天體運(yùn)動(dòng)講義教師版

1、天體運(yùn)動(dòng)講義奧賽大綱1、萬(wàn)有引力定律2、均勻球殼對(duì)殼內(nèi)和殼外質(zhì)點(diǎn)的引力公式3、開(kāi)普勒定律4、行星和人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)5、太陽(yáng)系 銀河系 宇宙和黑洞的初步知識(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 1、中學(xué)階段全部初等數(shù)學(xué)（包括解析幾何）2、向量的合成和分解3、極限、無(wú)限大和無(wú)限小的初步概念4、不要求用復(fù)雜的積分進(jìn)行推導(dǎo)和運(yùn)算一、基本概念1開(kāi)普勒定律第一定律（軌道定律）：所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)。太陽(yáng)是在這些橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。第二定律（面積定律）：對(duì)每個(gè)行星來(lái)說(shuō)，太陽(yáng)和行星的連線（叫矢徑）在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積?！懊娣e速度”： （為矢徑r與速度的夾角） 第三定律（周期定律）：所有行星的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的

2、三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值相等。即：2萬(wàn)有引力定律萬(wàn)有引力定律：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間引力的大小跟這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比 ， ，稱為引力常量 重力加速度的基本計(jì)算方法 設(shè)M為地球的質(zhì)量，g為地球表面的重力加速度 在地球表面附近（ ）處：， 在地球上空距地心r=R+h處：， 在地球內(nèi)部跟離地心r處：， ， 例1、（全國(guó)物理競(jìng)賽預(yù)賽題）已知太陽(yáng)光從太陽(yáng)射到地球需要8min20s，地球公轉(zhuǎn)軌道可以近似看作圓軌道，地球半徑約為6.4×106m，試估算太陽(yáng)質(zhì)量M與地球質(zhì)量m之比M/m為多大？（地球表面重力加速度為g）解析：太陽(yáng)到地

3、球距離為R500s×3×108 m/s1.5×1011 m太陽(yáng)為中心天體，質(zhì)量為：GMm/ R²=m4²R/T² M=4²R³/GT²知道地球表面的重力加速度為g,地球的質(zhì)量GMm/r²=mg M= r²g/GM/ M=4²R³/r²T²g3×105（其中R為地日間距離，r為地球半徑，T為地球公轉(zhuǎn)周期，g為地球表面重力加速度）例2、（全國(guó)物理競(jìng)賽預(yù)賽題）木星的公轉(zhuǎn)周期為12年。設(shè)地球至太陽(yáng)的距離為1AU（天文單位），則木星至太陽(yáng)的距離約

4、為多少天文單位？ 解析：由開(kāi)普勒第三定律：R13/R23=T13/T23（其中，R是行星公轉(zhuǎn)軌道半長(zhǎng)軸，T是行星公轉(zhuǎn)周期）得R木=5.2 AU例3要發(fā)射一艘探測(cè)太陽(yáng)的宇宙飛船，使其具有與地球相等的繞日運(yùn)動(dòng)周期，以便發(fā)射一年后又將與地球相遇而發(fā)回探測(cè)資料。在地球發(fā)射這一艘飛船時(shí)，應(yīng)使其具有多大的繞日速度？（己知地球到太陽(yáng)的距離為R）分析與解：如圖，圓為地球繞日軌道，橢圓為所發(fā)射飛船的繞日軌道，S點(diǎn)（太陽(yáng)）為此橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，因飛船與地球具有相等的繞日周期，由開(kāi)普勒周期定律：可知橢圓的半長(zhǎng)軸a=R，兩軌道的交點(diǎn)必為半短軸頂點(diǎn)，（由橢圓定義，PF1PF22a）發(fā)射飛船時(shí)，繞日速度應(yīng)沿軌道切線方向，即

5、與橢圓長(zhǎng)軸平行的方向則飛船的“面積速度”為：，地球的“面積速度”為：，故： 例4、（2011物理競(jìng)賽）地球上空有人造地球同步通訊衛(wèi)星，它們向地球發(fā)射微波，但無(wú)論同步衛(wèi)星的數(shù)目增加多少個(gè)，地球表面總有一部分面積不能直接收到它們發(fā)射的微波，請(qǐng)求出這個(gè)面積的大小。己知地球半徑R06.4×106m，半徑為R，高為h的球冠的表面積為S12Rh，球體的表面積為S24R2，結(jié)果保留一位有效數(shù)字。解析：如圖，同步通訊衛(wèi)星相對(duì)地面是靜止的，則對(duì)地球表面上質(zhì)量為m0的物體有GMm0/R02=m0g；對(duì)地球同步通訊衛(wèi)星有由幾何關(guān)系可知以S表示某個(gè)極周圍接收不到微波區(qū)域的面積：地球有兩個(gè)極，接收不到微波區(qū)域

6、的面積為二、萬(wàn)有引力、引力勢(shì)能1、萬(wàn)有引力定律的公式適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力，此時(shí)萬(wàn)有引力定律公式中的r就是兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。萬(wàn)有引力定律的公式也適用于計(jì)算兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互吸引力，這種情況等效于把球體的質(zhì)量集中在球心處的質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力的計(jì)算，式中的r是兩個(gè)球體球心間的距離。從這種情況也可以推出以下幾個(gè)推論：（1）質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ的兩個(gè)球體之間的萬(wàn)有引力的計(jì)算。（2）質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ的兩個(gè)空心球體之間的萬(wàn)有引力的計(jì)算。（3）質(zhì)量分布均勻的球殼之間的萬(wàn)有引力的計(jì)算。但要注意的是兩球殼球心之間的距離必須大于等于兩球殼的半徑之和。（可以證明：球殼對(duì)處于它內(nèi)部的物體的萬(wàn)有引力為零。）萬(wàn)有

7、引力定律的公式也可以用來(lái)計(jì)算質(zhì)量分布均勻（或質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ）的球體（或空心球體、或球殼）與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力的計(jì)算，這時(shí)的r是質(zhì)點(diǎn)到球體球心間的距離。例5、如圖所示，有質(zhì)量為m、半徑為R的質(zhì)量分布均勻的球體A與用同種材料制成的半徑為R/2均勻球體B，兩球球心相距L，現(xiàn)在在球A中靠近B球一邊與A球相切的挖一個(gè)半徑為R/2的球形洞，三個(gè)球心在同一條連線上，求挖空后兩球間的萬(wàn)有引力。分析：本題可用填補(bǔ)法來(lái)做：設(shè)F為實(shí)心球A與B球之間的萬(wàn)有引力，F(xiàn)1為被挖去一個(gè)球形洞后的A球與B球之間的萬(wàn)有引力，F(xiàn)2為被挖去的球體在未挖去前與B球之間的萬(wàn)有引力。由于實(shí)心球A與B球之間的萬(wàn)有引力F應(yīng)是被挖去一個(gè)

8、球形洞后的A球與B球之間的萬(wàn)有引力F1與挖去的那部分球體在未挖去前與B球之間的萬(wàn)有引力F2之和，所以有F=F1+F2（1）根據(jù)萬(wàn)有引力定律可得由式（1）（2）（3）可得例6、試證明：質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)球殼內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力為零解析：如圖，在球殼內(nèi)任意位置的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)A，設(shè)質(zhì)量為m .球殼密度均勻，設(shè)單位面積的質(zhì)量為M，則有如圖所取的微元面積S1部分的質(zhì)量為MS1，相對(duì)應(yīng)A點(diǎn)的另一側(cè)微元面積S2的質(zhì)量為MS2  。由萬(wàn)有引力定律 ：質(zhì)點(diǎn)A受到S1部分的萬(wàn)有引力為受到S2部分的萬(wàn)有引力大小為   由于面積S1和S2很小，且有數(shù)學(xué)規(guī)律 所以F1與F

9、2大小相等，且方向相反，合力為零。由于S1是球殼上的任意微元，S2為與A連線后另一側(cè)對(duì)應(yīng)部分。所以，對(duì)于整個(gè)球殼積分可知，A點(diǎn)所受的萬(wàn)有引力為零。例7、地球的密度為，若從地球一端打一豎直井通過(guò)地心直到地球另一端，一物體從一端開(kāi)始自由下落，不計(jì)阻力，證明物體在井中做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求物體落到地心的時(shí)間。解析：萬(wàn)有引力F=GmM/r2（以球心向外為正方向），G為萬(wàn)有引力常數(shù)，M為該物體所在位置內(nèi)部地球球體的質(zhì)量，r為物體離地心的距離 M=4r3/3把M代入 F=4Gmr/3kr，即F和r成正比。萬(wàn)有引力總是指向地心，所以它做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。t=T/4，,T，k4Gm/3，代入即得運(yùn)動(dòng)時(shí)間。例8新發(fā)現(xiàn)一行星，

10、其星球半徑為6400 km，且由通常的水形成的海洋覆蓋它所有的表面，海洋的深度為10 km，學(xué)者們對(duì)該行星進(jìn)行探查時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把試驗(yàn)樣品浸入行星海洋的不同深度時(shí)，各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變?cè)嚽蟠诵行潜砻嫣幍淖杂陕潴w加速度已知萬(wàn)有引力常量G=6. 67×10-11N m2/ kg2。分析和解：以R表示此星球的半徑，M表示其質(zhì)量，h表示其表面層海洋的深度，R0表示除海洋外星球內(nèi)層的半徑，r表示海洋內(nèi)任一點(diǎn)到星球中心的距離則：，且，以水表示水的密度則此星球表面海洋水的總質(zhì)量為因R>>h，略去h高次項(xiàng)，得由，依題意：，即：，由于 故近似取2Rh- 則 將G6. 6

11、7×10-11N m2/kg2，水10×103kg/m3，R6.4 ×106 m代入得：g表=2. 7 m/s2。2、行星運(yùn)動(dòng)的能量引力勢(shì)能與動(dòng)能 行星的動(dòng)能 當(dāng)一顆質(zhì)量為m的行星以速度 繞著質(zhì)量為M的恒星做平徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)： ，式中 行星的勢(shì)能對(duì)質(zhì)量分別為M和m的兩孤立星系，取無(wú)窮遠(yuǎn)處為萬(wàn)有引力勢(shì)能零點(diǎn)，當(dāng)m與M相距r時(shí)，其體系的引力勢(shì)能：（設(shè)m由距r處移到r處時(shí)引力做的功時(shí)勢(shì)能為0，則m距M為r時(shí)的引力勢(shì)能為） 行星的機(jī)械能：例9質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，在圓形軌道上運(yùn)行運(yùn)行中受到大小恒為的微弱阻力作用，以r表示衛(wèi)星軌道的平均半徑，M表示地球質(zhì)量，求衛(wèi)星在旋轉(zhuǎn)

12、一周的過(guò)程中：（1）軌道半徑的改變量r=？（2）衛(wèi)星動(dòng)能的改變量Ek=？分析和解：因衛(wèi)星沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)，則，則，則衛(wèi)星的機(jī)械能為（1）設(shè)衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周軌道半徑改變量為r，則對(duì)應(yīng)機(jī)械能改變量為，根據(jù)功能原理：W=E，即，負(fù)號(hào)表示軌道半徑減小。（2）衛(wèi)星動(dòng)能的改變量為：例10、地球質(zhì)量為M，半徑為 R，自轉(zhuǎn)角速度為，萬(wàn)有引力恒量為 G，如果規(guī)定物體在離地球無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為 0，則質(zhì)量為 m 的物體離地心距離為 r 時(shí)，具有的萬(wàn)有引力勢(shì)能可表示為 Ep = -G.國(guó)際空間站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大氣層上空地球飛行的一個(gè)巨大的人造天體，可供宇航員在其上居住和進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn).設(shè)空間站離地面高度

13、為 h，如果在該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為 m 的小衛(wèi)星，使其能到達(dá)地球同步衛(wèi)星軌道并能在軌道上正常運(yùn)行，則該衛(wèi)星在離開(kāi)空間站時(shí)必須具有多大的動(dòng)能？解析：由G=得，衛(wèi)星在空間站上的動(dòng)能為 Ek= mv2 =G衛(wèi)星在空間站上的引力勢(shì)能在 Ep = -G 機(jī)械能為 E1 = Ek + Ep =-G同步衛(wèi)星在軌道上正常運(yùn)行時(shí)有 G =m2r故其軌道半徑 r=由式得，同步衛(wèi)星的機(jī)械能E2 = -G=-G =-m()2衛(wèi)星在運(yùn)行過(guò)程中機(jī)械能守恒，故離開(kāi)航天飛機(jī)的衛(wèi)星的機(jī)械能應(yīng)為 E2，設(shè)離開(kāi)航天飛機(jī)時(shí)衛(wèi)星的動(dòng)能為 Ekx，則Ekx E1= E2 ，EkxE 2 E1 +G例11、質(zhì)量為m的宇宙飛船繞地球

14、中心O作圓周運(yùn)動(dòng)，己知地球半徑為R，飛船軌道半徑為2R，現(xiàn)要將飛船轉(zhuǎn)移到另一個(gè)半徑為4R的新軌道上去，如圖所示，求：（1）轉(zhuǎn)移所需的最少能量（2）如果轉(zhuǎn)移是沿半橢圓雙切軌道進(jìn)行的，如圖中的ACB所示，則飛船在兩條軌道的交接處A的B的速度變化vA和vB各是多少？R2R4RABOC解析：（1）宇宙飛船在2R軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)：飛船的動(dòng)能，引力勢(shì)能飛船的機(jī)械能：同理可得飛船在4R軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)所需的最少能量（2）飛船在2R圓軌道上運(yùn)動(dòng)的速度為，在4R圓軌道上運(yùn)動(dòng)的速度為飛船在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由開(kāi)普勒第二定律：且機(jī)械能守恒：，由以上兩式解得，飛船在兩條軌道的交接處A的B的速度變化例12、在赤道上發(fā)射兩顆質(zhì)量

15、相同沿赤道正上方圓形近地軌道繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星A和B，A向正東方發(fā)射，B向正西方發(fā)射，不計(jì)空氣阻力，但計(jì)地球自轉(zhuǎn)，計(jì)算： （1）發(fā)射哪一顆衛(wèi)星消耗能量多？（2）與另一顆衛(wèi)星相比，要多消耗百分之幾的燃料？（R地=6 400 km，g=10 m/s2）解析：（1）赤道自轉(zhuǎn)線速度： v0=r=2R/T=0.47×103 km/s, 近地衛(wèi)星速度=8.0×103 km/s由西向東發(fā)射，衛(wèi)星對(duì)地發(fā)射速度v東=v1-v0=7.53×103 km/s由東向西發(fā)射，衛(wèi)星對(duì)地發(fā)射速度v西=v1+v0=8.47×103 km/s 可見(jiàn)，向西發(fā)射消耗能量多.（2），故多消

16、耗27%.例13、從赤道上的C點(diǎn)發(fā)射洲際導(dǎo)彈，使之精確地?fù)糁斜睒O點(diǎn)N，要求發(fā)射所用的能量最少.假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體，R=6400km.已知質(zhì)量為m的物體在地球引力作用下作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，其能量E與橢圓半長(zhǎng)軸a的關(guān)系為式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量. （1）假定地球沒(méi)有自轉(zhuǎn)，求最小發(fā)射速度的大小和方向(用速度方向與從地心O到發(fā)射點(diǎn)C的連線之間的夾角表示).（2）若考慮地球的自轉(zhuǎn)，則最小發(fā)射速度的大小為多少？（3）試導(dǎo)出.解：（1）導(dǎo)彈發(fā)射后，在地球引力作用下將沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng).如果導(dǎo)彈能打到N點(diǎn)，則此橢圓一定位于過(guò)地心O、北極點(diǎn)N和赤道上的發(fā)射點(diǎn)C組成的平面(此平面是C點(diǎn)所在的子午

17、面)內(nèi)，因此導(dǎo)彈的發(fā)射速度(初速度v)必須也在此平面內(nèi)，地心O是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)對(duì)稱性，注意到橢圓上的C、N兩點(diǎn)到焦點(diǎn)O的距離相等，故所考察橢圓的長(zhǎng)軸是過(guò)O點(diǎn)垂直CN的直線，即圖上的直線AB，橢圓的另一焦點(diǎn)必在AB上.已知質(zhì)量為m的物體在質(zhì)量為M的地球的引力作用下作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體和地球構(gòu)成的系統(tǒng)的能量E(無(wú)窮遠(yuǎn)作為引力勢(shì)能的零點(diǎn))與橢圓半長(zhǎng)軸a的關(guān)系為 (1)要求發(fā)射的能量最少，即要求橢圓的半長(zhǎng)軸a最短.根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，橢圓的兩焦點(diǎn)到橢圓上任一點(diǎn)的距離之和為2a，現(xiàn)C點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)O的距離是定值，等于地球的半徑R，只要位于長(zhǎng)軸上的另一焦點(diǎn)到C的距離最小，該橢圓的半長(zhǎng)軸就最小.顯然，

18、當(dāng)另一焦點(diǎn)位于C到AB的垂線的垂足處時(shí)，C到該焦點(diǎn)的距離必最小.由幾何關(guān)系可知(2)設(shè)發(fā)射時(shí)導(dǎo)彈的速度為v，則有 (3)解(1)、(2)、(3)式得(4)因(5)比較(4)、(5)兩式得(6)代入有關(guān)數(shù)據(jù)得(7)速度的方向在C點(diǎn)與橢圓軌道相切.根據(jù)解析幾何知識(shí)，過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線的垂直線，平分兩焦點(diǎn)到該點(diǎn)連線的夾角OCP.從圖中可看出，速度方向與OC的夾角 (8)（2）由于地球繞通過(guò)ON的軸自轉(zhuǎn)，在赤道上C點(diǎn)相對(duì)地心的速度為 (9)式中R是地球的半徑，T為地球自轉(zhuǎn)的周期，T=24×3600s=86400s，故(10)C點(diǎn)速度的方向垂直于子午面(圖中紙面).位于赤道上C點(diǎn)的導(dǎo)彈發(fā)射前也

19、有與子午面垂直的速度，為使導(dǎo)彈相對(duì)于地心速度位于子午面內(nèi)，且滿足(7)、(8)兩式的要求，導(dǎo)彈相對(duì)于地面(C點(diǎn))的發(fā)射速度應(yīng)有一大小等于、方向與相反的分速度，以使導(dǎo)彈在此方向相對(duì)于地心的速度為零，導(dǎo)彈的速度的大小為 (11)代入有關(guān)數(shù)據(jù)得(12)它在赤道面內(nèi)的分速度與相反，它在子午面內(nèi)的分速度滿足(7)、(8)兩式. （3）質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在地球引力作用下的運(yùn)動(dòng)服從機(jī)械能守恒定律和開(kāi)普勒定律，故對(duì)于近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)有下列關(guān)系式(13)(14)式中、分別為物體在遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)的速度，r1、r2為遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)到地心的距離.將(14)式中的代入(13)式，經(jīng)整理得(15)注意到r1+r2=2a(16)

20、得(17)因(18)由(16)、(17)、(18)式得(19)3、萬(wàn)有引力做功與運(yùn)動(dòng)問(wèn)題例12、如圖，在慣性系S中有兩質(zhì)點(diǎn)A和B，質(zhì)量分別為m1和m2，彼此間以萬(wàn)有引力相互吸引，開(kāi)始時(shí)A靜止，A和B相距為l0，B以速度v0沿連線方向遠(yuǎn)離A而運(yùn)動(dòng)（,G為引力常量），B受一指向其運(yùn)動(dòng)方向的變力F的作用，使B保持速度不變，求（1）兩質(zhì)點(diǎn)之間的最大距離（2）從開(kāi)始到最大距離過(guò)程中變力所做的功（相對(duì)于慣性系S）解析：（1）當(dāng)A與B速度相同時(shí)兩者距離達(dá)到最大，以勻速運(yùn)動(dòng)的B為參考系，A的機(jī)械能守恒：（2）對(duì)系統(tǒng)，由動(dòng)能定理得，將代入得PDDQQQD太陽(yáng)地球例14、如圖所示，設(shè)地球質(zhì)量為M，地球繞太陽(yáng)可以近

21、似看作是作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的飛船在恒力F的作用下由靜止開(kāi)始從P點(diǎn)沿PQ方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，一年后在D處飛船掠過(guò)地球上空，再過(guò)三個(gè)月，又在Q點(diǎn)處掠過(guò)地球上空，如圖所示.根據(jù)以上條件，用題中給出的物理量來(lái)表示地球與太陽(yáng)的萬(wàn)有引力的大小表達(dá)式（忽略飛船受地球和太陽(yáng)的萬(wàn)有引力作用的影響）解析：三個(gè)月地球轉(zhuǎn)過(guò)1/4周，因此設(shè)地球公轉(zhuǎn)周期為T，則，由上述三式得二、相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題例15、 一顆在赤道上空運(yùn)行的人造地球衛(wèi)星，其軌道半徑為2R0（R0為地球的半徑）。衛(wèi)星的運(yùn)行方向與地球的自轉(zhuǎn)方向相同，設(shè)地球自轉(zhuǎn)的角速度為。，若某時(shí)刻衛(wèi)星通過(guò)某建筑物的正上方，求它再次通過(guò)該建筑物正上方所需的時(shí)間（已知地球

22、表面的重力加速度為g） 解析：計(jì)算出衛(wèi)星相對(duì)于地球的相對(duì)速度后可求。三、圓軌道橢圓軌道自由落體問(wèn)題1、圓軌道橢圓軌道例16. 飛船沿半徑為R的圓周繞地球運(yùn)動(dòng)，其周期為T，如果飛船要返回地面，可在軌道上某一點(diǎn)A處將速降低到適當(dāng)數(shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行，橢圓與地球表面在B點(diǎn)相切，如圖所示，求飛船由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所需要的時(shí)間。（已知地球半徑為R0）解析：本題用開(kāi)普勒第三定律求解比較簡(jiǎn)單。對(duì)地球衛(wèi)星繞地運(yùn)行時(shí)所有衛(wèi)星的軌道半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期平方的比值都相等，對(duì)于在圓周軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星其軌道的半長(zhǎng)軸就是圓半徑，所以，當(dāng)飛船在圓周上繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，有，當(dāng)飛船進(jìn)入橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，有

23、，由兩式聯(lián)立得飛船在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)的周期：故解得飛船由A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所需的時(shí)間為2、自由落體問(wèn)題遠(yuǎn)距離自由落體是指物體僅受星球引力，從離星球很遠(yuǎn)處由靜止開(kāi)始下落的運(yùn)動(dòng)。由于物體在下落過(guò)程中加速度并非恒量，勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律已經(jīng)不適用，學(xué)生在求解有關(guān)下落時(shí)間、下落距離等問(wèn)題時(shí)常感到困難，人們常用大學(xué)階段積分的方法解決這類問(wèn)題。事實(shí)上，利用開(kāi)普勒定律，再結(jié)合極端分析方法，就能很好地解決遠(yuǎn)距離自由落體問(wèn)題。例17：一個(gè)質(zhì)量大而體積很小的星球，質(zhì)量為M，一物體從離該星球?yàn)閞的很遠(yuǎn)處由靜止開(kāi)始自由下落，求物體落到這個(gè)星球上需要經(jīng)歷多少時(shí)間？分析：星球很小，可以看作質(zhì)點(diǎn)。物體僅受星球引力作用下的運(yùn)動(dòng)軌道通常有

24、三種可能的情況：（1）圓軌道、（2）橢圓軌道、（3）沿直線自由下落。物體在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，星球處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足開(kāi)普勒第三定律：，其中T為物體的公轉(zhuǎn)周期，R為半長(zhǎng)軸，M為星球質(zhì)量。設(shè)想一個(gè)狹長(zhǎng)的橢圓軌道，遠(yuǎn)地點(diǎn)即為物體開(kāi)始下落的位置，此橢圓越扁，其兩側(cè)就越向物體自由下落的軌道靠攏，極端的情況是：當(dāng)橢圓半短軸b=0時(shí)，兩者就重合了。這樣，就可以通過(guò)求物體沿上述橢圓軌道對(duì)應(yīng)部分的時(shí)間來(lái)求物體自由下落的時(shí)間。解：設(shè)物體下落時(shí)間t，則物體繞星球公轉(zhuǎn)周期2t，橢圓半長(zhǎng)軸r/2，由開(kāi)普勒第三定律： t=oA例18：根據(jù)某種假設(shè)，星球由星際物質(zhì)（宇宙塵埃）在萬(wàn)有引力作用下而形成。試估

25、算由密度為2×10-18g/cm3的宇宙塵埃組成的巨大云團(tuán)到生成一個(gè)星球（可看作質(zhì)點(diǎn)）需多少時(shí)間？分析：如圖，設(shè)生成星球的巨大云團(tuán)為半徑r的球狀體，則質(zhì)量為m的塵埃A從離球心r處運(yùn)動(dòng)到球心o所用時(shí)間即為生成星球所需時(shí)間。由于A所受云團(tuán)的萬(wàn)有引力與云團(tuán)質(zhì)量集中于o點(diǎn)所成星球?qū)的引力效果相同，故所求時(shí)間等于A自由下落至o的時(shí)間。解：利用上題結(jié)果可知： t=4.7萬(wàn)年。例19、一物體A由離地面很遠(yuǎn)處向地球下落，落至地面上時(shí)，其速度恰等于第一宇宙速度，己知地球半徑R6400Km，物體在地球引力場(chǎng)中的引力勢(shì)能為（M為地球質(zhì)量，m為物體的質(zhì)量，r為物體到地心的距離），若不計(jì)物體在運(yùn)動(dòng)中所受到的

26、阻力，求此物體在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。分析：物體由離地心為r的遠(yuǎn)處落向地面過(guò)程中機(jī)械能守恒：abObAObBAOb-GMm/r=mv2-GMm/R，而第一宇宙速度v1=，代入上式，得r=2R ，故物體自離地面R處開(kāi)始下落。本例與例1、例2不同的是：地球不能看作質(zhì)點(diǎn)。我們將物體的運(yùn)動(dòng)設(shè)想為沿長(zhǎng)軸2R、短軸2b的狹長(zhǎng)橢圓由A下落至B，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間即為本題所求。RO解：由于橢圓半長(zhǎng)軸與地球半徑相等，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，物體沿橢圓運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期即等于衛(wèi)星以第一宇宙速度環(huán)繞地球表面運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T0，T0=2R/v1=2R,橢圓面積S0=ab,可得面積速度為 =，從A運(yùn)動(dòng)至B的過(guò)程中，物體與地心連線掃過(guò)的面積S=a

27、b+ab （如圖），所以物體下落的時(shí)間: t=(+)R。例20、兩個(gè)質(zhì)量均為1.0g的質(zhì)點(diǎn)相距10m，開(kāi)始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)靜止，且其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)固定，如果它們之間只有萬(wàn)有引力作用，問(wèn)無(wú)初速度釋放一個(gè)質(zhì)點(diǎn)后，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間它們相碰？解：設(shè)想一個(gè)狹長(zhǎng)的橢圓軌道，遠(yuǎn)地點(diǎn)即為物體開(kāi)始下落的位置，此橢圓越扁，其兩側(cè)就越向物體自由下落的軌道靠攏，當(dāng)橢圓半短軸b=0時(shí)，兩者就重合了。由 得t=1.36×108s四、天體運(yùn)動(dòng)與宇宙航行問(wèn)題例21、（2010全國(guó)物理競(jìng)賽題）選擇合適的衛(wèi)星發(fā)射地發(fā)射衛(wèi)星，對(duì)提高運(yùn)載效率、節(jié)省燃料等方面都有影響。如果在地球表面緯度為處發(fā)射一顆繞地球表面運(yùn)行的人造衛(wèi)星，假設(shè)地球可視

28、為質(zhì)量均勻分布的球體，己知地球自轉(zhuǎn)的角速度為，地球半徑為R，地球表面處的重力加速度g，衛(wèi)星質(zhì)量為m，則至少要給衛(wèi)星的能量為多少？若重力加速度g=9.8m/s2，地球半徑R6.4×106m，衛(wèi)星質(zhì)量m1.00×103kg，若發(fā)射地在灑泉，其緯度為北緯40度58分，則所需的能量是多少？若發(fā)射地在文昌，其緯度為北緯19度19分，則所需的能量是多少？解析：緯度為處地球自轉(zhuǎn)的速度為 (相對(duì)于地心) 地球表面發(fā)射一顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)，衛(wèi)星的速度為 （相對(duì)于地心）。 以地面為參考系，根據(jù)，衛(wèi)星相對(duì)于地面的速度為 ，發(fā)射衛(wèi)星所需的最小能量為因此在酒泉發(fā)射，需能量 ，在文昌發(fā)射， 需能量例22

29、、（2010全國(guó)物理競(jìng)賽）可以近似認(rèn)為地球在一個(gè)半徑為R的圓軌道上繞日公轉(zhuǎn)，取日心參考系為慣性系，地球公轉(zhuǎn)周期即一年為T365.2564日，地球自轉(zhuǎn)周期為t，地球上的人連續(xù)兩次看見(jiàn)太陽(yáng)在天空中同一位置的時(shí)間間隔tE為一個(gè)太陽(yáng)日，簡(jiǎn)稱一日，即24小時(shí)，假設(shè)有某種作用，把地球繞日公轉(zhuǎn)的圓軌道半徑改變?yōu)镽1，但未改變地球自轉(zhuǎn)周期，設(shè)經(jīng)過(guò)這樣改變后，地球公轉(zhuǎn)一個(gè)周期即新的一年剛好是360新日，試問(wèn)（1）這新的一日的時(shí)間是多少？（按改變前的小時(shí)計(jì)）（2）這新的一年應(yīng)該是多少小時(shí)，才能使新一的年剛好是360新日？（3）這個(gè)改變前后，系統(tǒng)的能量差是地球現(xiàn)在公轉(zhuǎn)動(dòng)能的百分之多少？解析：（1）地球除了自轉(zhuǎn)外還有

30、公轉(zhuǎn)，當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)間tE，從日心慣性系來(lái)看，地球轉(zhuǎn)過(guò)一周多了。如圖，有以下關(guān)系： 解得，將代入，得當(dāng)?shù)厍蚬D(zhuǎn)軌道的半徑改變?yōu)镽1后，周期相應(yīng)改變?yōu)門1，由題意，地球在日心慣性系中的自轉(zhuǎn)周期仍為t，而，為新的一個(gè)太陽(yáng)日，即新的一日，同理有，或（2）（3）地球繞太陽(yáng)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，G=動(dòng)能為 Ek=mv2 =引力勢(shì)能 Ep = 機(jī)械能為 E = Ek + Ep =地球公轉(zhuǎn)軌道半徑改變?yōu)镽1時(shí)，總能量軌道半徑改變后的能量差為又由開(kāi)普勒第三定律，例23、（25屆全國(guó)高中生物理競(jìng)賽）假定月球繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，地球繞太陽(yáng)也作圓周運(yùn)動(dòng)，且軌道都在同一平面內(nèi)，己知地球表面處的重力加速度g=9.80/s2，地球半徑R

31、e6.37×106m，月球質(zhì)量為mm7.3×1022kg，月球半徑Rm1.7×106m，月心到地心間的距離約為rem3.84×108m，引力常量，（1）月球的球心繞地球的球心運(yùn)動(dòng)一周需要多少天？（2）地球上的觀察者相繼兩次看到滿月需多少天？（3）若忽略月球繞地球的運(yùn)動(dòng)，設(shè)想從地球表面發(fā)射一枚火箭直接射向月球，試做估算火箭到達(dá)月球表面時(shí)的速度至少為多少？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）解析：（1）月球在地球引力作用下繞地心作圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)地球：，月球繞地球運(yùn)行的周期，解得月球、地球和太陽(yáng)成一直線時(shí)是滿月，如圖所示，有地球運(yùn)動(dòng)角度為月球運(yùn)動(dòng)得例24、（26屆全國(guó)高中生

32、物理競(jìng)賽）一個(gè)質(zhì)量為m1的廢棄人造地球衛(wèi)星在離地面h=800km高空作圓周運(yùn)動(dòng)，在某處和一個(gè)質(zhì)量為m2=m1的太空碎片發(fā)生迎頭正碰，碰撞時(shí)間極短，碰后二者結(jié)合成一個(gè)物體并作橢圓運(yùn)動(dòng)。碰撞前太空碎片作橢圓運(yùn)動(dòng)，橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為7500km，其軌道和衛(wèi)星軌道在同一平面內(nèi)。已知質(zhì)量為m的物體繞地球作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，其總能量即動(dòng)能與引力勢(shì)能之和E=G，式中G是引力常量，M是地球的質(zhì)量，a為橢圓軌道的半長(zhǎng)軸。設(shè)地球是半徑R=6371km的質(zhì)量均勻分布的球體，不計(jì)空氣阻力。（1）試定量論證碰后二者結(jié)合成的物體會(huì)不會(huì)落在地球上。（2）如果此事件是發(fā)生在北極上空（地心和北極的連線方向上），碰后二者結(jié)合成的物體與

33、地球相碰處的緯度是多少？解析：若2a<2R+h,則衛(wèi)星將與地面相撞。設(shè)碰撞前衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v1， 設(shè)碰撞前太空碎片的速度為v2，由機(jī)械能守恒定律碰撞過(guò)程由動(dòng)量守恒得m1v1m2v2=(m1+m2)v 由機(jī)械能守恒得代人有關(guān)數(shù)據(jù)得a '=5259km 2a <2R+h，衛(wèi)星將與地面發(fā)生碰撞由己知條件知，a=5295kma+c=7171kmc=1912km衛(wèi)星與碎片碰撞后的軌跡方程設(shè)地球與橢圓軌道的交點(diǎn)為（x,y）五太陽(yáng)系 銀河系 宇宙和黑洞的初步知識(shí)1、宇宙速度（相對(duì)地球）第一宇宙速度：環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的速度（環(huán)繞速度）物體在地球表面作圓周運(yùn)動(dòng)，重力為向心力，有，第二宇宙

34、速度：人造天體發(fā)射到地球引力作用以外的最小速度（脫離速度）物體脫離地球引力：， 第三宇宙速度：使人造天體脫離太陽(yáng)引力范圍的最小速度（逃逸速度）質(zhì)點(diǎn)以第三宇宙速度拋出，動(dòng)能，地球公轉(zhuǎn)速率為，類比第二宇宙速度可知如果發(fā)射方向和地球公轉(zhuǎn)方向相同，則物體擺脫地球和太陽(yáng)的引力，需要的總能量2、引力場(chǎng)、引力半徑與宇宙半徑對(duì)于任何一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為r的均勻球形體系都有類似于地球情況下的這兩個(gè)特征速度如果第二宇宙速度超過(guò)光速，即，則有關(guān)系在這種物體上，即使發(fā)射光也不能克服引力作用，最終一定要落回此物體上來(lái)，這就是牛頓理論的結(jié)論，近代理論有類似的結(jié)論，這種根本發(fā)不了光的物體，被稱為黑洞，這個(gè)臨界的r值被稱為引

35、力半徑，記為用地球質(zhì)量代入，得到rg0.9 cm，設(shè)想地球全部質(zhì)量縮小到1 cm以下的小球內(nèi)，那么外界就得不到這個(gè)地球的任何光信息如果物質(zhì)均勻分布于一個(gè)半徑為r的球體內(nèi)，密度為，則總質(zhì)量為又假設(shè)半徑r正好是引力半徑，那么，得此式表示所設(shè)環(huán)境中光不可能發(fā)射到超出rg的范圍，聯(lián)想起宇宙環(huán)境的質(zhì)量密度平均值為10-29g/cm3，這等于說(shuō)，我們不可能把光發(fā)射到1028cm以外的空洞，這個(gè)尺度稱為宇宙半徑例27經(jīng)過(guò)用天文望遠(yuǎn)鏡長(zhǎng)期觀測(cè)，人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識(shí)，雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體構(gòu)成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星之間

36、的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)處理，現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測(cè)量確定，該星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)（1）試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T計(jì)算；（2）若實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為T觀測(cè)，,且T觀測(cè)T計(jì)算=1（Nl），為了解釋T觀測(cè)與T計(jì)算的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)不到的暗物質(zhì)，作為一種簡(jiǎn)化模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)存在這種均勻的暗物質(zhì)，而不考慮其他暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測(cè)結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度解.（1）雙星均繞它們的連線的中點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)速度

37、為，向心加速度滿淀下面的方程 周期 (2）根據(jù)觀測(cè)結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期 這說(shuō)明雙星系統(tǒng)中受到的向心力大于本身的引力，故它一定還受到其他指向中心的作用力，按題意，這一作用來(lái)源于均勻分布的暗物質(zhì)，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對(duì)雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量M'、位于中點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)相同，考慮暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度，現(xiàn)有 因?yàn)樵谲壍酪欢〞r(shí)，周期和速度成反比，由式得 把式代入式得 設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為，則有故 例28. 1997年8月26日在日本舉行的國(guó)際學(xué)術(shù)大會(huì)上，德國(guó)MaxPlanck學(xué)會(huì)的一個(gè)研究組宣布了他們的研究成果：銀河系的中心可能存在大黑洞，他們的根據(jù)是用口徑

38、為3.5m的天文望遠(yuǎn)鏡對(duì)獵戶座中位于銀河系中心附近的星體進(jìn)行近六年的觀測(cè)所得的數(shù)據(jù)。他們發(fā)現(xiàn)，距離銀河系中約60億千米的星體正以2000km/s的速度圍繞銀河系中心旋轉(zhuǎn)。根據(jù)上面數(shù)據(jù)，試在經(jīng)典力學(xué)的范圍內(nèi)通過(guò)計(jì)算確認(rèn)，如果銀河系中心確實(shí)存在黑洞的話，其最大半徑是多少？（引力常數(shù)是G6.67×1020km3/kg1s2）解析：黑洞表面上的所有物質(zhì)，即使速度等于光速c也逃脫不了其引力的作用。據(jù)此可建立起“天體環(huán)繞運(yùn)動(dòng)模型”，且可用光速c作為“第一宇宙速度”來(lái)進(jìn)行計(jì)算。設(shè)位于銀河系中心的黑洞質(zhì)量為M，繞其旋轉(zhuǎn)的星體質(zhì)量為m，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有：G=m根據(jù)拉普拉斯黑洞模型有：G=m聯(lián)立

39、上述兩式并代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得： R2.67×105km綜合題1、（29屆復(fù)賽 23分）設(shè)想在地球赤道平面內(nèi)有一垂直于地面延伸到太空的輕質(zhì)電梯，電梯頂端可超過(guò)地球的同步衛(wèi)星高度（從地心算起）延伸到太空深處。這種所謂的太空電梯可用于低成本地發(fā)射繞地人造衛(wèi)星，其發(fā)射方法是將衛(wèi)星通過(guò)太空電梯勻速地提升到某高度，然后啟動(dòng)推進(jìn)裝置將衛(wèi)星從太空電梯發(fā)射出去。1、設(shè)在某次發(fā)射時(shí)，衛(wèi)星在太空電梯中極其緩慢地勻速上升，該衛(wèi)星在上升到0.80處意外地和太空電梯脫離（脫離時(shí)衛(wèi)星相對(duì)于太空電梯上脫離處的速度可視為零）而進(jìn)入太空。（1）論證衛(wèi)星脫落后不會(huì)撞擊地面。（2）如果衛(wèi)星脫落后能再次和太空電梯相遇，即可在它們相遇時(shí)回收該衛(wèi)星。討論該衛(wèi)星從脫落時(shí)刻起，在012小時(shí)及1224小時(shí)兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)被太空該電梯回收的