)×商。 210=2×3×5×7， 210 的兩位數(shù)的約數(shù)有 10、14、15、21、30、35、42、70，其中 42 和 70 大于 41。所以除數(shù)是 42

37、或 70，即要求的兩位數(shù)是 42 或 70。例 2：用一個(gè)自然去除另一個(gè)整數(shù)，商 40，余數(shù)是 16。被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是 933，求被除數(shù)和除數(shù)各是多少。解：被除數(shù) =除數(shù)×商余數(shù)，即被除數(shù) =除數(shù)× 40 16。由題意可知：被除數(shù)除數(shù)=93340 16=877，（除數(shù)× 4016）除數(shù) =877，除數(shù)× 41=87716=861，除數(shù) =861÷41=21。被除數(shù) =21×4016=856。答：被除數(shù)是 856，除數(shù)是 21。例 3：某年的十月里有 5 個(gè)星期六， 4 個(gè)星期日，問這年的 10 月 1 日是星期幾？解：十月

38、份共有31 天，每周共有 7 天。 31=7×4 3， 根據(jù)題意可知：有 5 天的星期數(shù)必然是星期四、星期五和星期六。 這年的 10 月 1 日是星期四。例 4：3 月 18 日是星期日，從 3 月 17 日作為第一天開始往回?cái)?shù)（即 3 月 16 日第二天， 3 月 15 日第三天） 的第 1993 天是星期幾？解：每周有 7 天， 1993÷7=284（周） 5（天） 從星期日往回?cái)?shù) 5 天是星期二，所以第 1993 天必是星期二。 例 5：一個(gè)數(shù)除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求適合此條件的最小數(shù)。 這是一道古算題，它早在孫子算經(jīng)中有記載：“今有物

39、不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二， 五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何”關(guān)于這道題的解法，在明朝就流傳一首解題之歌：“三人同行七十稀，五樹梅共廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知?！币馑际?，用除以 3 的余數(shù)乘以 70，用除以 5 的余數(shù)乘以 21，用除以 7 的余數(shù)乘以 15，再把三個(gè)乘積相加。如果這三個(gè)數(shù)的和大于105，那么就減去 105，直至小于 105 為止。這樣就可以得到滿足條件的解。其解法如下：方法一： 2×703× 212× 15=233233105×2=23 符合條件的最小自然數(shù)是23。例 5 的解答方法不僅就這一種，還可以這樣解：方法二： 3

40、 ，7 2=2323 除以 5 恰好余 3。 所以，符合條件的最小自然數(shù)是 23。方法 2 的思路是什么呢？讓我們?cè)賮砜聪旅鎯傻览}。例 6：一個(gè)數(shù)除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求適合條件的最小自然數(shù)。分析 “除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除 ”，同樣“除以 6 余 4”即“加 2 后被 6 整除”。解： 5 ，6 2=28，即 28 適合前兩個(gè)條件。想： 285 ， 6 ×？之后能滿足“被7 除余 1”的條件？285 ，6 ×4=148，148=21×71，又 148210=5 ，6，7 所以，適合條件的最小自然數(shù)是 148。

41、例 7：一個(gè)數(shù)除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求符合條件的最小自然數(shù)。解：想23×？之后能滿足“被5 除余 3”的條件？23×2=8。再想： 83 ， 5 ×？之后能滿足“被7 除余 4”的條件？83 ，5 ×3=53。 所以，符合條件的最小的自然數(shù)是53。 歸納以上兩例題的解法為：逐步滿足條件法。當(dāng)找到滿足某個(gè)條件的數(shù)后，為了再滿足另一個(gè)條件，需做數(shù)的調(diào)整，調(diào)整時(shí)注意要加上已滿足條件中除數(shù)的倍數(shù)。解這類題目還有其他方法，將會(huì)在有關(guān)“同余”部分講到。例 8：一個(gè)布袋中裝有小球若干個(gè)。如果每次取3 個(gè)，最后剩1 個(gè)；如果每次取 5 個(gè)

42、或 7 個(gè)，最后都剩 2 個(gè)。布袋中至少有小球多少個(gè)？解： 25 ，7 ×1=37（個(gè)） 37除以 3余 1，除以 5余 2，除以 7余 2， 布袋中至少有小球 37 個(gè)。例 9：69、90 和 125 被某個(gè)自然數(shù) N 除時(shí)，余數(shù)相同，試求N的最大值。分析在解答此題之前，我們先來看下面的例子：15除以 2余 1，19除以 2余 1，即 15 和 19 被 2 除余數(shù)相同（余數(shù)都是 1）。但是， 1915 能被 2 整除。 由此我們可以得到這樣的結(jié)論：如果兩個(gè)整數(shù) a 和 b，被自然數(shù) m除的余數(shù)相同， 那么這兩個(gè)數(shù)之差 （大?。┮欢鼙?m整除。反之，如果兩個(gè)整數(shù)之差恰被 m整除，

43、那么這兩個(gè)整數(shù)被 m除的余數(shù)一定相同。例 9 可做如下解答：三個(gè)整數(shù)被 N 除余數(shù)相同， N（9069），即 N21；N（12590），即 N35； N 是 21 和 35 的公約數(shù)。要求 N 的最大值，N 是 21 和 35 的最大公約數(shù)。 21 和 35 的最大公約數(shù)是 7， N最大是 7。習(xí)題四1用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù)，不完全商是8，余數(shù)是 16。被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)這四個(gè)數(shù)的和為463，求除數(shù)。2某數(shù)除以 3 余 1，除以 4 余 2，除以 5 余 3，除以 6 余 4，這個(gè)數(shù)最小是多少？3某數(shù)除以 8 余 3，除以 9 余 4，除以 12 余 7。在 1000 以內(nèi)這樣的數(shù)有

44、哪幾個(gè)？4用卡車運(yùn)貨，每次運(yùn)9 袋余 1 袋，每次運(yùn) 8 袋余 3 袋，每次運(yùn) 7 袋余 2 袋。這批貨至少有多少袋？557、96、148 被某自然數(shù)除，余數(shù)相同，且不為0。求 284 被這個(gè)自然數(shù)除的余數(shù)。本系列共 15 講第五講奇數(shù)與偶數(shù)及奇偶性的應(yīng)用.文檔貢獻(xiàn)者：與 你的 緣一基本概念和知識(shí)1奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類。能被2 整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被 2 整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通常可以用2k（k 為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1(k為整數(shù) ) 表示。特別注意，因?yàn)? 能被 2 整除，所以 0 是偶數(shù)。2奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì) 1：偶數(shù)±偶數(shù) =偶數(shù)奇數(shù)

45、7;奇數(shù) =偶數(shù)性質(zhì) 2：偶數(shù)±奇數(shù) =奇數(shù)性質(zhì) 3：偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得偶數(shù)性質(zhì) 4：奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得奇數(shù)性質(zhì) 5：偶數(shù)×奇數(shù) =偶數(shù)奇數(shù)×奇數(shù) =奇數(shù)二例題利用奇數(shù)與偶數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以巧妙地解決許多實(shí)際問題。例 1：123 1993 的和是奇數(shù)？還是偶數(shù)？分析 此題可以利用高斯求和公式直接求出和， 再判別和是奇數(shù)還是偶數(shù)。但是如果從加數(shù)的奇、偶個(gè)數(shù)考慮，利用奇偶數(shù)的性質(zhì)，同樣可以判別和的奇偶性。此題可以有兩種解法。解法 1：123 1993= (1+ 1993) ×1993 = 997 1993× ，2又997 和 1993 是奇數(shù)，奇數(shù)

46、×奇數(shù) =奇數(shù)， 原式的和是奇數(shù)。解法 2： 1993÷2=9961 1 1993 的自然數(shù)中，有 996 個(gè)偶數(shù)，有 997 個(gè)奇數(shù)。又奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)， 997 個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)。因?yàn)椋紨?shù)奇數(shù) =奇數(shù)， 所以，原式之和一定是奇數(shù)。例 2：一個(gè)數(shù)分別與另外兩個(gè)相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個(gè)積相差 150，這個(gè)數(shù)是多少？解法 1：相鄰兩個(gè)奇數(shù)相差2， 150 是這個(gè)要求的數(shù)的 2 倍。 這個(gè)數(shù)是 150÷2=75。解法 2：設(shè)這個(gè)數(shù)為 x，設(shè)相鄰的兩個(gè)奇數(shù)為2a1，2a1，(a 1). 則有 (2a 1)x (2a 1)x=150,2axx2axx=150,2x=

47、150,x=75.這個(gè)要求的數(shù)是75。例 3：元旦前夕，同學(xué)們互送賀年卡。每人只要接到對(duì)方賀年卡就一定回贈(zèng)賀年卡， 那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？分析 此題初看似乎缺總?cè)藬?shù)， 但解決問題的實(shí)質(zhì)在送賀年卡的張數(shù)的奇偶性上，因此與總?cè)藬?shù)無關(guān)。解：由于是兩人互送賀年卡， 給每人分別標(biāo)記送出賀年卡一 次，那么賀年卡的總張數(shù)應(yīng)能被 2 整除，所以賀年卡的總張數(shù)應(yīng)是偶 數(shù)。送賀年卡的人可以分為兩種： 一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們送出賀年卡的總和為偶數(shù)；另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù)=所有人送出的賀年卡總數(shù)所有送出了偶數(shù)張賀年卡的人送出的賀年卡總數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)

48、=偶數(shù)。他們的總?cè)藬?shù)必須是偶數(shù)，才能使他們送出的賀年卡總數(shù)為偶數(shù)。所以，送出奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)一定是偶數(shù)。例 4：已知 a、b、c 中有一個(gè)是 5，一個(gè)是 6，一個(gè)是 7。求證：a1，b 2，c3 的乘積一定是偶數(shù)。證明：a、b、c 中有兩個(gè)奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)， a、c 中至少有一個(gè)奇數(shù)， a1，c3 中至少有一個(gè)是偶數(shù)。又 偶數(shù)×整數(shù) =偶數(shù)， (a 1) ×(b 2) ×(c 3) 是偶數(shù)。例 5：任意改變某一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字的順序得到一個(gè)新 數(shù)，試證新數(shù)與原數(shù)之和不能等于 999。證明：設(shè)原數(shù)為abc，設(shè)改變其各位數(shù)字順序后得到的新數(shù)為'''。a b c假設(shè)原數(shù)與新數(shù)之和為999，即 abc a ' b' c' =999，則有 aa=bb=cc =9.是 a、b、c 調(diào)換順序得到的，又因?yàn)?a 、 b 、 c所以 abc= a b c.)=9 99,即因此，又有（ aa ） (b b) (c c2(a bc)=3 ×9.可見：等式左邊是偶數(shù)，等式的右邊（3× 9=27）是奇數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)。因此，等式不成立。所以，此假設(shè)“原數(shù)與新數(shù)之和為999”是錯(cuò)誤的，命題得證。例 6：用代表整數(shù)的字母 a、b、c、d 寫成等式組： a× b×