2.3.1離散型隨機變量的數(shù)學期望(一)

1、第二章2.3隨機變量的數(shù)字特征第1課時離散型隨機變量的數(shù)學期望課前自主預習2 課堂典例探究3 課時作業(yè)課前自主預習新課情境引入某書店訂購一新版圖書，根據(jù)以往經(jīng)驗預測，這種新書的 銷售量為40,100,120本的概率分別為0.2,0.7,0.1,這種書每本的 進價為6元.銷售價為8元，如果售不出去，以后處理剩余書每 本為5元.為盈得最大利潤，書店應訂購多少本新書？知識鏈接回顧1. 求離散型隨機變量的分布列的步驟：找出隨機變量§的所有可能的取值可，對 求出取每一個值的概率Pg=X)=Pj(3)歹Q出表格.2. 離散型隨機變量分布列的性質：(1) 。三 0,=1,2,3, ，“；。I +/

2、?2 HPn =!教材自主預習一、離散型隨機變量的數(shù)學期望一般地，設一個離散型隨機變量X所有可能取的值是可， 勺，£，這些值對應的概率是戸，P2，,幾，則稱E（X） = X1j71+x2/?2+. +©/?“叫做這個離散型隨機變量X的均值或數(shù)學 期望（簡稱期望）.它反映了離散型隨機變量的平均取值水平.在理解離散型隨機變量的數(shù)學期望的概念時注意以下三 占八、（1）數(shù)學期望（均值）的含義：數(shù)學期望（均值）是離散型隨機 變量的一個特征數(shù)，反映了離散型隨機變量取值的平均水平.（2）數(shù)學期望（均值）的來源：數(shù)學期望（均值）不是通過一次 或幾次試驗就可以得到的，而是在大量的重復試驗中表

3、現(xiàn)出來 的相對穩(wěn)定的值.（3）數(shù)學期望（均值）與平均數(shù)的區(qū)別：數(shù)學期望（均值）是概 率意義下的平均值，不同于相應數(shù)值的算術平均數(shù).已知隨機變量X的分布列為:X-101p111236則E(X)等于()A. 0B. 1 C. | D.舟答案C解析由題意可知 E(X) = (l)x|+ox|+l x|= 二離散型隨機變量數(shù)學期望的性質若Y=aX+b,其中a, b是常數(shù)，X是隨機變量，則Y也是 隨機變量，且有E(aX-b)=aE(X)-b.當b = 0時，E(aX) = aE(X),此式表明常量與隨機變量乘積 的數(shù)學期望，等于這個常量與隨機變量的期望的乘積；當°=1時，E(X+b) = E(

4、X) + b,此式表明隨機變量與常量 和的期望，等于隨機變量的期望與這個常量的和；當a=0時，E(b)=b,此式表明常量的期望等于這個常量.上述公式證明如下：如果Y=aX+b,其中a, b為常數(shù)，那么Y也是隨機變量.因此 P(Y=axib)=P(X=xi)f /= 1,2,3,，n,所以丫的 分布列為Yax-bax2b axn-bpPPi Pn有 E(Y) = (axi + b)pj + (ax2 + b)p2 + +(Q/ + b)pzl = Q(Xipi+%2卩2+兀pJ + b(/?i+p2+pJ = aEQ0 + b, 即 E(aXb) =aE(X)+b.若X是一個隨機變量，則E(xE

5、(X)的值為()A.無法求B. 0C. E(X)D. 2E(X)答案B解析只要認識到E(X)是一個常數(shù)，則可直接運用均值 的性質求解.E(aX+b)=aE(X)+b,而 E(X)為常數(shù)， E(XE(Xy)=E(X) - E(X) = 0.三、二點分布、二項分布及超幾何分布的期望(1)若隨機變量X服從參數(shù)為P的二點分布，X10PP1 一P則 E(X) = lXp + OX(lp)=p這表明，在一次二點分布試驗中，離散型隨機變量X的數(shù)學期望取值為P(2)設離散型隨機變量X服從于參數(shù)為和p的二項分 布，由 X 的分布列 P(X= k)=Cnpkqnk=0,1,2,，n),可知X的數(shù)學期望為E(X)

6、= 0XC%°q"+lXChq"TH kX Cpkqnk H nX C；pS° = np(p + q)nx=np,所以在, p)時，E(X)=np若離散型隨機變量X服從參數(shù)為N, M, 的超幾 何分布，則E(X)=.朋學即練某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了 1 000粒，對 于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X, 則X的數(shù)學期望為（）A. 100B. 200C. 300D. 400答案B本題以實際問題為背景,考查服從二項分布的事件的數(shù)學期望等.記“不發(fā)芽的種子數(shù)為廠，則dB(lOOOOl),所以E©1 000X0.1

7、 = 100,而 X =26 故 E(X)=E(2) = 2E() = 200,故選B0微體驗01 若隨機變量X服從二項分布B4,斤，則E(X)的值為1 4【解析】E(X)=np=j=j2.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，不命中得0分.己知他命中的概率為0.8,則罰球一次得分X的期望是.【解析】因為P(X=l)=08, P(X=0)=02,所以E(X)=lX0.8+0X02=0.8.四、求離散型隨機變量數(shù)學期望的方法(1) 求離散型隨機變量數(shù)學期望的關鍵在于寫出它的分布 列，再代入公式E(X) =xipl +x2p2 +. +兀打.從離散型隨機變量數(shù)學期望的概念可以看出，要求期 望，必須

8、求出相應取值及概率，列出分布列，再代入公式計 算.這就要求全面分析各個隨機變量所包含的各種事件，并準 確判斷各事件的相互關系，再由此求出各離散型隨機變量相應 的概率.(2) 利用定義求離散型隨機變量X的數(shù)學期望的步驟：理解隨機變量X的意義，寫出X可能取的全部值；求X 取每個值的概率；寫出X的分布列；由數(shù)學期望的定義求 出 E(X).如果隨機變量服從二點分布、二項分布或超幾何分布， 可直接代入公式求數(shù)學期望.某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學.在這10名同 學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等 其他互不相同的七個學院，現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同 學，到希望小學進行

9、支教活動(每位同學被選到的可能性相 同).求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的 分布列和數(shù)學期望.解析設“選出的3名同學來自互不相同的學院”為事件4，則PQ4) =4960-49 所以，選出的3名同學是來自互不相同學院的概率為洛.(2)隨機變量X的所有可能值為0丄2,3P(X=k) =ck 廠3kS Jc!o伙=0、1、2、3).所以，隨機變量X的分布列是X0123P11316210301131隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=0Xg+lX，+2X+3X£65-課堂典例探究思路方法技巧命題方向卿1 幄換湄例題1在10件產(chǎn)品中，

10、有3件一等品、4件二等品、3件 三等品.從這10件產(chǎn)品中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中一等品 件數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.分析明確隨機變量X的取值，計算每個取值的概率，然 后列其分布列，最后計算E(X).解析從10件產(chǎn)品中任取3彳牛共有C%種結果從10件產(chǎn)品中任取3件,具中恰有k件一等品的結果數(shù)為C$C號M中 氐二0，1，2,3cQ k. .P(X = k) =戶,k 0,1,2,3.Jo所以隨機變量X的分布列為:X0123p72171244040120AEW = 0X24+1 X40 + 2X40 + 3X120=10-方法總結求離散型隨機變量X的數(shù)學期望步驟：1. 理解X的實際意義，并寫出X的

11、全部取值；2. 求出X的每個值的概率；3. 寫出X的分布列；4. 利用定義公式E(X)=XP1+XR2滅曲,求出數(shù)學期其中第1、2步是解答此類題目的關鍵.跟蹤練砂若對于某個數(shù)學問題，甲、乙兩人都在研究，甲解出該題24的概率為芻 乙解出該題的概率為尋 設解出該題的人數(shù)為X,求E(X)解析記“甲解出該題”為事件4乙解出該題”為事件叭X可能取值為0,1,2.P(X = 0) = P(A)P(B) = 1 和 D 二吉P(X二 1)二P(A B) + P(A B) = P(A)P(B) + P(A )P(B)2；4、；23r+? 3j4 2所以，X的分布列為5_5 zP(X = 2) = P(A)P(

12、B) = |.| = .X012p12815515E(X)=0X 吉+lx|+2X=誇例題2在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0 分，如果某籃球運動員罰球的命中率為0.7,那么他罰球1次得 分X的期望是多少？分析首先寫出X的分布列，罰球一次可能命中，也可能 不中，故服從兩點分布.解析X的分布列為：P(X= 1) = 0.7, P(X = 0) = 0.3, AE(X)= 1X0.7 + 0X03 = 0.7.方法總結明確了是兩點分布后只要找出成功概率即可.跟蹤I練凰設一隨機試驗的結果只有4和才，P(A)=p,令隨機變量X1,人出現(xiàn)0, 4不出現(xiàn),則X的期望為(B 1 pD0A. pc.

13、p(l_p)答案A命題方向例題3設某射手每次射擊擊中目標的概率是0.8,現(xiàn)在 他連續(xù)射擊6次，求擊中目標次數(shù)的期望.分析這是一個獨立重復試驗問題，其擊中目標的次數(shù)d 的概率分布屬于二項分布，可直接由二項分布的期望得出.解析設擊中目標的次數(shù)為依題意B(6, 0.8),所 以 E©=6X0.8=4.8.即擊中目標次數(shù)的期望是4.8次.方法總結確定分布列的類型非常重要，其中二項分布 對應獨立重復試驗，這一點是我們判斷一個分布列是否為二項 分布的標準. 跟蹤練！ _某班有扌的學生成績優(yōu)秀，如果從班中隨機地找出5名學 生，那么其中成績優(yōu)秀的學生數(shù)XB(5, 5,則E(X)的值為答案c1 5解析

14、E(X) = 5X=.故選C探索延拓創(chuàng)新命題方向卿凰潮母aww御順例題4 設隨機變量X的分布列為P(X=Q=*Q1、2、3、4、5、6),求 E(2X+3)；(2)設隨機變量X的分布列為P(X=Q伙=1、2、對, 求 E(X).分析利用離散型隨機變量的均值概念與性質解題.解析E(X)=1X 和+2X 舟6X*=3.5,AE(2X+3) = 2E(X) + 3 = 2X 3.5 + 3 = 10.11 n(n+1) n+1(2)E(X)=匚(1+2n)=- 2方法總結求期望的關鍵是求岀分布列，只要隨機變量 的分布列求出，就可以套用期望的公式求解.對于oX+b型隨 機變量的期望，可以利用期望的性質求解，當然也可以先求出 aX+b的分布列，再用定義求解.跟蹤練刃設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：2X+1的分布列;IX-II的分布列.解析由分布列的性質知:0. 2+0.1+0.1+0.3+加=1.Am=0.3.首先列表為：X012342X+113579IX-1110123從而由上表得兩個分布列為:(1)2X+1的分布列：2X+113579P0.20.10.10.30.3IX-II的分布