第4、5次課 一元二次方程(1)

1、知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程相關(guān)概念1、一元二次方程：含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程。 定義解釋：一元二次方程是一個(gè)整式方程；只含有一個(gè)未知數(shù)；并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2。這三個(gè)條件必須同時(shí)滿足，缺一不可。2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。注意:二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都包括前面的符號(hào)3、方程的根：要判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可4、一元二次方程解的估算：當(dāng)某一x的取值使得這

2、個(gè)方程中的的值無(wú)限接近0時(shí)，x的值即可看做一元二次方程的解。例題 例求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程 例將方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng) 例.若x=1是關(guān)于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a0)的一個(gè)根,求代數(shù)式2007(a+b+c)的值 例要剪一塊面積為150cm2的長(zhǎng)方形鐵片，使它的長(zhǎng)比寬多5cm，這塊鐵片應(yīng)該怎樣剪？ 設(shè)長(zhǎng)為xcm，則寬為（x-5）cm，列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0 請(qǐng)根據(jù)列方程回答以下問(wèn)題： （1）x可能

3、小于5嗎？可能等于10嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由 （2）完成下表： x1011121314151617x2-5x-150 （3）你知道鐵片的長(zhǎng)x是多少嗎？ 分析：我們可以用一種新的方法“夾逼”方法求出該方程的根 課堂練習(xí)一、選擇題1關(guān)于x的方程經(jīng)化簡(jiǎn)整理，化為的形式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)分別是（ ） A.mn，p，q B. mn，p，q C.mn，p，qD.mn，p，q2方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ） Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2= Cx1=a，x2= Dx1=a2，x2=b2二、填空題1.判斷下列關(guān)于x的方程是不是一元二次方程.是一元二次方程的有 2.關(guān)于x的方程

4、(m4)x2+(m+4)x+2m+3=0，當(dāng)m_時(shí)，是一元二次方程，當(dāng)m_時(shí)，是一元一次方程.3方程3x2-3=2x+1的二次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)，一次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)4已知方程5x2+mx-6=0的一個(gè)根是x=3，則m的值為_(kāi) 三、解答題1a滿足什么條件時(shí)，關(guān)于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？ 2.將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng) 3如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一個(gè)根，求（a-b）2+4ab的值4如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)

5、項(xiàng)之和等于一次項(xiàng)系數(shù)，求證：-1必是該方程的一個(gè)根知識(shí)點(diǎn)二：直接開(kāi)平方法1、形如x2=p或(nx+m)2=p(p0)的一元二次方程可采用直接開(kāi)平方法解一元二次方程。2、根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。如果方程化成的形式，那么可得。如果方程能化成(p0)的形式，那么，進(jìn)而得出方程的根。注意：等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)。降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程。方法是根據(jù)平方根的意義開(kāi)平方。例.配方：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：（1）x2+12x+ =(x+6)2 （2）x2+8x+ =(x+ )2 （3）x212x

6、+ =(x )2例解方程（1）3x2-1=5 （2）4x2+16x+16=9 練習(xí)一、選擇題1若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程3x2+9=0的根為（ ） A3 B-3 C±3 D無(wú)實(shí)數(shù)根 二、填空題 1若8x2-16=0，則x的值是_ 2如果方程2（x-3）2=72，那么，這個(gè)一元二次方程的兩根是_ 3如果a、b為實(shí)數(shù)，滿足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_ 三、解答題1.解方程 （1）4（x-1）2-9=0 （2） 4x2+16x=-72.解關(guān)于x的方程（x+m

7、）2=n知識(shí)點(diǎn)三：配方法1、將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法。2、用配方法解一元二次方程的步驟：把原方程化為一般形式；方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；如果右邊是非負(fù)數(shù)，即可進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解。注意：配方法的理論依據(jù)是完全平方公式a²+b²±2ab=（a±b）²配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1

8、，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。例.3x2-6x+4=0 （1+x）2+2（1+x）-4=0例、試證：不論x為何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式練習(xí)一、選擇題1配方法解方程2x2-x-2=0應(yīng)把它先變形為（ ） A （x-）2= B （x-）2=0 C （x-）2= D （x-）2=2.已知xy=9，xy=3，則x2+3xy+y2的值為（ ）A.27B.9C.54D.183已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（ ） A1 B2 C-1 D-2 二、填空題 1如果x2+4x-5=0，則x=_ 2無(wú)論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2-2x-4y+16的值總是_數(shù) 3如果

9、16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關(guān)系是_ 三、解答題 1用配方法解方程 （1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x 2已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值3.關(guān)于x的方程是一元二次方程嗎?為什么？課堂練習(xí)1、填寫(xiě)適當(dāng)?shù)臄?shù)使下式成立. 2、已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b0），則=（ ） A1 B-1 C0 D23、將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎麛?shù)，且使方程的根不變的是（ ）A. B. C D4、解方程(x2)216 x212x150 5、關(guān)于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？ 6、教材或資料會(huì)出現(xiàn)這

10、樣的題目：把方程x2-x=2化為一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)現(xiàn)在把上面的題目改編為下面的兩個(gè)小題，請(qǐng)解答（1）下列式子中，有哪幾個(gè)是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式？ x2-x-2=0；-x2+x+2=0；x2-2x=4；-x2+2x+4=0；x2-2x-4=0（2）方程x2-x=2化為一元二次方程的一般形式，它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)之間具有什么關(guān)系？7、用配方法證明的值恒小于0.課后練習(xí)一、填空題1.方程5(x2x+1)=3x+2的一般形式是_，其二次項(xiàng)是_，一次項(xiàng)是_，常數(shù)項(xiàng)是_.2.若ab0，則x2+x=0的常數(shù)項(xiàng)是_.3.已知關(guān)

11、于x的方程. （1）當(dāng)m 時(shí)，它是一元二次方程； （2）當(dāng)m 時(shí)，它是一元一次方程.4用配方法解方程2x24x1=0方程兩邊同時(shí)除以2得 移項(xiàng)得_配方得_方程兩邊開(kāi)方得 x1=_,x2=_二、選擇題1.方程x2=()x化為一般形式，它的各項(xiàng)系數(shù)之和可能是（ ）A.B.C.D.2.若關(guān)于x的方程a(x1)2=2x22是一元二次方程，則a的值是（ ）A.2B.2C.0D.不等于23.關(guān)于x2=2的說(shuō)法，正確的是（ ）A.由于x20，故x2不可能等于2，因此這不是一個(gè)方程B.x2=2是一個(gè)方程，但它沒(méi)有一次項(xiàng)，因此不是一元二次方程C.x2=2是一個(gè)一元二次方程D.x2=2是一個(gè)一元二次方程，但不能解三、解答題1.解方程2（x-3）2=72 2.把方程(3x+2)24(x-3)2化成