多元統(tǒng)計分析--小公牛特征因子分析

1、對小公牛特征數(shù)據(jù)的因子分析1、 提出問題 表中列出了拍賣的76頭小公牛（小于2歲的公牛）的特征數(shù)據(jù)。SalePr=售價（美元）Breed=品種：1-Angus，5-Hereford，8-SimentalYrHgt=小牛肩膀高度（英寸）FtFrBody=無脂肪身體部分（磅）PrctFFB=無脂肪身體所占百分比Frame=體型（1-8）BkFat=脊背脂肪（磅）SaleHt=賣出時的肩膀高度（英寸）SaleWt=賣出時的重量（磅）分別用樣本協(xié)方差矩陣S和相關(guān)矩陣R對數(shù)據(jù)做因子分析并解釋這些因子。二、理論分析 因子分析的思想是將大量的彼此可能存在相關(guān)關(guān)系的變量，轉(zhuǎn)化成較少的彼此不相關(guān)的綜合指標(biāo)的多元

2、統(tǒng)計方法。 優(yōu)點在于可以減輕收集信息的工作量，且各綜合指標(biāo)代表的信息不重疊。三、實驗步驟1、運行SPSS程序，并打開數(shù)據(jù)。2、點擊分析降維因子分析3、選中所有變量，將其加入變量框。4、點擊描述，選擇原始分析結(jié)果、系數(shù)、KMO和Bartlett的球形度檢驗；點擊抽取，選擇相關(guān)性矩陣、未旋轉(zhuǎn)的因子解、碎石圖；點擊旋轉(zhuǎn)，選擇最大方差法、旋轉(zhuǎn)解、載荷圖；點擊得分，選擇保存為變量回歸、顯示因子得分系數(shù)矩陣；點擊選項，選擇使用均值替換。5、輸出結(jié)果并保存。6、重復(fù)上述操作，但將第4步中選擇相關(guān)性矩陣改為協(xié)方差矩陣，得出另一結(jié)果并保存。四、結(jié)果分析.利用相關(guān)性矩陣對數(shù)據(jù)分析（1）SPSS輸出的第一部分如下：

3、 Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationAnalysis N售價1742.43623.00476品種4.383.11176小牛肩膀高度50.5221.731576無脂肪身體部分995.9592.70676無脂肪身體所占百分比70.8823.269876體型6.32.92776脊背脂肪.1967.0895776賣出時的肩膀高度54.1262.004576賣出時的重量1555.29129.81076 第一個表格中列出了9個原始變量的統(tǒng)計結(jié)果，包括平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和分析的個案數(shù)。（2）SPSS輸出結(jié)果文件中的第二部分如下：該表格給出的是9個原始變量的

4、相關(guān)矩陣相關(guān)矩陣售價品種小牛肩膀高度無脂肪身體部分無脂肪身體所占百分比體型脊背脂肪賣出時的肩膀高度賣出時的重量相關(guān)售價1.000-.224.423.102-.113.479.277.390.317品種-.2241.000.525.409.472.434-.615.487.116小牛肩膀高度.423.5251.000.624.523.940-.344.860.368無脂肪身體部分.102.409.6241.000.691.605-.168.699.555無脂肪身體所占百分比-.113.472.523.6911.000.482-.488.521.198體型.479.434.940.605.4821

5、.000-.260.801.368脊背脂肪.277-.615-.344-.168-.488-.2601.000-.282.208賣出時的肩膀高度.390.487.860.699.521.801-.2821.000.566賣出時的重量.317.116.368.555.198.368.208.5661.000（3）SPSS輸出結(jié)果的第四部分如下：KMO 和 Bartlett 的檢驗取樣足夠度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。.783Bartlett 的球形度檢驗近似卡方550.198df36Sig.000 該部分給出了KMO檢驗和Bartlett球度檢驗結(jié)果。其中KMO值為0.783

6、，接近1，說明適合做因子分析。 Bartlett球度檢驗給出的相伴概率為0.00，小于顯著性水平0.05，因此拒絕Bartlett球度檢驗的零假設(shè)，說明變量之間存在相關(guān)關(guān)系，認為適合于因子分析。（4）SPSS輸出結(jié)果文件中的第六部分如下：公因子方差初始提取售價1.000.692品種1.000.703小牛肩膀高度1.000.862無脂肪身體部分1.000.658無脂肪身體所占百分比1.000.647體型1.000.818脊背脂肪1.000.737賣出時的肩膀高度1.000.872賣出時的重量1.000.524 共同度較高，表明變量中大部分信息能被因子所提?。徽f明因子分析的結(jié)果有效。 同

7、時，該表是因子分析初始結(jié)果，表格的第一列列出了9個原始變量名；第二列是根據(jù)因子分析初始解計算出的變量共同度。利用主成分分析方法得到9個特征值，它們是因子分析的初始解，可利用這9個初始值和對應(yīng)的特征向量計算出因子載荷矩陣。由于每個原始變量的所有方差都能被因子變量解釋掉，因此每個變量的共同度為1；第三列即紅底字是根據(jù)因子分析最終解計算出的變量共同度。根據(jù)最終提取的m個特征值和對應(yīng)的特征向量計算出因子載荷矩陣。 這時由于因子變量個數(shù)少于原始變量的個數(shù)，因此每個變量的共同度必然小于1。（5）輸出結(jié)果第六部分為Total Variance Explained表格解釋的總方差

8、成份初始特征值提取平方和載入旋轉(zhuǎn)平方和載入合計方差的 %累積 %合計方差的 %累積 %合計方差的 %累積 %14.56250.68950.6894.56250.68950.6893.83242.57642.57621.95221.68472.3731.95221.68472.3732.68229.79772.3733.98510.94583.3184.5726.35489.6735.3463.84293.5156.2172.41395.9287.1751.94397.8718.1461.62299.4939.046.507100.000 該表格是因子分析后因子提取和因子旋轉(zhuǎn)的結(jié)果。其中，第一列

9、到第四列描述了因子分析初始解對原有變量總體描述情況。第一列是因子分析9個初始解序號。第二列是因子變量的方差貢獻（特征值），它是衡量因子重要程度的指標(biāo)，例如第一行的特征值為4.562，后面描述因子的方差依次減少。第三列是各因子變量的方差貢獻率，表示該因子描述的方差占原有變量總方差的比例。第四列是因子變量的累計方差貢獻率，表示前m個因子描述的總方差占原有變量的總方差的比例。 這里我們可以看到只有前兩個因子特征值>1；且累積占72.373。因此：我們提取前兩個因子作為主因子。（6）SPSS輸出了一張圖 圖中：前兩個因子都處于非常陡峭的斜率上，斜率大說明去掉這兩個變量損失的信息大，第三個因子變緩

10、，因此選擇前兩個因子作主因子。（7）SPSS輸出的該部分的結(jié)果如下：即因子載荷矩陣成份矩陣a成份12小牛肩膀高度.923.101賣出時的肩膀高度.919.167體型.885.187無脂肪身體部分.810.030無脂肪身體所占百分比.706-.386品種.625-.559賣出時的重量.522.502售價.305.774脊背脂肪-.416.751a. 已提取了 2 個成份。 該表格是最終的因子載荷矩陣A，對應(yīng)前面的因子分析的數(shù)學(xué)模型部分。根據(jù)該表格可以得到如下因子模型： X=AF+ 即旋轉(zhuǎn)前的因子載荷陣x1=0.305f1+0.774f2 f1,f2是因子，同理得X2值-X9值

11、（8） SPSS輸出的該部分的結(jié)果如下： 即為旋轉(zhuǎn)后因子載荷矩陣。旋轉(zhuǎn)成份矩陣a成份12賣出時的肩膀高度.868.344體型.850.309小牛肩膀高度.837.402賣出時的重量.708-.150無脂肪身體部分.704.403售價.668-.496脊背脂肪.045-.858品種.235.805無脂肪身體所占百分比.395.701提取方法 :主成份。 旋轉(zhuǎn)法 :具有 Kaiser 標(biāo)準(zhǔn)化的正交旋轉(zhuǎn)法。a. 旋轉(zhuǎn)在 3 次迭代后收斂。 該表格是按照前面設(shè)定的方差極大法對因子載荷矩陣旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果。未經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的載荷矩陣中，因子變量在許多變量上都有較高的載荷。 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)之后，第一個

12、因子含義略加清楚。(9）SPSS輸出的該部分的結(jié)果如下： 該部分輸出的是因子轉(zhuǎn)換矩陣，表明了因子提取的方法是主成分分析，旋轉(zhuǎn)的方法是方法極大法。成份轉(zhuǎn)換矩陣成份121.849.5292.529-.849（10）SPSS輸出的該部分的結(jié)果如下： 該部分是載荷散點圖，這里為2個因子的因子載荷散點圖，以2個因子為坐標(biāo)，給出各原始變量在該坐標(biāo)中的載荷散點圖，該圖是旋轉(zhuǎn)后因子載荷矩陣的圖形化表示方式。如果因子載荷比較復(fù)雜，則通過該圖則較容易解釋。（11）SPSS輸出的該部分的結(jié)果如下： 即因子得分系數(shù)矩陣成份得分系數(shù)矩陣成份12售價.266-.301品種-.035.316小牛肩膀高度

13、.199.063無脂肪身體部分.159.081無脂肪身體所占百分比.027.250體型.215.021脊背脂肪.126-.375賣出時的肩膀高度.216.034賣出時的重量.233-.158 該表格是因子得分矩陣。這是根據(jù)回歸算法計算出來的因子得分函數(shù)的系數(shù)，根據(jù)這個表格可以看出下面的因子得分函數(shù)。F1=0.266x1-0.035x2-0.199x3+0.159x4+0.027x5+0.215x6+0.126x7+0.216x8+0.233X9，同理得F2=-0.301x1+0.316x2+0.063x3+0.081x4+0.250x5+0.021x6-0.375x7+0.034x8-0.15

14、8x9.（12）見SPSS的輸出文件：SPSS根據(jù)這9個因子的得分函數(shù)，自動計算樣本的2個因子得分，并且將2個因子得分作為新變量，保存在SPSS數(shù)據(jù)編輯窗口中。 .利用協(xié)方差矩陣對數(shù)據(jù)分析同相關(guān)性矩陣分析法步驟基本相同，得出以下表（1)得到表格，其給出的是9個原始變量的相關(guān)矩陣相關(guān)矩陣售價品種小牛肩膀高度無脂肪身體部分無脂肪身體所占百分比體型脊背脂肪賣出時的肩膀高度賣出時的重量相關(guān)售價1.000-.224.423.102-.113.479.277.390.317品種-.2241.000.525.409.472.434-.615.487.116小牛肩膀高度.423.5251.000.624.52

15、3.940-.344.860.368無脂肪身體部分.102.409.6241.000.691.605-.168.699.555無脂肪身體所占百分比-.113.472.523.6911.000.482-.488.521.198體型.479.434.940.605.4821.000-.260.801.368脊背脂肪.277-.615-.344-.168-.488-.2601.000-.282.208賣出時的肩膀高度.390.487.860.699.521.801-.2821.000.566賣出時的重量.317.116.368.555.198.368.208.5661.000（2）SPSS輸出結(jié)果的

16、如下：KMO 和 Bartlett 的檢驗a取樣足夠度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。.783Bartlett 的球形度檢驗近似卡方550.198df36Sig.000a. 基于相關(guān) 該部分給出了KMO檢驗和Bartlett球度檢驗結(jié)果。其中KMO值為0.783，接近1，說明適合做因子分析。 Bartlett球度檢驗給出的相伴概率為0.00，小于顯著性水平0.05，因此拒絕Bartlett球度檢驗的零假設(shè)，說明變量之間存在相關(guān)關(guān)系，認為適合于因子分析。（3）SPSS輸出結(jié)果如下：公因子方差原始重新標(biāo)度初始提取初始提取售價388133.662388045.4851.00

17、01.000品種9.679.4711.000.049小牛肩膀高度2.998.5491.000.183無脂肪身體部分8594.344107.6201.000.013無脂肪身體所占百分比10.692.1241.000.012體型.859.2011.000.233脊背脂肪.008.0011.000.077賣出時的肩膀高度4.018.6361.000.158賣出時的重量16850.6621848.8881.000.110（4）輸出結(jié)果如下：解釋的總方差成份初始特征值a提取平方和載入合計方差的 %累積 %合計方差的 %累積 %原始1390003.97394.29394.293390003.97394.2

18、9394.293218869.1034.56298.85534718.2231.14199.99649.346.00299.99854.310.001100.00061.443.000100.0007.450.000100.0008.0691.673E-005100.0009.0038.144E-007100.000重新標(biāo)度1390003.97394.29394.2931.83420.38120.381218869.1034.56298.85534718.2231.14199.99649.346.00299.99854.310.001100.00061.443.000100.0007.450.

19、000100.0008.0691.673E-005100.0009.0038.144E-007100.000a. 分析協(xié)方差矩陣時，初始特征值在整個原始解和重標(biāo)刻度解中均相同。 由表看出，第一個特征值的方差貢獻率大于85%，因此選取第一個因子來分析。（5）碎石圖 圖中：第一個因子處于非常陡峭的斜率上，斜率大說明去掉這一個變量損失的信息大，第二個因子變緩，因此選擇第一個因子作主因子。（6）得到下表：即因子載荷矩陣成份矩陣a原始重新標(biāo)度成份成份11售價622.9331.000體型.448.483小牛肩膀高度.741.428賣出時的肩膀高度.798.398賣出時的重量42.999.331脊背脂肪.0

20、25.278品種-.686-.221無脂肪身體部分10.374.112無脂肪身體所占百分比-.352-.108 該表格是最終的因子載荷矩陣A，對應(yīng)前面的因子分析的數(shù)學(xué)模型部分。根據(jù)該表格可以得到如下因子模型： X=AF+ 即旋轉(zhuǎn)前的因子載荷陣x1=622.933f1+f2 f1,f2是因子，同理得X2值-X9值（7）、得到下表即因子得分系數(shù)矩陣成份得分系數(shù)矩陣a成份1售價.995品種.000小牛肩膀高度.000無脂肪身體部分.002無脂肪身體所占百分比.000體型.000脊背脂肪.000賣出時的肩膀高度.000賣出時的重量.014a. 系數(shù)已被標(biāo)準(zhǔn)化。 該表格是因子得分矩陣

21、。這是根據(jù)回歸算法計算出來的因子得分函數(shù)的系數(shù)，根據(jù)這個表格可以看出下面的因子得分函數(shù)。F1=0.995x1+0.002x4+0.014X9.綜合得分1.綜合得分排序。序號綜合得分512.514521.08124361.444530.4333591.5146026501.637850.70427551.310780.3932341.0975095531.59060.6839581.12330.336991.020948582.081320.89496760.17910.053730.9486976621.036480.44568641.348840.4046520.8503384630.908

22、50.3906551.443380.4330140.823669570.880220.37849461.282410.3847230.7632176541.004370.43187910.976480.2929440.7248231550.89820.3862260.924230.2772690.663495590.853230.36688890.958280.2874840.6543729690.598790.25747971.257690.3773070.6347867520.500040.21501721.182160.3546480.5696652610.969650.41694950

23、.484930.1454790.5624285660.612760.26348680.865760.2597280.5232148640.12470.0536211.558470.4675410.521162650.597790.25704970.875570.2626710.5197207670.198520.08536361.324050.3972150.4825786700.523970.22530710.795950.2387850.4640921560.610140.26236020.650480.1951440.4575042600.53780.2312540.704070.211

24、2210.44247572-0.0863-0.0371091.295470.3886410.35153242.459811.0577183-2.39848-0.7195440.338174368-0.21457-0.09226511.404010.4212030.328937921.011820.4350826-0.55911-0.1677330.2673496760.005210.00224030.847980.2543940.256634382.05330.882919-2.111-0.63330.24961911.117840.4806712-0.82655-0.2479650.2327

25、06271-0.31008-0.13333440.930840.2792520.145917675-0.42009-0.18063870.993910.2981730.1175343330.377480.1623164-0.45114-0.1353420.0269744100.303740.1306082-0.35408-0.1062240.024384273-0.5975-0.2569250.886510.2659530.00902870.347050.1492315-0.47012-0.1410360.008195550.479550.2062065-0.80073-0.240219-0.

26、0340125110.107920.0464056-0.30385-0.091155-0.044749437-0.28059-0.12065370.236620.070986-0.049667743-0.35562-0.15291660.287490.086247-0.066669674-0.91175-0.39205251.048970.314691-0.0773615230.788440.3390292-1.57345-0.472035-0.1330058120.134530.0578479-0.64786-0.194358-0.136510134-0.54642-0.23496060.2

27、86240.085872-0.149088636-0.87704-0.37712720.593630.178089-0.19903823-0.56271-0.24196530.106730.032019-0.2099463130.859150.3694345-1.93676-0.581028-0.2115935390.333260.1433018-1.2227-0.36681-0.2235082270.565640.2432252-1.66201-0.498603-0.255377840-0.62883-0.2703969-0.05846-0.017538-0.287934942-0.4486

28、3-0.1929109-0.35884-0.107652-0.300562922-0.1579-0.067897-0.81431-0.244293-0.3121935-0.52466-0.2256038-0.31556-0.094668-0.320271819-0.24047-0.1034021-0.76444-0.229332-0.332734125-0.55377-0.2381211-0.3498-0.10494-0.343061128-0.09878-0.0424754-1.0069-0.30207-0.34454546-0.88221-0.37935030.098610.029583-

29、0.349767346-0.84702-0.36421860.011210.003363-0.360855620-0.01346-0.0057878-1.21059-0.363177-0.368964817-0.121-0.05203-1.0724-0.32172-0.3737515-0.64054-0.2754322-0.33712-0.101136-0.3765682160.849870.3654441-2.51548-0.754644-0.389199914-0.08518-0.0366274-1.23387-0.370161-0.40678849-0.72069-0.3098967-0

30、.32349-0.097047-0.406943729-1.00782-0.4333626-0.0288-0.00864-0.442002621-0.70923-0.3049689-0.50745-0.152235-0.457203931-1.19097-0.51211710.04720.01416-0.497957124-1.30825-0.56254750.179270.053781-0.508766532-1.07685-0.4630455-0.28305-0.084915-0.547960538-1.30522-0.5612446-0.09891-0.029673-0.59091764

31、1-1.21778-0.5236454-0.43467-0.130401-0.654046418-1.20825-0.5195475-0.4743-0.14229-0.661837545-0.97661-0.4199423-0.85935-0.257805-0.677747330-1.61095-0.6927085-0.00544-0.001632-0.694340544-1.09737-0.4718691-0.8263-0.24789-0.719759126-0.49326-0.2121018-1.74949-0.524847-0.736948847-1.80277-0.77519110.0

32、33930.010179-0.765012148-2.07182-0.89088260.382960.114888-0.775994649-2.27108-0.97656440.584840.175452-0.80111242. 綜合得分前十序號售價品種小牛肩膀高度無脂肪身體部分無脂肪身體所占百分比體型脊背脂肪賣出時的肩膀高度賣出時的重量511450853.3138381.480.259.61904501750854125276.580.1556.91648532000853.5117574.580.157.41686583450854.8103970.680.158.71600621550852.3114377.770.156.11785631825853105576.880.156.71526571925852.7114178.570.1555.61572541450853.2102771.280.156.91696551800852.3111671.170.157.51620591650852.898174.170.156.917503. 售價前十序號售